基于圓錐曲線教學(xué)談學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算能力的培養(yǎng)

高紅磊

[摘? 要] 數(shù)學(xué)運(yùn)算是解決數(shù)學(xué)問題的基本手段，圓錐曲線問題是典型的運(yùn)算問題，良好的運(yùn)算能力是學(xué)生學(xué)習(xí)圓錐曲線必備的基本功.影響學(xué)生運(yùn)算能力的原因是多方面的，教師應(yīng)著眼于多個(gè)角度出發(fā)，從根本上改善學(xué)生的運(yùn)算能力.

[關(guān)鍵詞] 圓錐曲線;教學(xué);數(shù)學(xué)運(yùn)算能力;培養(yǎng)

在高考試題中，圓錐曲線問題是典型的運(yùn)算問題，它考查的重點(diǎn)在于檢驗(yàn)學(xué)生的邏輯推理能力及運(yùn)算求解能力. 由于圓錐曲線問題中需要處理的量比較多，導(dǎo)致它的運(yùn)算比較復(fù)雜，學(xué)習(xí)這部分內(nèi)容對(duì)運(yùn)算能力的要求遠(yuǎn)高于學(xué)習(xí)其他內(nèi)容，學(xué)生普遍反映難度較大，在高三的歷次模擬考試中，能夠?qū)A錐曲線這道大題完整做下來的學(xué)生寥寥無幾. 數(shù)學(xué)運(yùn)算是數(shù)學(xué)六大核心素養(yǎng)之一，培養(yǎng)學(xué)生正確運(yùn)算、合理運(yùn)算、迅速運(yùn)算的能力對(duì)于改善學(xué)生的數(shù)學(xué)思維、發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)都有著重要的作用. 本文章主要基于圓錐曲線的教學(xué)談?wù)勅绾闻囵B(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.

[?] 影響學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算能力的原因分析

在目前的高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，部分學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力是比較差的，這也導(dǎo)致這些學(xué)生的數(shù)學(xué)水平停滯不前. 出現(xiàn)這樣的現(xiàn)象，不僅與教師的教學(xué)方式有關(guān)，而且與學(xué)生自身的因素也有關(guān)，具體原因有以下幾方面：

1. 教師的教學(xué)方式不合理

由于高中學(xué)習(xí)時(shí)間緊、任務(wù)重，部分教師在課堂上講題時(shí)經(jīng)常講解一下解題思路就過去了，他們認(rèn)為學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)多年，數(shù)學(xué)運(yùn)算是學(xué)生早就應(yīng)該掌握的基本能力，所以在教學(xué)中常會(huì)忽視具體的運(yùn)算過程及細(xì)節(jié)方法，然而當(dāng)學(xué)生遇到圓錐曲線等運(yùn)算比較復(fù)雜的問題時(shí)，常會(huì)感到無從下手或題目做到一半就無法再做下去了. 因此，教師在講題時(shí)，不應(yīng)該只講解方法而不見細(xì)節(jié)和過程，應(yīng)該重視運(yùn)算規(guī)范、合理與簡便的教學(xué)，從學(xué)生的實(shí)際障礙出發(fā)，切實(shí)解決學(xué)生的運(yùn)算困難.

2. 學(xué)生的知識(shí)結(jié)構(gòu)不完整

基礎(chǔ)知識(shí)掌握得好壞是影響學(xué)生運(yùn)算能力水平高低的一個(gè)重要方面. 如果學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)掌握得不好，該記的公式不記，該背的結(jié)論不背，無法在頭腦中形成完整的知識(shí)結(jié)構(gòu)，做不到融會(huì)貫通，從而做題時(shí)就會(huì)出現(xiàn)知識(shí)點(diǎn)“斷鏈”的情況，無法將學(xué)過的知識(shí)順暢地、正確地進(jìn)行遷移和運(yùn)用，進(jìn)而無法解出題目，表現(xiàn)為運(yùn)算能力較差. 數(shù)學(xué)思想方法對(duì)運(yùn)算能力的影響也非常大，如果學(xué)生做題時(shí)對(duì)題目缺乏清晰的思想方法，那么就會(huì)無從下手;反之，如果學(xué)生對(duì)解題思路非常熟悉，那么運(yùn)算的準(zhǔn)確率就會(huì)提高.

3. 學(xué)生的運(yùn)算方法選取不當(dāng)

在日常教學(xué)中，筆者經(jīng)常發(fā)現(xiàn)，部分學(xué)生做題時(shí)雖然能夠理解題意，可以得出需要求解的關(guān)系式，但由于選取的運(yùn)算方法不當(dāng)，使得運(yùn)算過程過于冗雜，計(jì)算難度加大，最后不僅浪費(fèi)了很多時(shí)間，而且容易導(dǎo)致運(yùn)算出錯(cuò). 我們平時(shí)所做的題目，多數(shù)都是“一題多解”，若學(xué)生能找到一種便捷的方法，則能使解題過程處于一個(gè)比較高的角度，從而快速準(zhǔn)確地解決題目.

4. 學(xué)生不良的運(yùn)算習(xí)慣

俗話說，“細(xì)節(jié)決定成敗”. 在數(shù)學(xué)運(yùn)算時(shí)，一個(gè)小小的失誤就會(huì)導(dǎo)致整個(gè)運(yùn)算過程失敗. 學(xué)生常見的不良的運(yùn)算習(xí)慣有：審題不認(rèn)真，漏掉了重要的題目信息;挖掘題目信息的能力薄弱，只看到題目表面的條件，而找不到隱藏的條件;過分依賴計(jì)算器，導(dǎo)致“簡單計(jì)算不愿算，復(fù)雜計(jì)算算不來”;疏于動(dòng)手、懶于思考讓他們?cè)谶\(yùn)算格式和步驟上常常出現(xiàn)不規(guī)范、不完整的現(xiàn)象，在稍有難度的運(yùn)算前容易產(chǎn)生放棄的念頭.這樣一些不良的運(yùn)算習(xí)慣，在高中學(xué)生群體中并不是個(gè)別現(xiàn)象.

[?] 著眼于多個(gè)角度，提高運(yùn)算能力

良好的運(yùn)算能力是學(xué)生學(xué)習(xí)圓錐曲線必備的基本功.影響學(xué)生運(yùn)算能力的原因是多方面的，所以教師應(yīng)著眼于多個(gè)角度，先從自身運(yùn)算做起，加強(qiáng)學(xué)生掌握基礎(chǔ)知識(shí)，同時(shí)滲透必要的運(yùn)算方法，再配合合理的訓(xùn)練方式，著重培養(yǎng)學(xué)生良好的運(yùn)算習(xí)慣，從根本上改善學(xué)生的運(yùn)算能力.

1. 切實(shí)做好示范，規(guī)范運(yùn)算過程

運(yùn)算圓錐曲線往往需要較多的步驟才能完成，但一些學(xué)生三兩步就寫完了，常在考試中無意義地失分. 教師在督促學(xué)生規(guī)范運(yùn)算過程時(shí)，自身也要做好表率：要求學(xué)生的運(yùn)算過程按部有序，教師自己在黑板上板書時(shí)也要做到規(guī)范工整;要求學(xué)生動(dòng)筆運(yùn)算，教師自己也要努力踐行;要求學(xué)生運(yùn)算過程完整，教師自己也要運(yùn)算到最后.除了教師板書的過程外，學(xué)生課堂板演也是非常有效的教學(xué)環(huán)節(jié)，能夠及時(shí)反饋學(xué)生在解題中對(duì)各種運(yùn)算技巧和思想方法的掌握情況，通過學(xué)生運(yùn)算過程的完整展現(xiàn)和教師當(dāng)堂批改、點(diǎn)評(píng)和完善，以使教師對(duì)學(xué)生、學(xué)生相互之間、學(xué)生對(duì)自己在運(yùn)算過程中矯正錯(cuò)誤.

2. 循序漸進(jìn)，加強(qiáng)基礎(chǔ)知識(shí)學(xué)習(xí)

落實(shí)基礎(chǔ)知識(shí)，掌握基本的概念、公式、結(jié)論是學(xué)好數(shù)學(xué)的基石，也是提高運(yùn)算準(zhǔn)確的重要前提，但數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)是一個(gè)慢慢積累、循序漸進(jìn)的過程. 學(xué)習(xí)新課時(shí)，教師可以向?qū)W生講授基本的概念、公式等，接著可以通過適量的練習(xí)使學(xué)生將新的概念理解透徹，將公式運(yùn)用熟練. 在練習(xí)的過程中，教師還可以引領(lǐng)學(xué)生歸納整理，總結(jié)出解題的思想方法或常用的結(jié)論，幫助學(xué)生形成完整的知識(shí)體系，使學(xué)生遇到相似的問題時(shí)能夠在較短時(shí)間內(nèi)獲得解題思路，順暢地遷移和應(yīng)用所掌握的結(jié)論、方法，使知識(shí)體系成為運(yùn)算路上的“加速器”.

3. 培養(yǎng)解題意識(shí)，積累運(yùn)算方法

第一，化簡意識(shí). 在教學(xué)中，教師應(yīng)重視學(xué)生化簡意識(shí)的培養(yǎng)，要求學(xué)生在運(yùn)算過程中通過觀察式子的特點(diǎn)、數(shù)據(jù)的特征，合理運(yùn)用運(yùn)算性質(zhì)或規(guī)律，自覺地進(jìn)行化簡，這樣有利于培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性，也能提高運(yùn)算的速度和質(zhì)量. 比如：聯(lián)立圓錐曲線方程與直線方程時(shí)，去分母而化簡;求面積的最值時(shí)，換元而化簡;求雙曲線-=1（a>0，b>0）的離心率時(shí)，若a，b，c有倍數(shù)關(guān)系，可設(shè)a=1而化簡，等等.

第二，目標(biāo)意識(shí).經(jīng)常有學(xué)生反映：“這些公式我都會(huì)，但做題時(shí)沒有想到.” 這就是解題時(shí)學(xué)生的思維受到了限制，面對(duì)問題時(shí)不知該從何入手. 在這里培養(yǎng)學(xué)生的目標(biāo)意識(shí)非常重要，如果沒有運(yùn)算目標(biāo)的指引，那么合理的運(yùn)算路徑會(huì)很難形成. 在教學(xué)中，教師應(yīng)提醒學(xué)生運(yùn)算時(shí)要從多個(gè)方面、多個(gè)角度去考慮問題. 比如：有些較難的問題與知識(shí)的聯(lián)系可能沒有那么明顯，這時(shí)就應(yīng)該通過細(xì)致入微的觀察，對(duì)題目中明顯或隱含的條件進(jìn)行綜合分析，建立已知條件與所求目標(biāo)的聯(lián)系，進(jìn)而打開問題的缺口，找到合理的運(yùn)算方法.

（1）求橢圓C的方程;

（2）若直線y=k（x-1）（1≤k≤2）與y軸相交于點(diǎn)P，與橢圓C相交于M，N兩點(diǎn)，線段MN的垂直平分線與y軸相交于點(diǎn)Q，求的取值范圍.

此題是本校最近一次模擬考試中關(guān)于圓錐曲線的大題，筆者所教的兩個(gè)班（分別是“史地化”組合和“政地技”組合）學(xué)生的解答情況非常不理想，很多學(xué)生解答第（1）問時(shí)就栽了跟頭，不知該從哪里入手.因此在講解第（1）問時(shí)，筆者著重引導(dǎo)學(xué)生尋找運(yùn)算目標(biāo)、探索解題路徑：

師：本題解答的目標(biāo)是什么？

生：求橢圓C的方程.

師：思路是什么？

生：列出關(guān)于a，b的方程，求出a，b的值.

師：由已知條件能得出哪些結(jié)論？

4. 培養(yǎng)運(yùn)算習(xí)慣，重視解題細(xì)節(jié)

培養(yǎng)良好的運(yùn)算習(xí)慣，往往能使解題運(yùn)算達(dá)到事半功倍的效果. 比如：培養(yǎng)學(xué)生認(rèn)真審題的習(xí)慣，只有把題目讀懂了，清楚地知道問題的已知條件與所求目標(biāo)，了解到由已知條件可以得出哪些結(jié)論，可以利用哪些公式解題，才能找到正確的解題思路，選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ń忸}，只有知己知彼，才能成竹在胸;培養(yǎng)學(xué)生善用草稿本的習(xí)慣，學(xué)生在草稿紙上書寫的不僅是獨(dú)立的算式，更是整個(gè)運(yùn)算的脈絡(luò)，清晰規(guī)范的書寫更有利于學(xué)生對(duì)運(yùn)算過程的檢查和校對(duì)，而潦草的筆跡、不規(guī)范的步驟會(huì)使運(yùn)算過程更容易發(fā)生錯(cuò)誤;培養(yǎng)學(xué)生整理錯(cuò)題集的習(xí)慣，要求學(xué)生及時(shí)把課堂練習(xí)、作業(yè)以及試卷中出現(xiàn)的錯(cuò)誤記錄下來，但錯(cuò)題集不是簡單的錯(cuò)題摘抄，而是將題目分類整理，標(biāo)明出現(xiàn)錯(cuò)誤的原因，再寫出正確的解法，并提醒自己下次碰到類似的問題時(shí)要注意什么，每隔一段時(shí)間再翻開看一看，不斷地鞏固知識(shí)、加深記憶，使“錯(cuò)題集”變成“加分集”.

[?] 結(jié)束語

培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力是一個(gè)漫長的過程，不能一蹴而就. 所以，教師一定要有耐心，把培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)算能力這個(gè)目標(biāo)滲透到每一節(jié)課、每一道題中去，由淺入深，由易到難，循序漸進(jìn)，使學(xué)生能夠獲得運(yùn)算成功的體驗(yàn)，激發(fā)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)運(yùn)算的積極態(tài)度，逐步提高學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，最終提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的能力. 這樣，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)才會(huì)有效落實(shí).

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