基于問題引領的課堂設計

劉洋　劉春紅

[摘? 要] 以對數(shù)的運算性質(zhì)為例，立足問題，引領、引導學生探究，揭示知識的本質(zhì)，培養(yǎng)學生思維的深刻性，以促進學生數(shù)學核心素養(yǎng)的生成.

[關鍵詞] 對數(shù);性質(zhì);問題;高中數(shù)學

問題的引出

數(shù)學，從某種意義上講，也是一門邏輯學，處處講究嚴密的推理. 限于篇幅，高中教材的一些定理或公式的推理過程往往被弱化了，呈現(xiàn)給學生的大多是結論，這就需要教師補充被教材忽略的內(nèi)容. 以對數(shù)的運算性質(zhì)為例，教材只是給出了有關公式，沒有詳細加以論述[1].為了讓學生能知其然并知其所以然，筆者認為，有必要引導學生進行探究，揭示知識的本質(zhì)，培養(yǎng)學生思維的深刻性. 基于此，筆者以問題為導向，設計了一堂對數(shù)運算性質(zhì)的探究課.

課堂設計

1. 創(chuàng)設情境，明確目標

問題1：不借助于計算器，你能很快地計算出下列式子的值嗎？

（1）64×128;

（2）8192÷256;

（3）642;

（4）.

為了降低解題難度，筆者給出了以下表格（表1）：

學生驚喜地發(fā)現(xiàn)，借助于表格可以快速地求出各式的值.

問題2：為什么可以計算得如此快速？

學生馬上說道：先將各式中的數(shù)都表示成同底數(shù)冪2a的形式，然后借助于指數(shù)運算性質(zhì)可以快速地計算出來.

問題3：以第（1）題為例，64×128=26×27=213=8192，這是從冪的角度出發(fā)的.如果從指數(shù)的角度出發(fā)呢？

學生能很快答出：6+7=13.

問題4：6，7，13分別是哪個數(shù)的指數(shù)，如何求指數(shù)？它們之間有怎樣的等量關系？

學生認為，6=log264，7=log2128，13=log（64×128），進而得出log264+log2128=log（64×128）.

問題5：通過上式的解答，你得到了什么啟發(fā)？請計算1025×365.

學生計算1025×365時受挫了，因為出現(xiàn)了不同底數(shù)的冪的運算，沒有運算性質(zhì)可以運用. 此時啟發(fā)和引導學生：64×128能夠迅速計算出結果的根本原因在于兩數(shù)可化為同底數(shù)冪的形式.基于此，著力點找到了：可先將1025×365的兩數(shù)化為同底數(shù)冪的形式. 那么該化為以多少為底數(shù)的冪的形式呢？因為日常計算中，通常是用十進制表示一個數(shù)，可引導學生將兩數(shù)化為以10為底數(shù)的冪的形式. 那么365該怎么表示成以10為底數(shù)的冪的形式呢？這時就將問題5轉(zhuǎn)化為了學生熟悉的對數(shù)（此時也正好考查學生在上節(jié)課中是否真正掌握了對數(shù)），得到1025×365=1025×1065×lg3=1025+65×lg3.

2. 觀察對比，認識關系，建構聯(lián)系

問題6：通過上述例子，你對大數(shù)的計算有何想法？當M，N為兩個很大的正數(shù)時，如何計算M·N的值？

通過上述例子的鋪墊，學生基本能夠想到將正數(shù)M，N表示為同底數(shù)冪的形式，但是不確定以何為底數(shù). 為了引出本課的主題，筆者引導學生將其化為以a（a>0，且a≠1）為底數(shù)的冪的形式.

問題7：正數(shù)M，N為什么可表示成以a（a>0，且a≠1）為底數(shù)的冪的形式？該如何表示？

通過幾何畫板畫出函數(shù)y=ax（a>1）的圖像，再畫出函數(shù)y=b（b>0）的動態(tài)圖像，通過滑動參數(shù)b發(fā)現(xiàn)：無論b如何改變，兩函數(shù)的圖像都存在唯一交點.這時學生能夠發(fā)現(xiàn)：當b=M時，該交點的橫坐標就是此時的指數(shù).通過簡單的指數(shù)式化對數(shù)式，寫出M=alogaM，N=alogaN，這就是對數(shù)恒等式.

問題8：請分別從冪的角度和指數(shù)的角度寫出計算過程.

冪的角度：M·N=alogaM·alogaN=alogaM+logaN;

指數(shù)的角度：loga（M·N）=logaM+logaN.

這時學生發(fā)現(xiàn)這個過程不僅給出了對數(shù)的第一條運算性質(zhì)“l(fā)oga（M·N）=logaM+logaN”，而且給出了該運算性質(zhì)的證明過程. 而這一切都是基于非常自然合理的探究過程的，有效避免了這個公式“從天而降”的尷尬與證明過程的“唐突”.

問題9：當M，N為兩個很大的正數(shù)時，如何計算的值？不妨從上述例子借鑒一下技巧.

冪的角度：==alogaM-logaN;

指數(shù)的角度：log=logaM-logaN.

3. 創(chuàng)設新的情境，培養(yǎng)學生思維的靈活性

問題10：請參考對數(shù)表（以10為底數(shù)），試比較2100和365的大小.

基于問題7的提前預設，學生能夠想到任何一個正數(shù)均可以表示成一個給定常數(shù)的冪的形式，于是將兩數(shù)均表示成以10為底數(shù)的冪的形式，然后通過查對數(shù)表比較兩數(shù)的大小.

問題11：對數(shù)表是如何制作的？現(xiàn)以10為底數(shù)，你能提供怎樣的制作思路？

通過逐步逼近的方法的使用（借助于計算器讓學生演示逼近的過程，逐步滲透“二分法”的思想），逐個得到使得10x=1，2，3，4…的x的值.

問題12：大家基本對對數(shù)表的制作過程有了大致了解，我們發(fā)現(xiàn)這是一個工作量很大的工程，盡管理論很簡單，但是操作起來非常麻煩. 接下來請大家計算log365等于多少. 除了重新制作以3為底數(shù)的對數(shù)表外，你還有其他辦法嗎？

引導學生使用方程思想去計算，設log365=x，轉(zhuǎn)化為指數(shù)冪的形式3x=65. 因為已知以10為底數(shù)的對數(shù)表，于是將指數(shù)式的兩邊同時取以10為底數(shù)的對數(shù)，得到xlg3=lg65?x=. 然后查閱對數(shù)表，就可以計算出log365的值了.

這里學生如果不理解為什么要將指數(shù)式的兩邊同時取以10為底數(shù)的對數(shù)，可以向?qū)W生解釋這是從指數(shù)的角度表示的等式.

問題13：如果事先給一張以c（c>0，且c≠1）為底數(shù)的對數(shù)表，請計算logab（a>0，且a≠1，b>0）等于多少. 這一問題的提出，可以很好地解釋為什么要研究換底公式，為什么可以換底.

問題14：（開放性問題）試判斷2100是幾位數(shù).

研究一個指數(shù)冪形式的大數(shù)的數(shù)量級是天文學需要解決的一大難題，而換底公式恰好可以完美地解決這個問題.

結論：假設一個正的大數(shù)為N，則它是[lgN]+1位數(shù).

一點感悟

世界上的任何角落，數(shù)學家都不是“無土栽培”而產(chǎn)生的. 而“土壤”源于課堂，“養(yǎng)分”始于啟發(fā)，探究始于問題[2]. 傳統(tǒng)的灌輸式教學往往給學生制造了一種“好事者故意為之”的牽強與不自然，沒有正常合理的問題導向、任務驅(qū)動，缺少必要的探討和交流，長此以往，學生的思維仍在原地打轉(zhuǎn)，數(shù)學思想自然無法形成.

數(shù)學思想是內(nèi)在的，數(shù)學方法是數(shù)學思想得以體現(xiàn)和實現(xiàn)的有效手段之一. 而數(shù)學思維比數(shù)學方法更深刻，它更能反映數(shù)學對象間的最本質(zhì)的內(nèi)在聯(lián)系[3]. 從對數(shù)的發(fā)展歷史來看，最初動因就是為了解決天文學中出現(xiàn)的一系列大數(shù)的計算問題. 當然，在教學過程中，教師無須重現(xiàn)這一歷史進程，但需要教師藝術地加以“濃縮”，通過師生合作研究學習，讓一系列思想方法在課堂再現(xiàn).

學習數(shù)學的目的是應用數(shù)學，教師在引導學生完成基本的數(shù)學建構后，可進行恰當?shù)淖兪胶屯卣褂柧?，進一步提出更為深刻的問題，這是促進學生思維發(fā)展的關鍵步驟. 當然，這也是數(shù)學發(fā)展（由簡單到復雜）必經(jīng)的過程.

參考文獻：

[1]? 黃光玉. 從歷史過程中找尋數(shù)學知識的意義——“對數(shù)的運算性質(zhì)”教學思考[J]. 數(shù)學通報，2020，59（10）：46-52.

[2]? 楊軍，布威麥爾耶姆·艾力. 基于理解的“對數(shù)運算性質(zhì)”教學設計[J].中小學數(shù)學（高中版），2019（06）：35-37.

[3]? 張燦. “對數(shù)的概念與運算性質(zhì)”教學設計與反思[J]. 中國數(shù)學教育，2019（08）：28-30+33.

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