基于低秩矩陣近似的魯棒DOA估計(jì)方法

溫超，徐麗云，段鵬婷

（1. 山西大學(xué) 大數(shù)據(jù)科學(xué)與產(chǎn)業(yè)研究院，山西，太原 030006；2. 北方自動控制技術(shù)研究所，山西，太原 030006）

傳感器陣列波達(dá)方向(direction of arrival, DOA)估計(jì)在雷達(dá)、聲納、導(dǎo)航、無線通信和語音信號的處理應(yīng)用中發(fā)揮著重要作用[1-3]. 該技術(shù)利用陣列輸出數(shù)據(jù)或者其相關(guān)矩陣包含的入射信號方向及能量分布信息, 解決同時(shí)到達(dá)信號的方向估計(jì)問題[4]. 傳統(tǒng)估計(jì)方法顯式或者隱式地假定傳感器噪聲是等方差的空間不相關(guān)的高斯白噪聲, 噪聲協(xié)方差矩陣是對角陣. 在這種情況下, 常規(guī)最大似然(maximum likelihood, ML)方法[5-6]可預(yù)期得到好的估計(jì)結(jié)果. 若存在非均勻傳感器響應(yīng)、非理想接收通道以及非均勻介質(zhì)[7]等情況, 則噪聲在空間上是白色的但其方差并不相同, 即噪聲協(xié)方差對角陣元素各不相同. 這種噪聲模型同樣適用于聲納混響噪聲或外部地震噪聲[7-8]. 值得注意的是, 這種情況下基于均勻白色噪聲或一般彩色噪聲假設(shè)[9-10]的DOA估計(jì)方法可能無法給出令人滿意的結(jié)果, 因?yàn)榍罢呙つ烤鹊貙Υ袀鞲衅黜憫?yīng)而后者忽略了傳感器外部噪聲的相關(guān)性[7-11]. 因此, 如何提高在這種非均勻噪聲環(huán)境中的DOA參數(shù)估計(jì)性能是當(dāng)前陣列信號處理領(lǐng)域的研究熱點(diǎn)之一.

近似最大似然(approximate maximum likelihood,AML和常規(guī)最大似然一樣)估計(jì)方法[12]利用無信號(僅噪聲)樣本中估算噪聲協(xié)方差矩陣, 通過白化接收數(shù)據(jù)和估計(jì)信號子空間獲得DOA估計(jì), 但實(shí)際中難以獲得無信號樣本, 限制了該方法的廣泛應(yīng)用. 基于非均勻噪聲的ML方法[7,13-15]可以獲得比基于均勻噪聲的ML方法更好的估計(jì)精度, 其通過關(guān)于信號和噪聲參數(shù)的目標(biāo)函數(shù)的分步集中來得到DOA的估計(jì). 雖然這些ML方法實(shí)現(xiàn)了較高的估計(jì)精度,但大多數(shù)需要耗時(shí)的多維搜索, 并且性能依賴于高信噪比和大量快拍, 極大限制了其廣泛應(yīng)用. 為此,基于稀疏重構(gòu)的參數(shù)估計(jì)方法[16-18]近年來相繼被提出, 其利用信號空域稀疏特性, 通過參數(shù)離散化去除觀測模型中的方向變量, 將DOA估計(jì)問題轉(zhuǎn)化為線性模型下的稀疏信號恢復(fù)問題, 有利于提高在低信噪比條件下估計(jì)性能的魯棒性. BHASKAR等[19]提出基于原子范數(shù)最小化的噪聲抑制方法, 并利用陣列輸出的一階統(tǒng)計(jì)量模型和噪聲統(tǒng)計(jì)量先驗(yàn)知識獲得較好的參數(shù)估計(jì)性能. YANG等[20]進(jìn)一步利用原子范數(shù)最小化方法解決壓縮數(shù)據(jù)條件下正弦信號的頻率估計(jì)問題, 并分析了壓縮數(shù)據(jù)對頻譜估計(jì)性能的影響. HE等[21]提出基于協(xié)方差矩陣匹配構(gòu)建稀疏信號恢復(fù)模型, 并證明利用陣列輸出的二階統(tǒng)計(jì)量可以獲得更好的理論估計(jì)性能[22]. 然而, 這些參數(shù)離散化的方法無法避免在離散化間隔大小和計(jì)算復(fù)雜度之間的權(quán)衡問題. 為此, YANG等[23]通過估計(jì)無噪聲協(xié)方差矩陣解決稀疏參數(shù)估計(jì)問題, 并提出基于協(xié)方差匹配的非離散化方法. LIAO等[24]利用協(xié)方差匹配誤差的漸近分布特性構(gòu)建非均勻噪聲約束, 進(jìn)而提出基于無噪聲協(xié)方差矩陣低秩特性的非均勻噪聲DOA估計(jì)方法. 然而, 上述基于協(xié)方差匹配的方法的估計(jì)性能往往依賴大量的快拍和較為準(zhǔn)確的噪聲先驗(yàn)知識.

基于協(xié)方差匹配的方法[23-24]本質(zhì)上是通過對噪聲協(xié)方差進(jìn)行約束, 實(shí)現(xiàn)非均勻噪聲的抑制, 然而,噪聲統(tǒng)計(jì)量先驗(yàn)的準(zhǔn)確性和漸近分布的多快拍數(shù)條件限制了其獲取更好的DOA估計(jì)性能. 為緩解對非均勻噪聲先驗(yàn)和多快拍數(shù)的依賴, 本文提出一種非離散化參數(shù)DOA估計(jì)方法, 即基于原子范數(shù)最小化和零化濾波器的方法(atomic norm minimization and annihilating filter, ANM-AF). 本文方法通過對信號協(xié)方差數(shù)據(jù)進(jìn)行結(jié)構(gòu)化約束, 實(shí)現(xiàn)在緩解噪聲統(tǒng)計(jì)量先驗(yàn)知識依賴的同時(shí)抑制噪聲影響, 并利用零化濾波方法緩解在少快拍條件下DOA估計(jì)精度下降的問題. 本文方法利用信號協(xié)方差矩陣的厄米特托普利茲結(jié)構(gòu)和低秩特性構(gòu)建結(jié)構(gòu)化約束, 將非均勻噪聲條件下的陣列信號協(xié)方差矩陣恢復(fù)問題轉(zhuǎn)化為基于原子范數(shù)的低秩矩陣近似問題, 進(jìn)而利用零化濾波性質(zhì)將連續(xù)空間DOA估計(jì)問題轉(zhuǎn)化為多項(xiàng)式求根問題. 仿真實(shí)驗(yàn)證明了ANM-AF可在非均勻噪聲和少快拍條件下獲得魯棒的估計(jì).

1 陣列信號模型

因而在少快拍數(shù)條件下, ΔR的漸近分布特性難以滿足, 造成傳統(tǒng)信號協(xié)方差矩陣估計(jì)出現(xiàn)較大誤差, 進(jìn)而嚴(yán)重影響DOA估計(jì)精度[26]. 因此, 本文利用原子集合刻畫低秩矩陣, 從信號表示基元素的角度,構(gòu)建不依賴快拍數(shù)和噪聲先驗(yàn)知識的信號稀疏表示模型, 進(jìn)而提高在少快拍和低信噪比條件下DOA參數(shù)估計(jì)的準(zhǔn)確性; 并利用集合中描述稀疏性的參數(shù)在區(qū)間連續(xù)取值的特性, 在信號的稀疏表示和參數(shù)重構(gòu)階段均避免了參數(shù)的離散化[27], 進(jìn)而可以有效抑制傳統(tǒng)稀疏重構(gòu)由離散化帶來的網(wǎng)格誤差.

2 原子范數(shù)

原子范數(shù)[28]作為逆問題求解的一種凸啟發(fā)式方法, 可以利用最少原子構(gòu)建信號參數(shù)的連續(xù)空間表示, 有利于避免在離散化間隔大小和計(jì)算復(fù)雜度之間的權(quán)衡問題. 在DOA估計(jì)的場景中, 因?yàn)檫B續(xù)空域中真實(shí)信源DOA的個(gè)數(shù)K是很少的, 因此, 可以利用原子范數(shù)來刻畫這種空域稀疏性. 式(2)的陣列信號模型可以寫成

若A為關(guān)于原點(diǎn)中心對稱, 即a∈A當(dāng)且僅當(dāng)-a∈A , 那么 ‖·‖A就是一個(gè)范數(shù), 稱之 為X的原子范數(shù). 原子集合A可以看成一個(gè)無限長的字典, 并且字典包含的方位參數(shù)可以在連續(xù)空間取值. 原子范數(shù)由于利用原子集合凸包的連續(xù)特性計(jì)算范數(shù), 并在保證參數(shù)空間連續(xù)性的條件下構(gòu)建信號稀疏性約束,因而從根本上避免了參數(shù)的離散化. 正因原子范數(shù)具備上述測量函數(shù)的性質(zhì), 所以X的原子范數(shù)‖X‖A是凸的.

3 本文方法

3.1 低秩矩陣近似的協(xié)方差矩陣估計(jì)

基于上述討論, 利用信號協(xié)方差矩陣的厄米特托普利茲結(jié)構(gòu)和低秩特性, 可將信號協(xié)方差矩陣的恢復(fù)問題轉(zhuǎn)化為基于原子范數(shù)的低秩矩陣近似問題.首先, 將式(10)中基于秩函數(shù)表述低秩優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為實(shí)際可解的半定規(guī)劃問題：

假設(shè)u?表示式(13)問題的最優(yōu)解, 那么根據(jù)上節(jié)所述, DOA參數(shù)可以由T(u?)的范德蒙德分解唯一確定. 求解上述半定規(guī)劃問題可以得到基于多快拍觀測模型的陣列信號的估計(jì)X?. 除了直接求解上述半定規(guī)劃問題獲得對原始信號的估計(jì)以外, 還可以通過對偶多項(xiàng)式來實(shí)現(xiàn). 原子范數(shù)的對偶范數(shù)等價(jià)于原子集合A 的支撐集函數(shù), 原子范數(shù) ‖X‖A的對偶范數(shù)定義為

遵循拉格朗日分析[29], 上式對偶問題可轉(zhuǎn)換為半定規(guī)劃問題：

3.2 基于零化濾波器的DOA估計(jì)

因而信號功率的估計(jì)σ?可以通過求解式(19)的線性方程組得到.

綜上所述, 本文提出的基于低秩矩陣近似和零化濾波器的DOA估計(jì)方法步驟如下：

1)求解式(16)的半定規(guī)劃問題, 得到信號協(xié)方差矩陣估計(jì)值T();

3)求解式(18)Z變換H(z)的 根以獲得;

4)根據(jù)式(19)和(20), 確定DOA和信號功率的估計(jì)值和.

4 仿真結(jié)果

本文通過數(shù)值仿真檢驗(yàn)本文方法在非均勻噪聲、少快拍、低信噪比條件下的估計(jì)精度和魯棒性. 在仿真中, 選取同類基于低秩矩陣的適用于非均勻噪聲條件的DOA估計(jì)方法, 包括SPA[23]方法和LRMD[24]方法. 比較非均勻噪聲背景下無偏估計(jì)的理論方差下限, 即克拉美羅界(Cramér-Rao bound, CRB). 本節(jié)采用均方根誤差(root-mean-square error, RMSE)作為DOA估計(jì)精度的衡量標(biāo)準(zhǔn), 定義為

圖1所示為在快拍數(shù)T=10、RSN=5 dB且 陣元噪聲功率不一致條件下SPA方法、LRMD方法和本文ANM-AF方法的空間分布估計(jì)輸出對比圖. 圖中幅度量綱為1. 由圖1可知, 在少快拍條件下, LRMD方法的估計(jì)性能嚴(yán)重惡化, 估計(jì)信號方位和幅度均勻與真實(shí)值偏離較大, SPA方法和本文ANM-AF方法均實(shí)現(xiàn)了較為準(zhǔn)確的DOA估計(jì), 但本文ANM-AF方法更準(zhǔn)確地實(shí)現(xiàn)了信號幅度的估計(jì).

圖1 少快拍條件下信號估計(jì)空間分布Fig. 1 Estimated signal spatial distribution in few snapshots

圖2所示為快拍數(shù)T=10條件下DOA估計(jì)方法測向誤差RMSE隨SNR變化曲線. 根據(jù)圖2的仿真結(jié)果可以發(fā)現(xiàn), 在非均勻噪聲背景下進(jìn)行DOA估計(jì),本文ANM-AF方法比其他方法更接近CRB, 在少快拍(T=10 )條件下具備更好的性能. 圖3所示為RSN=5 dB條件下DOA估計(jì)方法測向誤差RMSE隨快拍數(shù)T變化曲線. 從圖3的仿真結(jié)果可以看出, 本文ANMAF方法在非均勻噪聲背景下的DOA估計(jì)性能對快拍數(shù)是魯棒的, 并且在少快拍低信噪比條件下本文ANM-AF方法比其他方法具備更好的性能. LRMD方法雖然利用協(xié)方差矩陣的低秩特性, 但未利用其托普利茲結(jié)構(gòu); SPA方法雖然利用了托普利茲結(jié)構(gòu)但其估計(jì)器相當(dāng)于多快拍條件下的最大似然估計(jì).本文ANM-AF方法從原子范數(shù)的角度刻畫陣列信號的稀疏性, 進(jìn)而將傳統(tǒng)的信號協(xié)方差矩陣低秩恢復(fù)問題轉(zhuǎn)化為基于原子范數(shù)的低秩矩陣近似問題, 進(jìn)一步提升了基于矩陣低秩特性方法的性能.

圖2 RMSE隨SNR變化Fig. 2 RMSE change with SNR

圖3 RMSE隨快拍數(shù)變化Fig. 3 RMSE change with snapshots

圖4所示為T=10和RSN=5 dB條件下DOA估計(jì)方法測向誤差RMSE隨快拍數(shù)WNPR變化曲線. 仿真結(jié)果可以看出, 本文ANM-AF方法和SPA方法在少快拍和低信噪比條件下的DOA估計(jì)性能對陣元噪聲的不一致性均是魯棒的. 本文ANM-AF方法的估計(jì)誤差曲線比其他方法更接近CRB, 在非均勻噪聲環(huán)境變化的條件下具備更好估計(jì)性能的性能. 在不同最大噪聲功率比條件下，本文ANM-AF方法的均方根誤差H-SPA方法平均減小59.4%. LRMD方法利用加權(quán)采樣協(xié)方差向量估計(jì)誤差的漸近分布特性抑制非均勻噪聲, 但這種漸近分布特性往往在快拍數(shù)達(dá)到較多的數(shù)量才近似成立, 因而在少快拍條件下該方法估計(jì)性能會嚴(yán)重惡化. SPA方法雖然并未明確指出利用了采樣協(xié)方差估計(jì)誤差的漸近分布特性, 但其采用的是基于協(xié)方差矩陣匹配的目標(biāo)函數(shù),而這種基于協(xié)方差矩陣匹配估計(jì)器的潛在假設(shè)是能夠利用的漸近分布特性來抑制采樣協(xié)方差估計(jì)誤差[32], 進(jìn)而實(shí)現(xiàn)對非均勻噪聲的抑制, 然而, SPA方法本質(zhì)上是多快拍條件下最大似然估計(jì)的實(shí)現(xiàn)[23].

圖4 RMSE隨WNPR變化Fig. 4 RMSE change with WNPR

與上述其他方法不同, 本文ANM-AF方法不僅利用了信號協(xié)方差矩陣的厄米特托普利茲結(jié)構(gòu)和低秩特性, 并且在信號參數(shù)連續(xù)空間的原子表示基礎(chǔ)上, 構(gòu)建不依賴快拍數(shù)和噪聲先驗(yàn)知識的連續(xù)空間信號稀疏表示模型, 在信號的稀疏表示和參數(shù)重構(gòu)階段均避免了參數(shù)的離散化, 進(jìn)而可以有效抑制傳統(tǒng)稀疏重構(gòu)由離散化帶來的網(wǎng)格誤差. ANM-AF方法不僅保持了適用于非均勻噪聲環(huán)境的傳統(tǒng)非離散化方法的特點(diǎn), 而且增強(qiáng)了在少快拍低信噪比條件下的DOA估計(jì)性能.

5 結(jié) 論

針對傳統(tǒng)非離散化方法在非均勻噪聲和少快拍條件下DOA估計(jì)性能惡化的問題, 本文提出基于原子范數(shù)最小化和零化濾波器的非離散化參數(shù)DOA估計(jì)方法. 本文的原子范數(shù)最小化方法不同于傳統(tǒng)方法對陣列信號一階統(tǒng)計(jì)量進(jìn)行約束, 而是對陣列信號二階統(tǒng)計(jì)量進(jìn)行結(jié)構(gòu)化約束. 其利用信號協(xié)方差矩陣的厄米特托普利茲結(jié)構(gòu)和低秩特性, 將非均勻噪聲條件下的陣列信號協(xié)方差矩陣恢復(fù)問題轉(zhuǎn)化為厄米特托普利茲矩陣的秩最小化問題, 進(jìn)而轉(zhuǎn)化為基于原子范數(shù)的低秩矩陣近似問題的求解, 實(shí)現(xiàn)信號協(xié)方差矩陣的估計(jì). 針對傳統(tǒng)方法在少快拍條件下DOA估計(jì)精度下降的問題, 本文進(jìn)一步提出基于零化濾波器的DOA估計(jì)方法. 本文方法利用信號參數(shù)連續(xù)空間的原子表示描述陣列信號協(xié)方差矩陣,從模型假設(shè)上避免了對噪聲統(tǒng)計(jì)量先驗(yàn)知識和快拍數(shù)條件的依賴, 不僅避免了傳統(tǒng)基于稀疏表示的離散化方法在離散化間隔大小和計(jì)算復(fù)雜度之間的權(quán)衡問題, 而且克服了現(xiàn)有同類方法在非均勻噪聲和少快拍同時(shí)存在條件下估計(jì)器性能惡化的問題. 因此, 對復(fù)雜環(huán)境下高性能估計(jì)方法的設(shè)計(jì)與實(shí)現(xiàn)具有重要借鑒意義.