轎車側(cè)方位安全出車的數(shù)學(xué)模型建立與求解

謝小軍，薛申芳

(廣州工商學(xué)院，廣東 廣州 510850)

0 引言

在轎車實際駕駛中，側(cè)方位出車時避免與前車剮蹭都是靠司機的實際經(jīng)驗或目測參考物安全出位，但該問題的建模與模擬仍然具有一定的理論意義以及利用光學(xué)設(shè)備導(dǎo)引[1]駕駛中的應(yīng)用價值，在文獻[2-3]中給出了轎車四輪運動軌跡的連續(xù)性微分方程模型，但沒給出車頭前角的運動規(guī)律.下文為了討論轎車安全出位，除了在討論車輪要素，還要考慮車前角要素，首先把轎車的車頭兩角、四輪中心位置近似地視為平面正方形的頂點或邊點，在打滿方向盤時轉(zhuǎn)角是定值，后輪始終追向前輪的方向，每一側(cè)的車頭角與兩輪中心點成一條直線，利用微元法去建立離散模型并進行仿真.

1 數(shù)學(xué)模型的建立

通常轎車車頭稍窄且車頭前角是斜形漸寬或圓滑形漸寬的形狀，所以側(cè)方位安全出車問題的討論更符合實際，可以把轎車簡化為一個平面正方形且建立圖示xoy坐標系(參看圖1)，其中點A,B,C,D分別代表左后輪、左前輪、右后輪、右前輪與地面的接觸的中心點，U,E分別表示左車頭、右車頭的地下點.點C,D的距離為車軸距，點D,E的距離為車頭前沿與前軸中心距，此作為轎車的初始位置.由于通常側(cè)方位停車是在路的右側(cè)，所以轎車安全出位的討論只需考慮C,D,E三點的軌跡即可.下面以桑塔納轎車的參數(shù)[4]，在打滿方向盤且不考慮車輪打滑的情況下進行討論.記

t：表示時刻(t≥0)，t=0為圖1所示轎車的初始位置；

xi(t)：i=1,2,3分別表示t時刻C,D,E點的x坐標；

yi(t)：i=1,2,3分別表示t時刻C,D,E點的y坐標；

α：表示右前輪的最大轉(zhuǎn)向角(α=33.5°)；

a：軸距(前后軸中心距離)，即a=|CD|=2.603 m；

b：車頭前沿與前軸中心的距離，即b=|DE|=0.97 m；

c:：輪距(左右輪中心距離)，即c=1.506 m；

v：表示前輪的線速度，即D點的線速度，取v=1 m/s.

圖1 轎車平面示意圖

圖2 運動規(guī)律示意圖

下面用微元法建立點C,D,E的運動規(guī)律.假設(shè)t時刻C,D,E所在位置為如圖2所示，在時間微元時間段內(nèi)，可近似地認為D點沿以轉(zhuǎn)向角α的直線運動，在t+?t時刻，點D變到了D′，且|DD′|=v?t，點E變到了E′，點C變到了C′,記∠DD′C=γ,∠D′CD=δ,則α=γ+δ，且

x2(t+?t)=x2(t)+v?tcos(β+α)

(1)

y2(t+?t)=y2(t)+v?tsin(β+α)

(2)

x1(t+?t)=x1(t)+dcos(β+δ)

(3)

y1(t+?t)=y1(t)+dsin(β+δ)

(4)

(5)

(6)

其中

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

式(1)-(11)為C,D,E三點運動的離散數(shù)學(xué)模型.

2 模型求解

圖3 C,D,E三點軌跡

取采樣步長?t=0.01s，利用MATLAB進行計算，C,D,E三點的軌跡參看圖3.根據(jù)坐標系建立及軌跡為圓對稱知，軌跡圓的圓心在x軸上，在計算中當|y2|≈0時，得到軌跡圓與x軸的兩個交點分別為x′=-7.173 3,x″=2.289 2，得軌跡圓的圓心G(-2.442 1，0)；E點的軌跡半徑為：

可見，若前車左側(cè)與該車左側(cè)齊平的情況下，該車出位不剮蹭的最小距離為：

1.161 9 m.

3 結(jié)論

通過對轎車側(cè)方位出車時右側(cè)車頭角以及右側(cè)兩輪運動軌跡的離散數(shù)學(xué)模型，以大眾新桑塔納轎車參數(shù)進行的計算模擬，得到了轎車出位避免與前車剮蹭的最小距離.該模型簡練便于在汽車智能設(shè)備上運用.該建模方法也適用于對倒車入位等的討論；該建模方法也可以對轎車左前角及左側(cè)兩輪的軌跡類似地進行討論；該模型方法也可討論打滿方向盤時的前后輪差，以便更全面地掌握轎車的運動規(guī)律.