分?jǐn)?shù)階復(fù)變量混沌系統(tǒng)的復(fù)投影同步

張曉青，杜澤英

(太原工業(yè)學(xué)院 理學(xué)系，太原030008)

混沌運(yùn)動(dòng)是非線性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)中看似無(wú)序，實(shí)則有規(guī)律的一種復(fù)雜類隨機(jī)運(yùn)動(dòng).隨著混沌和多個(gè)學(xué)科的融合，關(guān)于混沌的同步控制研究在不少領(lǐng)域取到了顯著的成果，特別是利用混沌同步實(shí)現(xiàn)通信保密方面，然而復(fù)投影同步[1]在這方面的應(yīng)用前景更加廣闊.復(fù)投影同步中的尺度因子為復(fù)矩陣，復(fù)變量可以展開為實(shí)部分量與虛部分量，這使得變量數(shù)量增加一倍，進(jìn)而信息傳輸量也增加一倍，并且復(fù)矩陣具有任意性且比實(shí)矩陣更難以預(yù)測(cè)，而且復(fù)數(shù)的乘積和導(dǎo)數(shù)運(yùn)算也更復(fù)雜，因此大大降低了攔截器從傳輸信號(hào)中提取信息的可能性.1982年A.C.Fowler等人提出了復(fù)洛倫茲方程[2]，打開了學(xué)者們開始研究復(fù)混沌系統(tǒng)的大門.1990年，學(xué)者們發(fā)現(xiàn)初值敏感，運(yùn)動(dòng)復(fù)雜的混沌系統(tǒng)可以實(shí)現(xiàn)同步，掀起了研究混沌相關(guān)同步的熱潮.文獻(xiàn)[3]針對(duì)耦合復(fù)混沌系統(tǒng)，推導(dǎo)控制律使復(fù)狀態(tài)向量漸近同步到所需的復(fù)函數(shù)矩陣實(shí)現(xiàn)復(fù)雜函數(shù)投影同步.文獻(xiàn)[4]研究了兩個(gè)相異分?jǐn)?shù)階復(fù)混沌系統(tǒng)(復(fù)Lorenz系統(tǒng)、復(fù)Chen系統(tǒng))在復(fù)空間內(nèi)的動(dòng)力學(xué)行為、特征，以及其同步方法，并說(shuō)明它們?cè)诎踩ㄐ欧矫娴膽?yīng)用.文獻(xiàn)[5]利用激活控制法實(shí)現(xiàn)了不同類型(整數(shù)階和分?jǐn)?shù)階)的混沌的錯(cuò)位投影(DPS)同步.本文首先刻畫了復(fù)矩陣下的投影同步定義，其次依據(jù)分?jǐn)?shù)階穩(wěn)定性理論設(shè)計(jì)分離實(shí)部虛部的統(tǒng)一控制輸入項(xiàng).然后選取相異的兩個(gè)三維復(fù)變量混沌系統(tǒng)作為案例，設(shè)計(jì)控制輸入項(xiàng)，最后數(shù)值仿真進(jìn)行驗(yàn)證.

1 控制器的設(shè)計(jì)

存在一個(gè)n維復(fù)變量分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)作為驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)：

dαx/dtα=Ax+f(x)

(1)

響應(yīng)系統(tǒng)為n維復(fù)變量分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)：

dαy/dtα=By+g(y)+U(x,y)

(2)

其中，x=xr+jxi∈Cn×1，y=yr+jyi∈Cn×1為復(fù)狀態(tài)向量，A,B∈Rn×n為參數(shù)矩陣，f,g為非線性復(fù)向量函數(shù)，U為所設(shè)計(jì)的非線性控制輸入項(xiàng).

定義1對(duì)于系統(tǒng)(1)和(2)，如果存在非零復(fù)值矩陣：

(3)

定理1設(shè)計(jì)如下控制器:

(4)

證明 根據(jù)定義1，可以得到系統(tǒng)(1)和系統(tǒng)(2)的誤差如下：

(5)

系統(tǒng)(5)的分?jǐn)?shù)α階導(dǎo)數(shù)為：

(6)

將系統(tǒng)(1)，(2)代入(6)式，整理得：

(7)

將所設(shè)計(jì)的控制器(4)代入(7)得：

(8)

2 分?jǐn)?shù)階復(fù)Chen系統(tǒng)和分?jǐn)?shù)階復(fù)T系統(tǒng)

復(fù)變量分?jǐn)?shù)階混沌Chen系統(tǒng)[6]如下：

(9)

其中，0<α<1，a1，a2，a3為Chen系統(tǒng)參數(shù)，x1，x2，x3是復(fù)值狀態(tài)變量.Chen系統(tǒng)的初值、參數(shù)以及分?jǐn)?shù)階數(shù)分別為(x1,x2,x3)T=(1+2j,1.5+4j,3)T，(a1,a2,a3)T=(42,26,4)T，α為0.95時(shí)，系統(tǒng)(9)是混沌狀態(tài)的.吸引子的二維相圖見圖1所示.

圖1 Chen系統(tǒng)的二維相圖

將三維復(fù)變量分?jǐn)?shù)階Chen混沌系統(tǒng)選作驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)，三維復(fù)變量分?jǐn)?shù)階T系統(tǒng)選作響應(yīng)系統(tǒng)，添加非線性復(fù)值控制輸入機(jī)制的T系統(tǒng)為[7]：

(10)

其中階數(shù)0<α<1，b1,b2,b3為系統(tǒng)參數(shù)，y1,y2,y3是復(fù)值狀態(tài)變量.分?jǐn)?shù)階復(fù)變量T系統(tǒng)的系統(tǒng)參數(shù)、初始值分別為(b1,b2,b3)T=(2.1,27.9,0.6)T,(y1,y2,y3)T=(8+7j,6+8j,7)T，并且分?jǐn)?shù)階α=0.95時(shí)，復(fù)變量T系統(tǒng)是混沌狀態(tài).系統(tǒng)(10)吸引子的二維相圖見圖2所示.

圖2 T系統(tǒng)吸引子的二維相圖

3 分?jǐn)?shù)階復(fù)Chen系統(tǒng)和復(fù)T系統(tǒng)的CPS

把系統(tǒng)(9)和 (10)寫成如下形式：

(11)

(12)

為復(fù)控制函數(shù)，任取復(fù)尺度因子為

定理2設(shè)計(jì)控制輸入項(xiàng)為：

(13)

其中，所選擇的增益控制矩陣

證明 系統(tǒng)(11)和系統(tǒng)(12)的CPS誤差函數(shù)如下：

(14)

對(duì)方程(14)做α階導(dǎo)數(shù)，并將所設(shè)計(jì)的控制輸入項(xiàng)(13)代入得：

(15)

滿足

則系統(tǒng)(11)與(12)實(shí)現(xiàn)了CPS.

4 數(shù)值仿真

圖3 誤差曲線

5 結(jié)論

本文利用分?jǐn)?shù)階穩(wěn)定性理論，設(shè)計(jì)了合適的普適復(fù)值非線性輸入項(xiàng)，實(shí)現(xiàn)了階數(shù)為α為0.95的復(fù)變量Chen系統(tǒng)和復(fù)變量T系統(tǒng)的CPS.通過理論分析，以及MATLAB數(shù)值仿真繪制CPS同步誤差曲線圖，觀察到曲線快速趨向于0，驗(yàn)證了所設(shè)計(jì)的非線性復(fù)值控制輸入項(xiàng)的正確性.本文所做成果在信息傳輸領(lǐng)域有潛在的應(yīng)用價(jià)值.