自治自動(dòng)　合作共享

姜衛(wèi)東

[摘? 要] 通過創(chuàng)設(shè)問題情境，引導(dǎo)學(xué)生自主探究、主動(dòng)建構(gòu)二項(xiàng)式定理及相關(guān)概念，在合作學(xué)習(xí)中體驗(yàn)二項(xiàng)式定理及通項(xiàng)的應(yīng)用，積極打造“自治自動(dòng)，合作共享”的課堂教學(xué)模式. 文章擬通過對(duì)教學(xué)過程的記錄整理，對(duì)課堂教學(xué)行為進(jìn)行反思與改進(jìn).

[關(guān)鍵詞] 自治自動(dòng);小組合作;二項(xiàng)式定理;教學(xué)實(shí)錄;教學(xué)反思

筆者所在學(xué)校一直倡導(dǎo)并踐行“自治自動(dòng)”的教育教學(xué)傳統(tǒng)（成功申報(bào)了省級(jí)課題《指向數(shù)學(xué)思維的“自治自動(dòng)”教學(xué)研究》），注重學(xué)生的自主研究與思考，強(qiáng)調(diào)學(xué)習(xí)之間的合作與交流，積極打造學(xué)生學(xué)習(xí)共同體.本文以“二項(xiàng)式定理”的教學(xué)為例，探討如何打造“自治自動(dòng)，合作共享”的課堂教學(xué)模式.

教學(xué)動(dòng)因

1. 教師方面：課題《指向數(shù)學(xué)思維的“自治自動(dòng)”教學(xué)研究》在我校的順利開展，進(jìn)一步提高了教師改革數(shù)學(xué)課堂教學(xué)實(shí)踐的熱情，引領(lǐng)教師積極構(gòu)建“自治自動(dòng)，合作共享”的課堂教學(xué)模式.

2. 學(xué)生方面：“二項(xiàng)式定理”是高二學(xué)習(xí)的內(nèi)容，高二學(xué)生的心智、心理及情感發(fā)展已達(dá)到一定的高度，他們已經(jīng)掌握了具體與抽象、特殊與一般、轉(zhuǎn)化與化歸等數(shù)學(xué)思想方法，以及觀察、分析、類比、歸納、猜想和證明等數(shù)學(xué)探究能力，這些思想與能力為學(xué)生自治自動(dòng)思考、合作探究學(xué)習(xí)提供了保障.

3. 教材方面：“二項(xiàng)式定理”是蘇教版《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書·數(shù)學(xué)（選修2-3）》第一章第5節(jié)的內(nèi)容. 學(xué)生在初中已經(jīng)學(xué)習(xí)了多項(xiàng)式乘法，二項(xiàng)式定理可以看成是多項(xiàng)式乘法法則的推廣，同時(shí)，本章前面也已介紹了計(jì)數(shù)原理及排列組合的知識(shí)，這些知識(shí)為實(shí)施“自治自動(dòng)，合作共享”的教學(xué)模式提供了可能.

教學(xué)實(shí)錄

1. 創(chuàng)設(shè)情境，引入課題

情境1：若今天是星期二，再過8100天后的那一天又是星期幾？

情境2：利用多項(xiàng)式乘法法則，分別計(jì)算（a+b）1，（a+b）2，（a+b）3，（a+b）4，（a+b）5，…，（a+b）100.

設(shè)計(jì)意圖：設(shè)計(jì)生活情境與數(shù)學(xué)情境，讓學(xué)生感受到今天所學(xué)內(nèi)容，既是現(xiàn)實(shí)生活中的需要，更是數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)部發(fā)展的需要.這兩個(gè)問題情境，都處在學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)，便于學(xué)生上手探究.同時(shí)，這兩個(gè)問題也會(huì)引起學(xué)生的認(rèn)知沖突，從而激發(fā)學(xué)生的興趣和求知欲.

2. 自治自動(dòng)，初步探究

師：請(qǐng)同學(xué)們先獨(dú)立自主研究上面兩個(gè)問題，然后老師請(qǐng)兩位同學(xué)匯報(bào)成果.

生1：由于一個(gè)星期有7天，要看再過8100天后的那一天是星期幾，關(guān)鍵是要看8100除以7的余數(shù)是多少？

（生1對(duì)于8100除以7的余數(shù)問題，束手無(wú)策，在教師的引導(dǎo)下，最終將問題轉(zhuǎn)化為求（7+1）100的展開式，進(jìn)而將問題一般化，引出本節(jié)課的主題：求（a+b）n（n∈N*）的展開式.）

生2：分別用多項(xiàng)式乘法法則計(jì)算得到部分展開式：（a+b）1=a+b;（a+b）2=a2+2ab+b2;（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3;（a+b）4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4;對(duì)于（a+b）5，我知道可以看成（a+b）4·（a+b）來(lái)進(jìn)行解決，但沒時(shí)間計(jì)算.而對(duì)于（a+b）100，如果用此法計(jì)算，就實(shí)在太難了，真不想算，必須另辟蹊徑.

（老師首先肯定了生2的實(shí)事求是的學(xué)習(xí)態(tài)度，同時(shí)贊同他改變思路的想法.由于有情境1的鋪墊，生2也很快將問題歸結(jié)為求（a+b）n（n∈N*）的展開式.）

師：既然直接用多項(xiàng)式乘法求（a+b）n較困難，那么就要尋找更優(yōu)的解法. G·波利亞告訴我們“回到定義去”，讓我們對(duì)多項(xiàng)式乘法進(jìn)行再認(rèn)識(shí).

設(shè)計(jì)意圖：通過初步探究與獨(dú)立思考，讓學(xué)生在“做中學(xué)”，引起他們的認(rèn)知沖突，使尋求新方法成為必然.

3. 合作學(xué)習(xí)，建構(gòu)知識(shí)

問題1：（蘇教版教材2-3第9頁(yè)上的習(xí)題10）乘積（a+b+c+d）（m+n）（x+y+z）展開后共有多少項(xiàng)？每一項(xiàng)是怎樣構(gòu)成的？

生3：將多項(xiàng)式利用乘法法則直接展開，可得24項(xiàng)，通過觀察可知，每一項(xiàng)都是三次式，由每個(gè)括號(hào)內(nèi)取一個(gè)字母相乘而構(gòu)成.

師：是否還有簡(jiǎn)便的方法得到結(jié)果？以小組為單位進(jìn)行合作學(xué)習(xí)，然后推選一位代表發(fā)言.

生4：有. 首先，根據(jù)多項(xiàng)式乘法法則可知，展開式中的每一項(xiàng)都是從三個(gè)括號(hào)內(nèi)各取一個(gè)字母相乘得到的，結(jié)合分步計(jì)數(shù)原理，可得共有4×2×3=24項(xiàng).

（通過問題1的探究，使學(xué)生明確展開式中項(xiàng)的結(jié)構(gòu)就是每個(gè)括號(hào)內(nèi)任取一個(gè)字母相乘而得到.）

追問：是否所有多項(xiàng)式相乘求展開式項(xiàng)數(shù)的問題都可以用類似問題1的方法快捷得出？

（由于這個(gè)問題學(xué)生不容易一下子回答準(zhǔn)確，所以教師再次組織學(xué)生進(jìn)行合作探究學(xué)習(xí)，然后派學(xué)生代表進(jìn)行展示.）

生4：不可以.

師：為什么？能否舉例說明.

生4：因?yàn)閱栴}1中多項(xiàng)式展開后沒有同類項(xiàng)，所以項(xiàng)的個(gè)數(shù)就可以由分步計(jì)數(shù)原理直接求出，各項(xiàng)的系數(shù)都是1.但若多項(xiàng)式展開后出現(xiàn)了同類項(xiàng)，那么就不能這樣來(lái)求. 例如：（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3，由于存在同類項(xiàng)，項(xiàng)的個(gè)數(shù)不是2×2×2=8，而是4項(xiàng).

問題2：剛才生4給我們提出了一個(gè)新的問題，當(dāng)因式相同時(shí)展開后會(huì)有同類項(xiàng)需要合并，項(xiàng)數(shù)發(fā)生改變，各項(xiàng)的系數(shù)也發(fā)生改變. 下面，就以（a+b）3為例，請(qǐng)同學(xué)們繼續(xù)合作探究，項(xiàng)的結(jié)構(gòu)有哪些形式？各項(xiàng)的系數(shù)究竟與什么有關(guān)？

（這個(gè)問題是本節(jié)課的一個(gè)教學(xué)難點(diǎn)，教師可以提醒學(xué)生將（a+b）3看成（a+b）（a+b）（a+b），然后利用乘法法則將它展開為a3+a2b+ba2+ab2+a2b+ab2+b2a+b3，再合并同類項(xiàng)，進(jìn)而發(fā)現(xiàn)各項(xiàng)系數(shù)的規(guī)律.）

生5：由于（a+b）3=（a+b）（a+b）（a+b），結(jié)合問題1的討論，它的展開式中只有四種類型的項(xiàng)，即a3，a2b，ab2，b3，各項(xiàng)前的系數(shù)就是項(xiàng)的個(gè)數(shù)吧.

（生5對(duì)項(xiàng)的結(jié)構(gòu)的回答是清晰的，但對(duì)各項(xiàng)系數(shù)的理解還不透徹，于是教師設(shè)計(jì)問題3.）

問題3：為什么a3，a2b，ab2，b3這些項(xiàng)在展開式中的個(gè)數(shù)就是1，3，3，1呢？

生5：數(shù)出來(lái)的.

師：當(dāng)n較小時(shí)，可以數(shù)出來(lái).但n較大時(shí)，就不能數(shù)了.我們繼續(xù)思考，尋找它的數(shù)學(xué)本質(zhì).

生6：a3這樣的項(xiàng)只能3個(gè)括號(hào)都取a（沒有括號(hào)取b）相乘，因此系數(shù)為1=C;a2b這樣的項(xiàng)只能2個(gè)括號(hào)都取a，1個(gè)括號(hào)取b相乘，因此系數(shù)為3=C;ab2這樣的項(xiàng)只能1個(gè)括號(hào)取a，2個(gè)括號(hào)都取b相乘，因此系數(shù)為3=C;b3這樣的項(xiàng)只能3個(gè)括號(hào)都取b（沒有括號(hào)取a）相乘，因此系數(shù)為1=C.

（盡管生6的表達(dá)與展示非常清晰，但教師通過觀察發(fā)現(xiàn)還是有少部分學(xué)生在理解上有障礙，于是教師進(jìn)行追問.）

師：生6的分析非常好！但比較抽象，同學(xué)們能否聯(lián)系前面剛學(xué)過摸球模型進(jìn)行形象化的解釋？[1]

（分析多項(xiàng)式的展開結(jié)果時(shí)，常見的策略有三種：根據(jù)多項(xiàng)式乘法法則直接展開;利用乘法原理分析;采用摸球策略.而且摸球的策略可以將抽象的數(shù)學(xué)問題形象化，便于學(xué)生理解. 當(dāng)然，要讓學(xué)生構(gòu)造出摸球的模型具有一定的難度，還是集中大家的智慧，采用小組合作學(xué)習(xí)，請(qǐng)小組代表走上講臺(tái)展示交流.）

生7：將字母a對(duì)應(yīng)黑球、b對(duì)應(yīng)白球.如圖1與圖2，在圖1中有三個(gè)盒子，每個(gè)盒子中分別放有完全相同的1個(gè)黑球和1個(gè)白球，a2b前的系數(shù)就相當(dāng)于從三個(gè)盒子中取出2個(gè)黑球、1個(gè)白球的個(gè)數(shù)（如圖2），即C，以此類推其他各項(xiàng)的系數(shù).

問題4：通過上面的方法我們得到了（a+b）3的項(xiàng)的結(jié)構(gòu)及項(xiàng)的系數(shù)，而且發(fā)現(xiàn)項(xiàng)的系數(shù)與組合數(shù)有關(guān). 那么，這種方法及結(jié)論對(duì)其他特殊情形（a+b）1，（a+b）2，（a+b）4，…，也適用嗎？

生：也適用. （a+b）1=Ca+Cb;（a+b）2=Ca2+Cab+Cb2;（a+b）3=Ca3+Ca2b+Cab2+Cb3;（a+b）4=Ca4+Ca3b+Ca2b2+Cab3+Cb4.

（至此，二項(xiàng)式定理的特殊情況已探究完成，接下來(lái)研究一般情況自然水到渠成.）

問題5：根據(jù)前面得到的規(guī)律與方法，類比猜想一下（a+b）n（n∈N*）的展開式會(huì)是什么？

生8：（a+b）n=Can+Can-1b+…+Cabn-1+Cbn.

追問：以上僅僅是猜想，不一定正確，大家能否給出證明？（關(guān)鍵是看項(xiàng)的結(jié)構(gòu)、項(xiàng)的個(gè)數(shù)及項(xiàng)的系數(shù).請(qǐng)小組探究討論，派學(xué)生代表展示交流.）

生9：由于（a+b）n展開式中的每一項(xiàng)，都是從n個(gè)因式中任取一個(gè)字母的乘積，故項(xiàng)的結(jié)構(gòu)形式共有n+1種，即an，an-1b，an-2b2，…，abn-1，bn. an這樣的項(xiàng)只能n個(gè)括號(hào)都取a（沒有括號(hào)取b）相乘，因此系數(shù)為C;an-1b這樣的項(xiàng)只能n-1個(gè)括號(hào)都取a，1個(gè)括號(hào)取b相乘，因此系數(shù)為C;an-2b2這樣的項(xiàng)只能n-2個(gè)括號(hào)都取a，2個(gè)括號(hào)取b相乘，因此系數(shù)為C;……;bn這樣的項(xiàng)只能n個(gè)括號(hào)都取b（沒有括號(hào)取a）相乘，因此系數(shù)為C.

師：生9對(duì)生8的猜想給出了證明，這樣我們就得出了（a+b）n的展開式，它正是我們今天要學(xué)習(xí)的二項(xiàng)式定理，其中右邊的展開式叫做二項(xiàng)展開式. 當(dāng)n分別取1，2，3，4，5，…時(shí)，它們所對(duì)應(yīng)的系數(shù)構(gòu)成一個(gè)三角形狀的數(shù)陣，此表是我國(guó)宋代數(shù)學(xué)家楊輝1261年的杰作，稱為“楊輝三角”.

問題6：對(duì)于二項(xiàng)展開式，從項(xiàng)數(shù)、指數(shù)、系數(shù)等方面探究具有什么特點(diǎn)？

生10：項(xiàng)數(shù)共n+1;指數(shù)和為n，其中a的指數(shù)從n降為0，b的指數(shù)從0升為n;系數(shù)為C（r=0，1，2，…，n）.

師：二項(xiàng)展開式中共有n+1項(xiàng)，能否像數(shù)列的通項(xiàng)一樣，用一個(gè)式子來(lái)代表這n+1項(xiàng)呢？

（為了便于發(fā)現(xiàn)規(guī)律進(jìn)行歸納，可以提醒學(xué)生將首項(xiàng)與末項(xiàng)的形式進(jìn)行改寫.）

生10：可用Can-rbr來(lái)表示，當(dāng)r分別取0，1，2，…，n時(shí)，就對(duì)應(yīng)展開式中的第1，2，…，n+1項(xiàng).

（教師通過追問Can-rbr是展開式的第幾項(xiàng)，給出二項(xiàng)展開式通項(xiàng)的概念及公式.）

設(shè)計(jì)意圖：教師利用問題串，在自治自動(dòng)探究及小組合作學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上，幫助學(xué)生從特殊到一般，具體到抽象，通過類比、歸納、猜想、證明，建構(gòu)起二項(xiàng)式定理的知識(shí)體系.

4. 精選例題，應(yīng)用數(shù)學(xué)

師：觀察例1中兩個(gè)式子的結(jié)構(gòu)，你準(zhǔn)備如何解決這個(gè)問題？

生11：對(duì)于（1），二項(xiàng)式定理的左邊用“+”連接，所以將原式變形，有（a-b）6=[a+（-b）]6，接著展開.

生12：對(duì)于（2），將作為一個(gè)整體，應(yīng)用二項(xiàng)式定理直接展開.

追問：有無(wú)其他解法？

生12：有. 可以將原式先變形為，然后分子用定理展開，化簡(jiǎn)即可.

例2 求（1+2x）7的展開式中第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)及系數(shù).

（通過例2向?qū)W生強(qiáng)調(diào)兩者的區(qū)別：二項(xiàng)式系數(shù)是指C，而項(xiàng)的系數(shù)是指這一項(xiàng)所有數(shù)字的乘積.）

例3 求x-的二項(xiàng)展開式中的常數(shù)項(xiàng).

（教師在發(fā)現(xiàn)有少數(shù)學(xué)生試圖將二項(xiàng)式展開后，逐項(xiàng)尋找常數(shù)項(xiàng)時(shí)，可以做適當(dāng)引導(dǎo)或讓數(shù)學(xué)資優(yōu)生做示范，啟發(fā)其他學(xué)生通過通項(xiàng)來(lái)處理此類問題.）

師：能否根據(jù)今天所學(xué)的內(nèi)容自己編一道題，讓其他同學(xué)來(lái)做？

（學(xué)生對(duì)這個(gè)問題興趣很濃，但編題的質(zhì)量不太高. 當(dāng)然，設(shè)置問題6的目的，不在于學(xué)生能編出多好的題，關(guān)鍵在于培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題與提出問題的意識(shí).）

5. 拓展思維，提升能力

師：下面解決本節(jié)課開頭的問題，請(qǐng)問再過8100天后的那一天是星期幾？

生：將8100=（7+1）100展開后，易知它除以7的余數(shù)為1，故再過8100天后的那一天是星期三.

例4 求（x2+x+y）5展開式中x5y2的系數(shù).

（啟發(fā)學(xué)生將原式轉(zhuǎn)化為二項(xiàng)式的形式，并結(jié)合解題目標(biāo)，可將原式變形為[（x2+x）+y]5，然后根據(jù)二項(xiàng)式定理求解.）

設(shè)計(jì)意圖：通過解決開頭的情境問題，讓數(shù)學(xué)回歸生活，使學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值;設(shè)置例4的目的就是讓學(xué)生利用研究二項(xiàng)式定理的方法來(lái)解決新問題，使學(xué)生不僅獲得數(shù)學(xué)知識(shí)與思想方法，而且獲得進(jìn)行數(shù)學(xué)活動(dòng)的基本經(jīng)驗(yàn).

6. 自主總結(jié)，回顧反思

問題7：本節(jié)課后你有哪些收獲？（自主總結(jié)，可從知識(shí)層面、思想方法層面及活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)層面展開.）

生：知識(shí)上，學(xué)到了二項(xiàng)式定理、二項(xiàng)展開式的特點(diǎn)、通項(xiàng)公式，要注意二項(xiàng)式系數(shù)與項(xiàng)的系數(shù)的區(qū)別;經(jīng)驗(yàn)思想上，學(xué)到了類比、歸納的能力及科學(xué)的思維方式，特殊與一般的數(shù)學(xué)思想.

7. 課外練習(xí)，鞏固新知

必做題：筆者所在學(xué)校自主編寫的《自治自動(dòng)手冊(cè)》第22課時(shí).

選做題：探究（a+b+c）n（n∈N*）的展開式.

延伸閱讀：查閱書籍或登錄網(wǎng)站，了解楊輝三角的有關(guān)數(shù)學(xué)史料，為后續(xù)的學(xué)習(xí)做準(zhǔn)備.

設(shè)計(jì)意圖：安排必做題與選做題的目的在于體現(xiàn)層次性，滿足學(xué)生的個(gè)性化需求，使不同的學(xué)生都有所收獲.這里安排閱讀題，也是契合新課程改革和全國(guó)卷命題趨向的需要，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)閱讀理解能力不能指望通過幾節(jié)復(fù)習(xí)課就能實(shí)現(xiàn)，必須在平時(shí)的教學(xué)活動(dòng)中逐步落實(shí).

教學(xué)反思

1. 突出學(xué)生主體作用，自治自動(dòng). 在課堂教學(xué)中，學(xué)生永遠(yuǎn)是“主體”，教師只能是學(xué)生學(xué)習(xí)活動(dòng)的引導(dǎo)者、組織者與管理者.任何知識(shí)只有經(jīng)過學(xué)生的獨(dú)立思考、主動(dòng)建構(gòu)，才能成為學(xué)生自己的知識(shí).正如張奠宙教授所說：“數(shù)學(xué)不同于其他學(xué)科，需要進(jìn)行邏輯化、符號(hào)化、數(shù)量化，其過程必定經(jīng)歷獨(dú)立的、個(gè)性化的思考，因此，在合作之前必須先‘獨(dú)立’”.在設(shè)計(jì)本節(jié)課時(shí)，無(wú)論是學(xué)生自主探究問題，還是小組合作學(xué)習(xí)，都是教師組織下的學(xué)生“自治自動(dòng)”的自我學(xué)習(xí)過程.

2. 強(qiáng)化問題導(dǎo)引作用，主動(dòng)探究. 沒有思維就沒有數(shù)學(xué)，沒有問題就沒有思維.貫穿整堂課始終的就是問題主線，七個(gè)主問題成為連接課堂教學(xué)活動(dòng)的紐帶，這些具有邏輯關(guān)聯(lián)的問題串層層遞進(jìn)，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行主動(dòng)探究，在探究中學(xué)會(huì)知識(shí)與思想方法，提升思維品質(zhì)與能力. 這些問題有預(yù)設(shè)的，也有生成的，還有學(xué)生自己提出的，它們都指向?qū)W生的思維，指引教學(xué)目標(biāo)的達(dá)成.

3. 注重培育活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，合作共享[2]. 新課程標(biāo)準(zhǔn)提出要加強(qiáng)學(xué)生的“四基”培養(yǎng)，筆者以為最重要的是加強(qiáng)數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的培養(yǎng)，因?yàn)橹挥辛?xí)得活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，學(xué)生才有后續(xù)學(xué)習(xí)與發(fā)展的可能，所以在本節(jié)課的教學(xué)中，筆者始終聚焦學(xué)生活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的培育，例如：為研究（a+b）n的展開式，首先從一般退到特殊，獲得特殊情況下的研究方法與結(jié)論，再用它們進(jìn)行猜想與證明，最終解決一般情形問題. 當(dāng)然，要獲得豐富的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，光靠學(xué)生個(gè)體往往不易實(shí)現(xiàn)，而要借助小組合作學(xué)習(xí)才能完成，例如：在突破“二項(xiàng)展開式中項(xiàng)的系數(shù)”教學(xué)難點(diǎn)時(shí)，正是經(jīng)過多次小組合作探究才得以成功.

4. 關(guān)注數(shù)學(xué)育人價(jià)值，立德樹人. 數(shù)學(xué)不是只有概念、公式與各種法則，數(shù)學(xué)更有豐富的育人元素.本節(jié)課中所使用的類比、觀察、猜想、數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理等數(shù)學(xué)思想與方法，都助推學(xué)生理性精神的培養(yǎng). 同時(shí)，在課堂教學(xué)及課外作業(yè)中都涉及與“楊輝三角”有關(guān)的數(shù)學(xué)史，就是要在數(shù)學(xué)教育中，增強(qiáng)學(xué)生的民族自豪感，真正將立德樹人落到實(shí)處.

5. 進(jìn)一步處理好預(yù)設(shè)與生成的關(guān)系. 在本節(jié)課中，有大量的預(yù)設(shè)與生成的課堂資源，它們推動(dòng)著教學(xué)進(jìn)程的開展，但在某些地方兩者之間的關(guān)系處理得不太妥當(dāng). 例如，在預(yù)設(shè)的問題2中，學(xué)生將其抽象為二項(xiàng)展開式問題時(shí)，不是很順利. 筆者以為不如將此預(yù)設(shè)后移，等學(xué)完新知識(shí)后再出現(xiàn);又如，在給出問題3后，如何通過摸球模型得到形象化的解釋，這是課堂上及時(shí)生成的問題，但學(xué)生得到這一模型較困難，所以，筆者認(rèn)為將此問題作為剛開始時(shí)的預(yù)設(shè)問題較妥帖.

6. 進(jìn)一步關(guān)注學(xué)生的心理與情感活動(dòng). 數(shù)學(xué)課堂是學(xué)生活動(dòng)的場(chǎng)所. 在本節(jié)課中，筆者對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)思維活動(dòng)關(guān)注較多，但對(duì)學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的心理活動(dòng)及情感活動(dòng)關(guān)注偏少，重視對(duì)學(xué)生智力因素的培養(yǎng)，忽視對(duì)學(xué)生非智力因素的培育，還未真正實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)教學(xué)向數(shù)學(xué)教育的根本性轉(zhuǎn)變.

參考文獻(xiàn)：

[1]? 劉志誠(chéng). “二項(xiàng)式定理”教學(xué)設(shè)計(jì)[J]. 中國(guó)數(shù)學(xué)教育，2019（10）：16-19.

[2]? 史寧中，王尚志. 普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）解讀[M]. 北京：高等教育出版社，2018.

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