一類分?jǐn)?shù)階無窮點(diǎn)邊值問題解的存在性和唯一性

武 瑜,王文霞

(太原師范學(xué)院 數(shù)學(xué)系，山西 晉中 030619)

0 引言

由于分?jǐn)?shù)階微分方程在熱學(xué)、光學(xué)、生物組織學(xué)、黏彈性力學(xué)及材料學(xué)中的廣泛應(yīng)用，其理論研究近年來得到了快速發(fā)展，研究成果非常豐富，參見文獻(xiàn)[1-5].最近，分?jǐn)?shù)階微分方程無窮點(diǎn)邊值問題受到一些學(xué)者的關(guān)注，見文獻(xiàn)[6-10].文獻(xiàn)[6]研究了如下分?jǐn)?shù)階無窮點(diǎn)邊值問題：

受上述文獻(xiàn)啟發(fā)，本文研究如下非線性項(xiàng)中含有分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)的分?jǐn)?shù)階邊值問題：

(1)

其中n-1<α≤n，m-1<β≤m，m≤n-2，m≥1，ηj≥0，i∈[1，n-2]是一個(gè)整數(shù)，f:[0，1]×R×R→R是連續(xù)函數(shù)，0<ξ1<ξ2<…<ξj-1<ξj<…<1(j=1，2，…)，且

本文運(yùn)用Schauder不動(dòng)點(diǎn)定理以及Banach壓縮映射原理，討論邊值問題(1)解的存在性與唯一性的充分條件.由于邊值問題(1)的非線性項(xiàng)中涉及到分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)，因此本文使用的Banach空間以及條件與文獻(xiàn)[6]不同.

1 預(yù)備知識(shí)和引理

定義1[1]連續(xù)函數(shù)f:(0，+∞)→R的α>0階Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階積分為

其中，等式的右端在(0，+∞)有定義.

定義2[1]連續(xù)函數(shù)f:(0，+∞)→R的α>0階Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)為

其中n=min{m∈Z:m≥α}，等式的右端在(0，+∞)有定義.

引理1[6]若y(t)∈C[0，1]，則下面邊值問題

(2)

有唯一解u(t)，且

其中

引理2函數(shù)G(t，s)在[0，1]×[0，1]上是連續(xù)的，且?(t，s)∈[0，1]×[0，1]，有

證明G(t，s)在[0，1]×[0，1]上連續(xù)是顯然的.注意到

于是有

當(dāng)0≤s≤t≤1時(shí)，

當(dāng)0≤t≤s≤1時(shí)，

證畢.

注1 當(dāng)u(t)為邊值問題(2)的解時(shí)，計(jì)算可得：

其中

注2 類似于引理2的證明易證G1(t，s)在[0，1]×[0，1]上是連續(xù)的，且

根據(jù)文獻(xiàn)[1]可知E為Banach空間.定義算子F:E→E如下：

(3)

根據(jù)注1可得：

(4)

引理3[1](Schauder不動(dòng)點(diǎn)定理)設(shè)Χ是實(shí)Banach空間E中的一個(gè)非空有界凸閉集，A:Χ→Χ全連續(xù)，則A在Χ中存在不動(dòng)點(diǎn).

引理4[1](Banach壓縮映射原理)設(shè)(Χ，ρ)是一個(gè)完備的度量空間，F(xiàn)?Χ為閉集，映射T:F→F，如果存在k∈(0，1)，使得對(duì)任意x，y∈F，都有

ρ(Tx，Ty)≤kρ(x，y)，

則T在F中存在唯一不動(dòng)點(diǎn).

2 主要結(jié)果

定理1設(shè)f∈C([0，1]×R×R，R)，且存在非負(fù)函數(shù)p(t)，q(t)，r(t)∈L1[0，1]，使得

|f(t，u，v)|≤p(t)|u|+q(t)|v|+r(t)，?t∈[0，1]，?(u，v)∈R2.

若

則邊值問題(1)至少有一個(gè)解.

證明 選取

令

Ω={x:x∈E，‖x‖≤K}.

首先證明F:Ω→Ω.對(duì)?u∈Ω，有

故‖F(xiàn)u‖≤K.所以F:Ω→Ω.

其次證明F:Ω→Ω是連續(xù)的.設(shè){un}?Ω，u∈Ω，當(dāng)n→+∞時(shí)，有‖un-u‖→0，故存在常數(shù)r0>1，使得‖u‖

由Lebesgue控制收斂定理可知，

所以‖F(xiàn)un-Fu‖→0，n→+∞，即F:Ω→Ω是連續(xù)的.

最后證明F:Ω→Ω是相對(duì)緊的.設(shè)Ω1是Ω的有界集，則存在常數(shù)r1>1，使得對(duì)任意的u∈Ω1，有‖u‖

此外，因G(t，s)，G1(t，s)在(t，s)∈[0，1]×[0，1]一致連續(xù)，即?ε>0，?δ>0，使得當(dāng)t1，t2∈[0，1]，t1>t2，|t1-t2|<δ時(shí)，有

故

即FΩ1等度連續(xù).

由Arzela-Ascoli定理可知，算子F:Ω→Ω是全連續(xù)算子，故由引理3可知邊值問題(1)在Ω中至少有一個(gè)解.證畢.

定理2設(shè)f∈C([0，1]×R×R，R)，且存在L1(t)，L2(t)∈L1[0，1]，使得

|f(t，u1，v1)-f(t，u2，v2)|≤L1(t)|u1-u2|+L2(t)|v1-v2|，?t∈[0，1]，ui，vi∈R，i=1，2.

若

則邊值問題(1)有唯一解.

證明 ?u，v∈E，?t∈[0，1]，有

因此，‖F(xiàn)u-Fv‖≤θ‖u-v‖.又因?yàn)?<θ<1，故F為壓縮映射.于是，由引理4可知邊值問題(1)有唯一解，證畢.

3 例子

例1考慮下面邊值問題：

(5)

f(t，u，v)≤p(t)|u|+q(t)|v|+r(t)，

及

故

于是定理1的條件都滿足，故邊值問題(5)至少存在一個(gè)解.

例2考慮下面邊值問題：

(6)

|f(t，u1，v1)-f(t，u2，v2)|≤L1(t)|u1-u2|+L2(t)|v1-v2|，

0<θ≈0.634 8<1.

于是定理2的條件滿足，故邊值問題(6)有唯一解.