『扶』『放』內(nèi)化自主建構(gòu)
——《正比例的意義》教學(xué)設(shè)計(jì)

文 張煒

【教學(xué)內(nèi)容】

蘇教版六年級(jí)下冊(cè)第56、57頁。

【教學(xué)過程】

一、“引”——激趣感知，認(rèn)識(shí)概念

1.感受“相關(guān)聯(lián)”。

出示資料一：小丑魚又稱?？~，它與?？兄懿豢煞值墓采P(guān)系。帶毒刺的?？Ｗo(hù)小丑魚，小丑魚消化后的殘?jiān)鼊t為?？峁┝耸澄铩Ｒ虼?，海葵越多的地方，小丑魚也就越多；小丑魚減少，?？矔?huì)受到影響而減少。

出示資料二：在草原上，狼以羊?yàn)槭?，狼的?shù)量增多，會(huì)造成羊的數(shù)量減少；反之，狼的數(shù)量減少，羊的數(shù)量會(huì)隨之增加，兩者互為因果，此消彼漲，此漲彼消，維持著生態(tài)的平衡。

師：從這兩個(gè)有趣的現(xiàn)象中，你發(fā)現(xiàn)了什么？

預(yù)設(shè)：第一個(gè)現(xiàn)象中，?？臄?shù)量變化會(huì)導(dǎo)致小丑魚的數(shù)量變化。第二個(gè)現(xiàn)象中，狼的數(shù)量變化會(huì)導(dǎo)致羊的數(shù)量變化。

師：你能具體說說，兩者數(shù)量是如何變化的嗎？

預(yù)設(shè)：海葵的數(shù)量增加，小丑魚的數(shù)量也增加；?？臄?shù)量減少，小丑魚的數(shù)量也減少。狼的數(shù)量增加，羊的數(shù)量減少；狼的數(shù)量減少，羊的數(shù)量會(huì)增加。

師：也就是說，這兩個(gè)量是相互影響的，一個(gè)量變化，另一個(gè)量也會(huì)隨著變化。在數(shù)學(xué)上，把這樣兩個(gè)互相影響的量叫作兩個(gè)“相關(guān)聯(lián)的量”。比如，?？臄?shù)量和小丑魚的數(shù)量就是兩個(gè)相關(guān)聯(lián)的量。

2.體會(huì)正向、反向變化。

對(duì)比：上面兩個(gè)現(xiàn)象中，它們的變化有區(qū)別嗎？

預(yù)設(shè)：海葵的數(shù)量增加，小丑魚的數(shù)量也增加，是跟著一起變的；而狼的數(shù)量增加，羊的數(shù)量卻減少，是反過來變的。

師：?？托〕篝~的數(shù)量變化是相同的，叫作正向變化；而狼和羊的數(shù)量變化是相反的，叫作反向變化。

二、“扶”——引導(dǎo)建構(gòu)，理解概念

1.認(rèn)知規(guī)律。

師：除了自然界，在科技發(fā)達(dá)的人類社會(huì)里也存在這樣的現(xiàn)象：一輛汽車在公路上行駛，行駛時(shí)間和路程如下表：

時(shí)間/時(shí) 1 234567 ……路程/千米80 160 240 320 400 480 560 ……

師：觀察表格，你有什么發(fā)現(xiàn)？

預(yù)設(shè)：時(shí)間增加，路程也隨著增加。

師：你能具體說說嗎？

預(yù)設(shè)：時(shí)間從1 小時(shí)、2 小時(shí)、3 小時(shí)……增加，路程也從80 千米、160 千米、240 千米……增加。

明確：時(shí)間和路程是兩個(gè)相關(guān)聯(lián)的量，行駛時(shí)間增加，路程也隨著增加；反過來，時(shí)間減少，路程也隨著減少。兩個(gè)量是正向變化的。

師：在這樣的變化中，有不變的嗎？

預(yù)設(shè)：相對(duì)應(yīng)的路程除以時(shí)間的商不變。80÷1=80、160÷2=80、240÷3=80、320÷4=80、400÷5=80、480÷6=80、560÷7=80。

師：我們學(xué)過比的內(nèi)容了，你能把路程除以時(shí)間用比的形式描述并求比值嗎？

師：這里路程和時(shí)間比的比值都是80，比值80 是什么呢？

明確：路程與對(duì)應(yīng)時(shí)間的比的比值是速度。

師：現(xiàn)在你能完整說說路程、時(shí)間、速度的變化情況了嗎？

明確：時(shí)間和路程是兩個(gè)相關(guān)聯(lián)的量，時(shí)間變化，路程也隨之變化，但路程和時(shí)間的比值即速度不變。

2.理解概念。

師：你能用一個(gè)式子來表示路程、時(shí)間、速度這三個(gè)量的關(guān)系嗎？先想一想，再和同桌交流。

對(duì)比優(yōu)化：這三個(gè)式子都清晰地反映了路程、時(shí)間、速度的關(guān)系，對(duì)比第（1）個(gè)式子，第（2）個(gè)式子針對(duì)表格數(shù)據(jù)更具體，第（3）個(gè)式子更具有一般性，能夠反映所有速度不變的情況。

談話：第（3）個(gè)式子揭示了路程、時(shí)間、速度三個(gè)量的本質(zhì)關(guān)系，也非常接近數(shù)學(xué)上相關(guān)概念的定義。數(shù)學(xué)上，用來表示，“一定”即不變的意思。請(qǐng)看教材第56 頁最下面一段話。

預(yù)設(shè)：路程和時(shí)間成正比例關(guān)系。

明確：路程和時(shí)間是兩種相關(guān)聯(lián)的量，時(shí)間變化，路程也隨著變化。當(dāng)路程和相對(duì)應(yīng)時(shí)間的比的比值總是一定（即速度一定）時(shí)，行駛的路程和時(shí)間成正比例關(guān)系，行駛的路程和時(shí)間是成正比例的量。

師：現(xiàn)在你知道正比例關(guān)系的意思了吧，這就是今天要學(xué)習(xí)的內(nèi)容——“正比例的意義”（揭題）。

三、“放”——遷移對(duì)比，深化概念

1.自主探究，深化理解。

師：其實(shí)在我們的生活中就有這種關(guān)系。比如：你在購買一種鉛筆時(shí)，數(shù)量和總價(jià)的情況如下表：

師：誰來說說你們組的想法？

預(yù)設(shè)：鉛筆的總價(jià)和數(shù)量成正比例關(guān)系，因?yàn)榭們r(jià)和數(shù)量的比值不變，都是0.4。

提問：這個(gè)0.4 表示什么？

預(yù)設(shè)：鉛筆的單價(jià)。

追問：能用一個(gè)式子表示嗎？

師：那總價(jià)和數(shù)量相關(guān)聯(lián)嗎？

預(yù)設(shè)：（1）總價(jià)和數(shù)量是兩個(gè)相關(guān)聯(lián)的量，數(shù)量變化，總價(jià)也隨著變化；（2）總價(jià)和數(shù)量是兩個(gè)相關(guān)聯(lián)的量，總價(jià)變化，數(shù)量也隨著變化。

師：這兩個(gè)說法你認(rèn)可哪一個(gè)？為什么？

預(yù)設(shè)：第一個(gè)，因?yàn)榭們r(jià)是隨著數(shù)量的變化而改變的，數(shù)量變化才導(dǎo)致總價(jià)的變化。

明確：總價(jià)和數(shù)量是兩個(gè)相關(guān)聯(lián)的量，數(shù)量變化，總價(jià)也隨著變化。當(dāng)總價(jià)和相對(duì)應(yīng)數(shù)量的比值一定（也就是單價(jià)一定）時(shí)，總價(jià)和數(shù)量成正比例關(guān)系，總價(jià)和數(shù)量是成正比例的量。

2.辨別區(qū)分，提煉模型。

（1）判斷分析。

師：你能像老師這樣，舉幾個(gè)生活中成正比例關(guān)系的例子嗎？

預(yù)設(shè)：①單價(jià)8 元一本，訂雜志的總價(jià)和數(shù)量；②人的身高和體重；③一本書120 頁，已讀頁數(shù)和剩余頁數(shù)；④生產(chǎn)衣服的總數(shù)和工作時(shí)間；⑤年齡相差25 歲，我的年齡和爸爸的年齡；⑥全班48 人分組做游戲，分組時(shí)每組人數(shù)和組數(shù)。

師：他們舉的例子都是正比例關(guān)系嗎？

小組活動(dòng)要求：想一想：你舉的例子中兩個(gè)量成正比例關(guān)系嗎？為什么？寫一寫：利用空表格和組內(nèi)成員創(chuàng)造幾組數(shù)據(jù)，寫出相對(duì)應(yīng)的比，并求出比值。說一說：交流你的想法。

分層交流:

第一層：“真”正比例關(guān)系。

數(shù)量/本123456 ……總價(jià)/元816 24 32 40 48 ……

明確：總價(jià)和數(shù)量是兩個(gè)相關(guān)聯(lián)的量，數(shù)量變化，總價(jià)也隨著變化，。所以是兩個(gè)相關(guān)聯(lián)的量，且比值一定。

第二層：“假”正比例關(guān)系。

?時(shí)間/天123456 ……衣服總數(shù)/件 25 48 60 100 150 180 ……

明確：時(shí)間和總數(shù)是兩個(gè)相關(guān)聯(lián)的量，時(shí)間變化，總數(shù)也隨著變化，但是，總數(shù)和時(shí)間的比值是變化的，不是正比例關(guān)系。

第三層：“像”正比例關(guān)系。

錯(cuò)例①。

?已讀/頁510 15 20 25 30 ……未讀/頁120 115 110 105 100 95 ……

已讀頁數(shù)+剩余頁數(shù)=總頁數(shù)（一定），和一定，不是正比例關(guān)系。

錯(cuò)例②。

我的年齡/歲 137912 15 ……爸爸年齡/歲 26 28 32 34 37 40 ……?

爸爸年齡-我的年齡=年齡差（一定），差一定，不是正比例關(guān)系。

錯(cuò)例③。

images/BZ_62_986_726_1098_778.png身高/厘米 135 140 145 150 155 160 ……體重/千克 35 42 45 53 55 60 ……

身高和體重不是相關(guān)聯(lián)的量，不是正比例關(guān)系。

錯(cuò)例④。

?每組人數(shù)/人 2346812 ……組數(shù)/組24 16 12864 ……

每組人數(shù)和組數(shù)是相關(guān)聯(lián)的量，但每組人數(shù)×組數(shù)=總?cè)藬?shù)，積一定，不是正比例關(guān)系。

談話：其實(shí)這是我們后面要學(xué)到的反比例關(guān)系。

對(duì)比：與“真”正比例關(guān)系相比，其他幾個(gè)例子有什么區(qū)別？

提問：是否為正比例關(guān)系，只要存在“一定”不變的量的式子就可以判斷了嗎？

預(yù)設(shè)：要先判斷兩個(gè)量是不是相關(guān)聯(lián)的。

明確：必須滿足①兩個(gè)量是相關(guān)聯(lián)的量，一個(gè)量變化，另一個(gè)量也隨之變化；②兩個(gè)量的比的比值一定不變。

小結(jié)：在判斷是否為正比例關(guān)系時(shí)，判斷的依據(jù)需要首先看是否為相關(guān)聯(lián)的兩個(gè)量，其次再判斷這兩個(gè)量的比的比值是否一定，才能斷定。

（2）概括模型。

觀察這幾個(gè)式子：

師：這幾個(gè)式子有什么相同點(diǎn)嗎？

預(yù)設(shè)：①都是比的形式；②都是相關(guān)聯(lián)的量；③比值都是一定的。

師：如果用x 和y 表示兩種相關(guān)聯(lián)的量，用k 表示它們的比值，你能用一個(gè)式子表示正比例關(guān)系嗎？

四、“結(jié)”——回顧反思，延伸概念

談話：今天我們學(xué)習(xí)了正比例的意義，誰能說說成正比例的量具有怎樣的關(guān)系？回顧研究的過程你有哪些體會(huì)？

（用PPT 呈現(xiàn)思維流程圖，帶領(lǐng)學(xué)生回顧整節(jié)課）

師：在我國古代就發(fā)現(xiàn)相關(guān)聯(lián)量的聯(lián)系，比如水漲船高、唇亡齒寒、舟隨潮起、泥多佛大等。當(dāng)這兩個(gè)相關(guān)聯(lián)的量成正比例關(guān)系時(shí)，就可以產(chǎn)生解決實(shí)際問題的方法。（視頻播放“測(cè)量金字塔高度”的故事）

延伸：看了古希臘的哲學(xué)家泰勒斯測(cè)金字塔的故事后，如果要測(cè)一棵大樹的高度你會(huì)解決嗎？課后與組員一起研究。