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    構(gòu)建“方”與“圓”的聯(lián)系,延伸數(shù)學思維的觸角
    ——人教版六年級上冊“圓的面積”教學思考

    2022-03-23 03:15:12湖北省武漢市光谷第七小學虢小鵬
    天津教育 2022年4期
    關(guān)鍵詞:八邊形長方形正方形

    ■湖北省武漢市光谷第七小學 虢小鵬

    圓在小學數(shù)學“圖形與幾何”板塊有著重要的地位,學生對圓的面積推導相對直邊圖形的面積推導要困難許多。學生要探索并掌握圓的面積公式,發(fā)現(xiàn)圓的面積公式與其他平面圖形面積公式的聯(lián)系和區(qū)別,尋求問題解決的思路,獲取理性的認知。六年級上冊“圓”這一單元,在小學數(shù)學“圖形與幾何”板塊有著重要的地位,特別是“圓的面積”推導,相對低年級時學習的直邊圖形的面積推導,學生在理解和掌握上顯得困難重重。圓的面積學習的目標行為動詞為“探索”和“掌握”——探索并掌握圓的面積公式,也就是要求學生經(jīng)歷圓面積公式的探究過程,發(fā)現(xiàn)圓與已學過的平面圖形存在的聯(lián)系和區(qū)別,從而找到研究的方向和思路,并獲得理性、嚴謹?shù)恼J知。

    從縱向來看學生所要學習的數(shù)學知識,“圓”的學習是學生在整個“形”的認識過程中,由“直邊”進入“曲邊”的重要一步,數(shù)學思想從“有限”踏入“無限”的關(guān)鍵一環(huán)。在“圓的面積”一課中,在學生已有的直邊圖形面積公式推導過程中的“化歸思想”,在圓的面積計算公式推導中同樣適用;在推導過程中,學生的思維需要實現(xiàn)化曲為直,實現(xiàn)有限和無限、近似和精確的轉(zhuǎn)換,這是一個科學辯證過程。在這個過程中,運用了極限思想和極限方法。面積是一個二維概念,學生能直觀地感受到它所占的區(qū)域具有一定的大小。在授課之初,教師要對其度量意義有一定的認識:一是邊長為1 個單位長度的正方形作為面積單位;二是“運動不變性”,即圖形經(jīng)過有限次的平移、旋轉(zhuǎn)后面積大小不變;三是“有限可加性”,即兩個不重疊的圖形合并的面積,等于這兩個圖形的面積之和。

    一、回憶舊知,確定研究方案

    圓的面積一課是在學生認識了圓的特征及其本質(zhì)屬性的基礎(chǔ)上展開教學的,故在教學圓的面積前,要準確把握學生已有的知識和能力水平。一是課前要進一步的溝通圓各部分與圓的面積之間聯(lián)系(半徑?jīng)Q定圓的大小);二是要加深圓的面積相關(guān)因素的分析(半徑、直徑、周長);三是圓面積公式探究的研究方案要細致指導(回憶長方形、正方形、平行四邊形面積公式推導過程)。必要的教學前導,能促進學生知識的正向遷移。新課伊始,要讓學生復習長方形、平行四邊形的面積公式的推導過程,總結(jié)、回憶已有的探索平面圖形面積的基本策略是數(shù)方格、轉(zhuǎn)化為已知圖形,并進一步回憶平行四邊形的面積公式的探索過程,得出剪拼、觀察、推理的活動步驟。

    (1)出示大方格中的圓,提出問題:我們先用數(shù)方格的形式,得到一個圓的面積。數(shù)一數(shù),你有什么感受?

    (2)出示小方格中的圓,提出問題:你又有什么想法?要更精確還能怎么做?

    學生通過回憶、遷移,發(fā)現(xiàn)運用數(shù)方格的方法,格子分得越小,越來越接近圓的面積,可以估出圓的面積的取值范圍,但是不好測量,比較麻煩,無法精確的探究曲邊圖形“圓”的面積。課堂上學生的思維自然轉(zhuǎn)移到“轉(zhuǎn)化”上,再根據(jù)教師有目的、有意義的學習任務(wù)的設(shè)計和引導,逐步明晰研究的路徑。經(jīng)歷從現(xiàn)象到本質(zhì)的認識過程是數(shù)學探究活動的著力點。在整個研究過程中,教師所設(shè)計的學習任務(wù)要讓不同層次的學生都能動手,并呈現(xiàn)不同的思維方式。學生在同伴互助和思維碰撞中實現(xiàn)知識的獲取、情感上的愉悅。班級中不同層次的學生思維的深度與廣度是不同的,根據(jù)同伴不同的思維表現(xiàn),學生更有興趣去探究、傾聽他人的想法,完善自己的思考,進而會共同加深對圓面積公式的理解。

    二、借助幾何直觀,發(fā)展推理能力

    (一)化曲為直,初步體會極限思想

    (1)出示圓的外切正方形和內(nèi)接正方形,你有什么想法?(正方形和圓的面積相差太大)

    (2)出示正方形演變成了正八邊形,你又有什么想法?

    (正八邊形與圓的面積更加接近)教師指出這就是化曲為直的數(shù)學方法。

    在“轉(zhuǎn)化”環(huán)節(jié),首先出示圓的外切正方形和內(nèi)接正方形,讓學生直觀地感受圓的面積和正方形面積的“大小”關(guān)系——圓的面積和正方形的面積相差太大。然后進行切割,得到正八邊形,再來說一說切割前后又有什么感受?通過觀察,學生自然發(fā)現(xiàn),通過切割得到的正八邊形的面積無論是“外切”還是“內(nèi)接”都接近圓的面積了。教師適時追問:“如果用這兩種方法繼續(xù)切割下去,你覺得會怎么樣?”師生共同討論,最后達成一致意見:當切割的正多邊形的邊數(shù)越多時,它的面積就越接近圓的面積。當切的邊數(shù)足夠多時,正多邊形的面積就無限趨近于圓的面積——這就是化曲為直的數(shù)學方法。

    (二)直觀想象,確定圓的轉(zhuǎn)化方向

    通過剛才的觀察、討論學生會自然聯(lián)想:只要求出了所切割的正八邊形的面積,就能近似求出圓的面積。研究的問題就轉(zhuǎn)換成了:那如何計算圓內(nèi)的正八邊形得到面積呢?師生交流,將正八邊形分割成8個同樣的三角形后,可以得出三種策略:

    (1)測量其中一個三角形的底和高,再計算它的面積,最后乘三角形個數(shù)得出正八邊形的面積。

    (2)將分割后的8 個三角形拼成一個梯形,梯形的上底等于一個三角形的底;下底等于3 個三角形的底;梯形的高等于2 個三角形的高。測量出它們的長度,然后運用公式算出梯形的面積,算出正八邊形的面積。

    (3)將這些三角形拼成一個平行四邊形,再測量它的底和高,利用公式算出面積。

    教師組織學生進行交流討論,可以得出:根據(jù)減少誤差(計算三角形面積和梯形面積時有可能出現(xiàn)不是整除的情況)的標準確定第三種轉(zhuǎn)化的策略。

    緊接著教師追問:“將正八邊形轉(zhuǎn)化成平行四邊形可以求出它的面積,圓的面積又接近正八邊形,那圓能不能用剛才的辦法也求出它的面積?”

    動手操作。教師先示范等分4 份的情況。再出示小組活動要求:

    活動目的:圓能不能轉(zhuǎn)化為平行四邊形

    活動要求:1.每組2 個人合作剪一個,拼成平行四邊形。

    2.觀察拼成的平行四邊形,隨著等分份數(shù)的增加,你有什么發(fā)現(xiàn)?

    學生展開聯(lián)想:對圓也可以嘗試向正八邊形一樣平均分成若干份,然后拼成近似的平行四邊形。等分的份數(shù)越多,拼出的圖形越接近平行四邊形。

    (三)體會圖形運動過程,進一步感受極限思想

    學生在之前的學習中已經(jīng)了解過“無限”,如直線向兩端無限延伸,自然數(shù)是無限的?!盁o限”概念的傳授,在小學階段,一是用有限的動態(tài)方式體現(xiàn)“無限”的過程,如“兩條直線永不相交”;二是用極限的方法處理“無限”,如圓的周長和面積探索。

    而在將圓轉(zhuǎn)化成長方形的過程中,學生動手操作(剪、拼),然后通過同時呈現(xiàn)幾幅(將圓等分成4份、8 份、16 份、32 份……)等分拼接圖進行想象:當分到足夠多份時,圓最終轉(zhuǎn)化成了長方形。學生在直觀中經(jīng)歷極限的想象過程,也就是在觀察圖形“有限分割”的基礎(chǔ)上,想象“無限分割”。首先進一步強調(diào)轉(zhuǎn)化后的圖形面積等于圓的面積;接著組織學生小組討論,自己聯(lián)系“轉(zhuǎn)化”前后圖形的關(guān)系,也就是圓的半徑等于長方形的寬,圓周長的一半等于長方形的長;最后自行推導出圓的面積公式。不同層次學生在交流中進行互相啟發(fā),從而使各自的思維達到更深層次。

    (1)理清圓和長方形之間的聯(lián)系

    小組交流:觀察等分32 份的情況,你發(fā)現(xiàn)圓和長方形之間有什么聯(lián)系?

    (2)學生推導公式

    根據(jù)你們找到的圓和長方形的關(guān)系,你能得到圓的面積公式嗎?先在組內(nèi)說一說,你們小組是如何想的?再請你寫一寫。

    (3)展示學生成果

    (4)回顧反思:回顧一下,我們是怎樣將一個圓轉(zhuǎn)化為長方形的?它們之間有什么聯(lián)系?如何得到圓的面積公式?

    (5)介紹割圓術(shù)

    在學生自主推導出“圓的面積公式”后,“頭腦風暴”式的成果交流展示是“重頭戲”。一般在平時的課堂中,在此環(huán)節(jié)教師基本有三種策略:一是從低水平到高水平的分析學生成果;二是展示最高水平的成果,再對比低水平成果中存在的問題,并進行完善和調(diào)整;三是同時對比、分析不同水平的作品,組織學生討論它們的相同點和缺憾。教師采用那種策略取決于教學內(nèi)容,學生的認知水平以及成果的完成程度也具有一定影響?!皥A的面積”一課應(yīng)采取第二種策略,讓學生在思維的碰撞中擦出靈感的火花,更深入探究圓的面積與半徑之間的關(guān)系,提升學習的興趣,讓不同層次學生在交流、討論中都能有所思、有所得。

    在本課中,學生思維難點在“為什么最終會是一個長方形?”因為在學生看來,有限地等分成小扇形后,它們的弧依然是“彎彎”的,不是直的,所拼成的近似長方形的長是一條曲線。這里的關(guān)鍵是要在“有限”的圖形上,引導學生進行想象“無限”:當?shù)确值姆輸?shù)趨向于無限的時候,拼成的圖形才越來越接近長方形,長方形就是這個“無限圖形”的終極形態(tài)。在學生觀察想象時,要整體呈現(xiàn)多幅轉(zhuǎn)化后的圖形,著重引導學生思考拼成的圖形的變化趨勢。在這一過程中,教師要強調(diào)運動的觀點,引導學生思維向“無限”延伸,想象所拼圖形的終極形態(tài),從而最終領(lǐng)會圓經(jīng)過無限等分后拼成的是一個真正的長方形。在推導出圓的面積公式的同時,真正體會到數(shù)學中的“極限思想”,提升學生的抽象和推理能力。

    三、數(shù)學思維要在有價值的學習任務(wù)中走向深刻

    圓的面積公式的推導有其特殊性,相對學習直邊平面圖形面積來說,需要學生經(jīng)過“化曲為直”來操作,有時候甚至是“以直代曲”,從而感悟“極限思想”的內(nèi)涵,在有限和無限、近似和精確中相互轉(zhuǎn)換思維,這是一個復雜的辯證過程。在教學前,教師要找準學生的知識起點;在教學中要及時掌握學生思維動態(tài),讓學生參與連貫的、系列性的圓的面積推導過程;在教學后讓學生在知識與技能方面進行實踐,運用學習的知識、思想、方法等解釋現(xiàn)象、解決問題。直觀的圖形往往比千言萬語更能把握研究對象的的本來面貌。從內(nèi)接正方形與外切正方形聯(lián)系猜想圓的面積,再到圓的面積與其他直邊圖形面積的辯證關(guān)系,這些都可以借助幾何直觀完成,把復雜的問題形象化,把抽象的問題直觀化。在學生的整個學習過程中,既有歸納(合情推理),也有演繹(邏輯推理),二者相輔相成。學生在一系列的觀察、猜想、驗證等探究學習活動中,以“割補法”為推理起點,聯(lián)系長方形面積公式,并進行歸納,得到推理的結(jié)果:圓的面積等于無限分割后所拼成長方形的面積。

    在小學數(shù)學課堂教學中,數(shù)學基本活動經(jīng)驗的積累和數(shù)學思維的培養(yǎng),不僅要看結(jié)果,更要重視積累的過程;不僅要引導學生對原有經(jīng)驗的內(nèi)化,更要促進學生新的生成經(jīng)驗。在平時的教學實踐中,教師要善于建構(gòu)教材,對知識的前后聯(lián)系和影響要做到心中有數(shù),通過巧妙的教學設(shè)計將數(shù)學活動經(jīng)驗和數(shù)學思想方法直觀地呈現(xiàn)在學生面前,幫助學生形成知識脈絡(luò),促進經(jīng)驗的正向遷移和內(nèi)化,讓學生學會舉一反三,靈活運用和遷移已有的經(jīng)驗解決實際新的問題,以此推動學生多元思維的發(fā)展。

    總之,高質(zhì)量的“交流”源于值得交流的數(shù)學活動,而承載“值得交流”的,是教師精心設(shè)計的有挑戰(zhàn)性的學習任務(wù),這樣的任務(wù)使學生經(jīng)歷真研究、真思考、真理解,從而形成富有生命力的課堂。這樣的課堂教學對學生來說,是自信的開端、求知的呼喚、精神的愉悅和個性的彰顯;而對教師來說,是經(jīng)驗的分享、智慧的傳遞、心靈的溝通與真情的交融。

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