高中數(shù)學(xué)人教A版（2019）數(shù)學(xué)史內(nèi)容研究

凌銘君　王守峰

[摘? 要] 以《普通高中教科書·數(shù)學(xué)（A版）》為研究對象，對高中數(shù)學(xué)教材中數(shù)學(xué)史的運(yùn)用方式、模塊分布進(jìn)行文本研究，分析了該教材中數(shù)學(xué)史的使用情況，并針對存在的問題提出了建議.

[關(guān)鍵詞] 數(shù)學(xué)史;高中數(shù)學(xué);數(shù)學(xué)教材

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017版）》[1]中指出：“在教學(xué)活動中，教師應(yīng)有意識地結(jié)合相應(yīng)的教學(xué)內(nèi)容，將數(shù)學(xué)文化滲透在日常教學(xué)中，引導(dǎo)學(xué)生了解數(shù)學(xué)的發(fā)展歷程，認(rèn)識數(shù)學(xué)在科學(xué)技術(shù)、社會發(fā)展中的作用，感悟數(shù)學(xué)的價值，提升學(xué)生的科學(xué)精神、應(yīng)用意識和人文素養(yǎng);將數(shù)學(xué)文化融入教學(xué)，有利于激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣，有利于學(xué)生進(jìn)一步理解數(shù)學(xué)，有利于開闊學(xué)生視野、提升數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).”此外，許多數(shù)學(xué)教育家也十分重視挖掘和發(fā)揮數(shù)學(xué)史的教育價值，如汪曉勤[2]、張奠宙[3]等. 由此可見，數(shù)學(xué)史作為數(shù)學(xué)文化的一個重要組成部分，在數(shù)學(xué)教育領(lǐng)域已經(jīng)引起了廣泛關(guān)注，其教育價值也為廣大數(shù)學(xué)教育研究者和一線教師所認(rèn)可.

目前我國已有許多學(xué)者對數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育進(jìn)行了研究. 文獻(xiàn)[4]研究了如何將數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué);文獻(xiàn)[5-8]研究了數(shù)學(xué)教材中的數(shù)學(xué)史內(nèi)容;文獻(xiàn)[9]研究了HPM視角下的教學(xué)設(shè)計(jì);文獻(xiàn)[10]研究了HPM與數(shù)學(xué)教師專業(yè)發(fā)展. 這些研究發(fā)現(xiàn)，現(xiàn)階段高中數(shù)學(xué)教材中的數(shù)學(xué)史內(nèi)容普遍存在以下問題：首先，數(shù)學(xué)史知識模塊分布不夠均勻;其次，數(shù)學(xué)史欄目分布也不均勻，數(shù)學(xué)史主要集中在閱讀材料;最后，數(shù)學(xué)史運(yùn)用方式單一，主要是“附加式”.

《普通高中教科書·數(shù)學(xué)（A版）》[11][12]是2019年人民教育出版社出版的高中數(shù)學(xué)教材，目前對于該版本教材的數(shù)學(xué)史內(nèi)容的研究較少. 為了了解該版本教材中數(shù)學(xué)史內(nèi)容的情況，本文選取《普通高中教科書·數(shù)學(xué)（A版）》（以下簡稱新版教材）中的必修部分，采用文本分析法，對數(shù)學(xué)史融入高中數(shù)學(xué)教材的現(xiàn)狀進(jìn)行了研究分析.

總體特征

首先，考察數(shù)學(xué)史內(nèi)容及分布情況. 統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)，在新版教材中的必修部分共出現(xiàn)21處數(shù)學(xué)史內(nèi)容（具體如表1所示）. 其中，必修一、二教材中出現(xiàn)數(shù)學(xué)史的次數(shù)分別為10次和11次，兩本教材中出現(xiàn)數(shù)學(xué)史的次數(shù)相差不大，但是在個別章節(jié)中出現(xiàn)數(shù)學(xué)史料的次數(shù)有較大區(qū)別.

數(shù)學(xué)史運(yùn)用方式特征

對于數(shù)學(xué)史的運(yùn)用方式，彭剛等[13]將其分為四種，分別為：附加式、復(fù)制式、順應(yīng)式和重構(gòu)式. 需要注意的是以上四種方式并無水平高低之分，具體選擇哪一種，取決于要達(dá)成的教學(xué)目標(biāo). “附加式”的主要特點(diǎn)是把數(shù)學(xué)史作為課堂教學(xué)的一個有益補(bǔ)充，講述與數(shù)學(xué)有關(guān)的歷史故事，包括數(shù)學(xué)家的名言、數(shù)學(xué)家的圖片、數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的過程或者數(shù)學(xué)歷史名題等;“復(fù)制式”的主要特點(diǎn)是在數(shù)學(xué)教學(xué)中直接呈現(xiàn)歷史上的數(shù)學(xué)問題，讓學(xué)生直接與歷史上的先哲們“對話”，體會原汁原味的數(shù)學(xué)史;“順應(yīng)式”的主要特點(diǎn)是根據(jù)課堂教學(xué)的需求對原始文獻(xiàn)進(jìn)行改編，古為今用、推陳出新，表面上沒有歷史的痕跡，但他們既傳承了歷史的精神，又順應(yīng)了時代的要求;“重構(gòu)式”的主要特點(diǎn)是借鑒數(shù)學(xué)的發(fā)展歷史，將核心的數(shù)學(xué)思想、方法用今天的方式表達(dá)出來，呈現(xiàn)出數(shù)學(xué)知識的自然發(fā)生過程，重構(gòu)歷史的這種方式對應(yīng)發(fā)生教學(xué)法，讓學(xué)生體會到數(shù)學(xué)知識的起源和發(fā)展，并獲得數(shù)學(xué)探究的美好體驗(yàn).

通過統(tǒng)計(jì)，得出了新版教材中四種數(shù)學(xué)史運(yùn)用方式出現(xiàn)的頻次，見表2.

從表2中可以看出，新版教材中數(shù)學(xué)史的運(yùn)用方式以附加式為主，復(fù)制式、順應(yīng)式出現(xiàn)較少，重構(gòu)式的運(yùn)用方式則是沒有出現(xiàn). 這表明當(dāng)前我國教材編寫對于數(shù)學(xué)史融入高中數(shù)學(xué)教材的重視程度不足，或者是對于數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教材的發(fā)掘不夠充分，未能很好地將數(shù)學(xué)史的史學(xué)形態(tài)轉(zhuǎn)化為教育形態(tài).

對不同運(yùn)用方式的數(shù)學(xué)史內(nèi)容進(jìn)一步分析發(fā)現(xiàn)在17處以附加式出現(xiàn)的數(shù)學(xué)史內(nèi)容中，處于正文部分的僅有6處，其余的都在課外的閱讀材料或文獻(xiàn)閱讀板塊. 這表明，在新版教材中能夠直接提供給教師在課堂上使用的數(shù)學(xué)史料較少. 如果教師希望利用數(shù)學(xué)史來輔助課堂教學(xué)，不僅需要教師自己去查找、收集課外的數(shù)學(xué)史料，而且需要在此基礎(chǔ)上對史料進(jìn)行加工，使其適用于中學(xué)數(shù)學(xué)的課堂教學(xué). 但是在教學(xué)任務(wù)等各方面的壓力較大的情況下，教師很少能有額外的精力和時間去做這個工作，這也是目前數(shù)學(xué)史融入高中數(shù)學(xué)教學(xué)面臨的困難之一：一線教師缺乏直接可用的數(shù)學(xué)史料.

數(shù)學(xué)史知識模塊分布特征

對于高中數(shù)學(xué)教材中的知識模塊分布，本文根據(jù)《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017版）》中對于必修課程的內(nèi)容劃分，從“預(yù)備知識”“函數(shù)”“幾何與代數(shù)”“概率與統(tǒng)計(jì)”四個模塊對其中包含的數(shù)學(xué)史內(nèi)容進(jìn)行統(tǒng)計(jì)和分析，見表3.

從表3中可以看出，由于課標(biāo)的要求和知識模塊自身的特點(diǎn)等，四個模塊中包含的數(shù)學(xué)史內(nèi)容呈現(xiàn)出分布不均勻的特征，其中分布在函數(shù)、幾何與代數(shù)兩個模塊中數(shù)學(xué)史內(nèi)容較多，分布在預(yù)備知識、概率和統(tǒng)計(jì)兩個模塊中的數(shù)學(xué)史內(nèi)容較少. 下面針對各個知識模塊的特點(diǎn)和課標(biāo)的要求進(jìn)行分析.

“預(yù)備知識”的設(shè)置是為了幫助學(xué)生完成從初中階段數(shù)學(xué)知識相對具體到高中階段數(shù)學(xué)知識相對抽象的過渡，是為學(xué)習(xí)高中數(shù)學(xué)課程做好心理、方式和知識技能等方面的準(zhǔn)備. 一方面課程標(biāo)準(zhǔn)對于這部分內(nèi)容的要求是為學(xué)習(xí)高中數(shù)學(xué)知識做準(zhǔn)備，沒有提出太多融入數(shù)學(xué)文化的要求;另一方面因?yàn)榻柚鷮W(xué)生熟悉的、實(shí)際的問題和情境能夠讓學(xué)生更易于學(xué)習(xí)和接受，所以這個模塊的數(shù)學(xué)史內(nèi)容較少.

“函數(shù)”是貫穿高中數(shù)學(xué)課程的主線，不僅內(nèi)容豐富而且對學(xué)生掌握的程度要求較高，為了達(dá)到預(yù)期的教學(xué)目的，需要教師對這一模塊的內(nèi)容有整體的把握，能循序漸進(jìn)地進(jìn)行教學(xué). 若想較好地完成該模塊的教學(xué)，需要將學(xué)生熟悉的例子與函數(shù)的發(fā)展歷程相結(jié)合，先以熟悉的例子引入，再遷移到函數(shù)與現(xiàn)實(shí)世界的密切聯(lián)系，最后輔以函數(shù)的發(fā)展歷程和對人類文明的貢獻(xiàn)，達(dá)到提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)的目的并增長學(xué)生對于數(shù)學(xué)發(fā)展的認(rèn)識. 所以，新版教材在該主題中設(shè)置了許多的數(shù)學(xué)史內(nèi)容，既可以讓學(xué)生在課外閱讀了解，也為教師提供了向?qū)W生介紹函數(shù)發(fā)展歷程的素材.

“幾何與代數(shù)”也是高中數(shù)學(xué)課程的主線之一. 該內(nèi)容突出幾何直觀與代數(shù)運(yùn)算之間的融合，通過形與數(shù)的結(jié)合，感悟數(shù)學(xué)知識之間的關(guān)聯(lián)，加深學(xué)生對于數(shù)學(xué)整體性的理解. 課程標(biāo)準(zhǔn)中提出在進(jìn)行這部分內(nèi)容的教學(xué)時，可以適當(dāng)?shù)厝谌霐?shù)學(xué)文化，讓學(xué)生體會數(shù)系擴(kuò)充中理性思維的作用，還可以組織學(xué)生收集、閱讀幾何學(xué)發(fā)展的歷史資料，結(jié)合內(nèi)容撰寫報(bào)告，論述幾何學(xué)發(fā)展過程中的重要結(jié)果、主要人物、關(guān)鍵事件及其對人類文明的貢獻(xiàn). 根據(jù)課標(biāo)的要求，新版教材也在這部分設(shè)置了很多數(shù)學(xué)史內(nèi)容，不僅運(yùn)用方式多樣，呈現(xiàn)的位置也涵蓋了正文和閱讀材料. 充分利用該模塊的數(shù)學(xué)史料，不僅能加深學(xué)生對知識的理解、技能的掌握，而且能幫助學(xué)生形成對該模塊的整體認(rèn)識.

“概率與統(tǒng)計(jì)”是用來計(jì)算一些具有不確定性的事件某種結(jié)果發(fā)生概率的一種方法，也是對學(xué)生統(tǒng)計(jì)思維的有效訓(xùn)練，學(xué)習(xí)該模塊能提升學(xué)生數(shù)學(xué)建模、數(shù)據(jù)分析、邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算等方面的素養(yǎng). 該主題的學(xué)習(xí)需要通過日常生活中的實(shí)例來幫助學(xué)生了解概率的意義，并通過對實(shí)際問題的分析，學(xué)會使用統(tǒng)計(jì)的方法解決實(shí)際問題. 課程標(biāo)準(zhǔn)中也強(qiáng)調(diào)該模塊的教學(xué)應(yīng)借助實(shí)例和生活中的典型案例，沒有提出貫穿概率與統(tǒng)計(jì)發(fā)展歷程的要求，所以在該模塊中的數(shù)學(xué)史內(nèi)容較少. 但是該模塊在歷史上是有豐富且生動的史料的，通過介紹一些與古人有關(guān)的逸聞趣事和概率的發(fā)展歷程既能有效提高學(xué)生對學(xué)習(xí)概率與統(tǒng)計(jì)的興趣，也能讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)中的人文情懷.

數(shù)學(xué)史欄目分布特征

根據(jù)新版教材中的欄目分布，本文分為“正文”“例題”“習(xí)題”和“閱讀材料”四個部分對數(shù)學(xué)史內(nèi)容的分布進(jìn)行研究.

其中正文部分包括前言、探究思考、正文主體、邊注;例題即在正文主體中穿插作為案例的題目;習(xí)題部分包括“文獻(xiàn)閱讀與寫作”部分的實(shí)習(xí)作業(yè)和章節(jié)末尾的課后習(xí)題;閱讀材料包括章節(jié)末尾的“閱讀與思考”和“探究與發(fā)現(xiàn)”兩部分.

通過統(tǒng)計(jì)，得出了新版教材中數(shù)學(xué)史欄目分布的特征，見表4.

從表4中可以看出，正文和閱讀材料這兩部分中出現(xiàn)的數(shù)學(xué)史內(nèi)容較多. 尤其是出現(xiàn)在正文部分的數(shù)學(xué)史內(nèi)容較之前版本有顯著提高. 但是出現(xiàn)在例題和習(xí)題部分的數(shù)學(xué)史還是較少，且習(xí)題部分的數(shù)學(xué)史都是以學(xué)生自行查閱資料與寫作為主的開放題型，由于這種題型在高考中不會出現(xiàn)，所以在教學(xué)中容易流于形式，不能引起師生的足夠重視，其教育功能會大打折扣.

將出現(xiàn)次數(shù)最多的“閱讀材料”部分中的數(shù)學(xué)史素材進(jìn)行細(xì)分，可以分為以下四類：（1）數(shù)學(xué)概念的發(fā)展，介紹重要數(shù)學(xué)概念的產(chǎn)生、發(fā)展、完善和應(yīng)用;（2）思想方法介紹，介紹重大數(shù)學(xué)思想方法在學(xué)科內(nèi)的運(yùn)用;（3）數(shù)學(xué)故事，介紹數(shù)學(xué)家生平及其重要貢獻(xiàn)，以及相關(guān)數(shù)學(xué)趣題;（4）數(shù)學(xué)與其他，介紹數(shù)學(xué)在人類生活、生產(chǎn)或者其他領(lǐng)域的應(yīng)用[6].

將新版教材的閱讀材料部分中出現(xiàn)的數(shù)學(xué)史內(nèi)容分成以上四類，并統(tǒng)計(jì)各類的數(shù)量，制成表格，見表5.

從表5可以看出，在新版教材中，屬于數(shù)學(xué)概念的發(fā)展的閱讀材料有4處，屬于思想方法介紹的有2處，屬于數(shù)學(xué)故事的有3處. 新版教材在閱讀材料的類型分配上比較均勻，并且都注意在閱讀材料中借助史料激發(fā)學(xué)生的思考，這也體現(xiàn)了高中階段數(shù)學(xué)教育不同于義務(wù)教育階段數(shù)學(xué)教育的特點(diǎn). 值得注意的是，新版教材的閱讀材料中沒有“數(shù)學(xué)與其他”方面的數(shù)學(xué)史內(nèi)容，這說明對于數(shù)學(xué)的應(yīng)用這一方面的展示，新版教材都是以更貼近學(xué)生實(shí)際生活經(jīng)驗(yàn)的方式來呈現(xiàn)的，體現(xiàn)出了新版教材在這方面的偏向，設(shè)計(jì)十分合理.

結(jié)論與建議

首先，數(shù)學(xué)史按知識模塊分布不夠均勻的問題依然存在. 例如，在“函數(shù)”和“幾何與代數(shù)”部分設(shè)置很多數(shù)學(xué)史材料，而“概率與統(tǒng)計(jì)”部分，卻只安排了很少的數(shù)學(xué)史內(nèi)容.

其次，數(shù)學(xué)史欄目分布不均勻的問題也沒有解決. 新版教材中的數(shù)學(xué)史集中在閱讀材料部分，但是在實(shí)際教學(xué)中，由于教學(xué)進(jìn)度和教學(xué)效果等各方面的壓力，閱讀材料很難在課堂教學(xué)中被提及和運(yùn)用，也不能引起師生的過多關(guān)注，其應(yīng)有的教育功能會大打折扣;相反，在正文、例題、習(xí)題部分出現(xiàn)的數(shù)學(xué)史較少，且古算題出現(xiàn)的頻次有顯著減少，而這兩部分的數(shù)學(xué)史正是師生可以直接利用的教學(xué)資源，因?yàn)樵诮處熓谡n、講解例題以及學(xué)生解答習(xí)題的過程中，學(xué)生頭腦中會留下與數(shù)學(xué)史有關(guān)的印象，從培養(yǎng)學(xué)生情感、態(tài)度和價值觀的角度也是有意義的. 建議教材編寫更多地關(guān)注在正文以及例題、習(xí)題中融入數(shù)學(xué)史.

再次，數(shù)學(xué)史的運(yùn)用方式不夠多樣的問題依然顯著. 新版教材中的數(shù)學(xué)史出現(xiàn)在閱讀材料和邊注的居多，且大都采用了“附加式”，以這種方式呈現(xiàn)的數(shù)學(xué)史在實(shí)際學(xué)習(xí)中容易被忽視，不能充分發(fā)揮其蘊(yùn)含的教育價值. 建議教材編寫增加“復(fù)制式”“順應(yīng)式”數(shù)學(xué)史的融入，這樣一方面可以重現(xiàn)知識探索的過程、難點(diǎn)和關(guān)鍵點(diǎn)，也可以增強(qiáng)數(shù)學(xué)研究在學(xué)生學(xué)習(xí)中的共鳴，提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的自信心;另一方面將數(shù)學(xué)史料進(jìn)行巧妙翻譯、修改，使其易于為學(xué)生理解，從而有效提高學(xué)生學(xué)習(xí)的效率. 此外，還要重視“重構(gòu)式”數(shù)學(xué)史的融入. 根據(jù)歷史發(fā)生原理、弗賴登塔爾的“再創(chuàng)造”、理論發(fā)生教學(xué)法，“重構(gòu)式”數(shù)學(xué)史在教學(xué)中可以發(fā)揮巨大的作用. 而且，在教學(xué)實(shí)踐中，融入教材的“重構(gòu)式”數(shù)學(xué)史為一線教師提供了直接可用的數(shù)學(xué)史料. 這種運(yùn)用方式對于教師數(shù)學(xué)史素養(yǎng)的要求不高，可以有效解決教師缺乏直接的數(shù)學(xué)史料的困難，使得數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)課堂的程度更高，做到“不提數(shù)學(xué)史，但用數(shù)學(xué)史”.

最后，數(shù)學(xué)史在實(shí)際教學(xué)中的受重視程度需要提高. 課程標(biāo)準(zhǔn)中明確指出了數(shù)學(xué)文化應(yīng)融入數(shù)學(xué)教學(xué)活動，要引導(dǎo)學(xué)生了解數(shù)學(xué)的發(fā)展歷程. 但是在新版教材中許多數(shù)學(xué)史內(nèi)容都安排在閱讀材料以及正文邊注等教師和學(xué)生容易忽略的位置，再加上學(xué)校教學(xué)進(jìn)度和教學(xué)效果的壓力、教師自身對于這部分內(nèi)容的不重視等因素，數(shù)學(xué)史在實(shí)際教學(xué)中發(fā)揮的作用可以說微乎其微，自然也無法達(dá)到課程標(biāo)準(zhǔn)對數(shù)學(xué)文化的要求. 要想解決這個問題，一方面需要教材給教師提供足夠多的直接可用的數(shù)學(xué)史料，讓教師不費(fèi)太多精力就能在課堂教學(xué)中使用;另一方面也需要教師有意識地提高自己的數(shù)學(xué)史素養(yǎng)，如果作為教師自身都沒有了解數(shù)學(xué)的發(fā)展歷程、缺乏數(shù)學(xué)史的素養(yǎng)，那么如何做到提升學(xué)生這方面的素養(yǎng)呢？

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