多極矩分析的教與學(xué)探討

余 天，姚 欣，林 方，齊建起，張志友，聶 婭，王 磊,朱建華，龔 敏

(四川大學(xué) 物理學(xué)院,四川 成都 610065)

多極矩分析是一種重要的方法和計(jì)算策略[1]。由靜態(tài)電磁場(chǎng)多極矩展開而引入的電多極子和磁多極子作為基礎(chǔ)的電磁物理模型，不僅在電磁場(chǎng)理論中常被用于從物質(zhì)微觀電磁構(gòu)型出發(fā)闡明宏觀電磁效應(yīng)，還在刻畫物質(zhì)微觀結(jié)構(gòu)及其相互作用等方面也發(fā)揮著重要作用。例如，原子核一般都具有特征旋轉(zhuǎn)對(duì)稱軸而不是電荷均勻分布的理想點(diǎn)電荷這一核物理發(fā)現(xiàn)在歷史上就是基于電多極矩解析原子超精細(xì)譜而得到的[2].此外，多極矩分析和多極子模型在行星物理和地磁學(xué)等交叉學(xué)科領(lǐng)域也起著關(guān)鍵作用[3-5].

在本科物理及相關(guān)專業(yè)培養(yǎng)中，多極矩分析通常只在電動(dòng)力學(xué)課程中有所涉及[6-8].多極矩展開表示、多極子模型以及多極子與靜態(tài)電磁場(chǎng)的相互作用是多極矩分析的三個(gè)主要內(nèi)容.本文結(jié)合我們的教學(xué)實(shí)踐，就上述三方面內(nèi)容展開梳理討論.在多極矩展開表示討論中除補(bǔ)充了國(guó)內(nèi)教材中較少涉及的場(chǎng)點(diǎn)包圍在源區(qū)內(nèi)部情景下的內(nèi)部多極矩展開外，還著重分析了靜電多極矩展開笛卡兒表象(Cartesian Representation)和球諧多極矩展開表象(Spherical Harmonics Representation)的關(guān)系；在多極子模型理解上我們強(qiáng)調(diào)了多極子是蘊(yùn)含著源構(gòu)形信息的理想點(diǎn)源模型而不是電荷或電流分布的真實(shí)空間構(gòu)型；在受力與力矩兩方面給出了多極子與外電磁場(chǎng)相互作用精確到四極子的計(jì)算結(jié)果.

1 兩種物理情景下的多極矩展開式

多極矩展開可以有兩種物理情景：場(chǎng)點(diǎn)位于有限源區(qū)外部的外部多極矩展開(Exterior Expansion)和場(chǎng)點(diǎn)包圍在源區(qū)內(nèi)部的內(nèi)部多極矩展開(Interior Expansion)[9].外部多極矩展開適用的情形是：源分布在有限空間中且其線度R遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于待求場(chǎng)點(diǎn)到源(中心)的距離，此時(shí)取原點(diǎn)在源分布中心附近，如圖1(a)所示，則遠(yuǎn)源場(chǎng)點(diǎn)的電磁勢(shì)函數(shù)可以展為關(guān)于場(chǎng)點(diǎn)距離的收斂函數(shù).若場(chǎng)域被包圍在有限源分布空間的內(nèi)部，但仍滿足場(chǎng)源間距遠(yuǎn)大于場(chǎng)域空間線度R,則取坐標(biāo)原點(diǎn)在場(chǎng)域中心附近，如圖1(b)所示，原點(diǎn)附近場(chǎng)點(diǎn)的電磁勢(shì)函數(shù)也可以展為關(guān)于場(chǎng)點(diǎn)距離的收斂函數(shù)，此即為內(nèi)部多極矩展開情形.

圖1 (a)外部多極矩展開和(b)內(nèi)部多極矩展開情形示意圖,其中深色區(qū)域代表源分布區(qū)域.

多數(shù)教材側(cè)重于外部多極矩展開介紹[6-8]，特別是在直角坐標(biāo)系下將有限源區(qū)外部遠(yuǎn)源場(chǎng)點(diǎn)的靜電標(biāo)勢(shì)和/或靜磁矢勢(shì)表為關(guān)于場(chǎng)點(diǎn)距離冪的逐項(xiàng)遞減級(jí)數(shù)形式.這樣的安排方便借由我們熟悉的直角坐標(biāo)系直觀的介紹多極子模型.但是只介紹直角坐標(biāo)系表示的外部多極矩展開顯然是不全面的.多極矩展開的應(yīng)用并不是僅僅限于處理場(chǎng)點(diǎn)在源區(qū)外部的情形.大量科研和實(shí)際應(yīng)用中樣品都是置于電極或電流線圈等源所限定的空間內(nèi)部.例如，高能加速器中用于束流外部的四極子磁體實(shí)現(xiàn)帶電粒子的強(qiáng)聚焦[10]，利用外部電極實(shí)現(xiàn)束流加速[11]，這些都屬內(nèi)部多極矩展開的情形.

在教學(xué)中如何用數(shù)學(xué)語(yǔ)言統(tǒng)一而自然地引入多極矩展開的兩種情景？以下分別由三維泰勒展開和二項(xiàng)式定理出發(fā)進(jìn)行的分析.

1.1 由三維泰勒定理討論多極矩展開的兩種情景

直角坐標(biāo)系下的多極矩展開,就是要將遠(yuǎn)源場(chǎng)點(diǎn)處的靜態(tài)電磁勢(shì)函數(shù)——靜電標(biāo)勢(shì)φ和靜磁矢勢(shì)A——展為關(guān)于場(chǎng)點(diǎn)距離冪的逐項(xiàng)遞減級(jí)數(shù).

一種便宜的方法是從熟悉的單變量函數(shù)在其可微領(lǐng)域附近的泰勒級(jí)數(shù)出發(fā)，將以矢量為自變量的可微標(biāo)量函數(shù)f(ξ)展開為逐項(xiàng)遞減的級(jí)數(shù)，即有三維泰勒展開[9]：

f(ξ+)=f(ξx+x,ξy+y,ξz+z)=[exp(

f(ξ+)=[exp(

(1)

現(xiàn)在取矢量為自變量的標(biāo)量函數(shù):

(2)

顯然地對(duì)任意ξ≠0其都是可微的，由此可得到展開式：

(3)

這里我們用“:”代表并矢的多重點(diǎn)積，具體點(diǎn)積運(yùn)算重?cái)?shù)由運(yùn)算符前后的張量階數(shù)明確.上式表明遠(yuǎn)源場(chǎng)點(diǎn)處的靜電標(biāo)勢(shì)φ和靜磁矢勢(shì)A展為關(guān)于場(chǎng)點(diǎn)距離冪的逐項(xiàng)遞減級(jí)數(shù)有兩種情況：

1) 當(dāng)r>>r′時(shí)，應(yīng)有

φ(r)=

A(r)=

(4)

2) 當(dāng)r<

φ(r)=

A(r)=

(5)

其中ρ為源電荷密度，J為源電流密度.上述括號(hào)形式已經(jīng)把關(guān)于源點(diǎn)的積分同關(guān)于場(chǎng)點(diǎn)的運(yùn)算分開，這還表明源區(qū)V′與場(chǎng)域V無重合.

前述(4)式和(5)式表述的靜電標(biāo)勢(shì)和靜磁矢勢(shì)只涉及矢量-張量的抽象運(yùn)算，無關(guān)任何具體坐標(biāo)系選擇，故可以視作靜電標(biāo)勢(shì)和靜磁矢勢(shì)外部和內(nèi)部多極矩展開的一般表示.認(rèn)識(shí)到這一點(diǎn)有助于后續(xù)厘清球諧多極矩展開與上述多極矩展開的聯(lián)系與區(qū)別.展開式(4)和(5)中第n項(xiàng)關(guān)于源點(diǎn)的積分系數(shù)就是相應(yīng)的2(n-1)極矩，特別地習(xí)慣上稱n=1時(shí)積分系數(shù)為單極矩，n=2時(shí)積分系數(shù)為偶極矩.

1.2 由二項(xiàng)式定理得出兩種情景下的多極矩展開式

基于三維泰勒展開的方法，其優(yōu)點(diǎn)是可簡(jiǎn)明方便的直接引入張量表示的多極矩展開一般形式，自然而然地獲得外部和內(nèi)部?jī)煞N多極矩展開情景的一般表達(dá)式.但初學(xué)電動(dòng)力學(xué)和電磁場(chǎng)理論時(shí)，通常面對(duì)的一個(gè)教學(xué)困難是學(xué)生對(duì)高階張量及其微分規(guī)則并不熟悉，理解和掌握三維泰勒展開的張量形式較為困難.為此，不妨從學(xué)生相對(duì)熟悉的二項(xiàng)式定理出發(fā)建立多極矩展開一般形式[3,16].

二項(xiàng)式定理指出對(duì)任意有理指數(shù)α和|x|<1，恒有級(jí)數(shù)表示式：

(6)

若定義場(chǎng)點(diǎn)距離和源點(diǎn)距離中較大和較小者分別為:

(7)

則不難得到：

將上式按r>的冪次整理得到：

(8)

利用上式我們來展開庫(kù)侖積分表示的靜電標(biāo)勢(shì),容易有：

1) 若r>>r′，即有r>=r;r<=r′，則

(9)

只需由不太復(fù)雜的并矢運(yùn)算關(guān)系[12]就可將式(9)前幾項(xiàng)改寫為張量及其微分形式:

這正是由三維泰勒展開得到的張量表述的外部電多極矩展開的前幾項(xiàng).

2) 若r<=r′;r<=r，則

(10)

利用簡(jiǎn)單的并矢運(yùn)算類似地可得張量形式：

這正是由三維泰勒展開得到的張量表述的內(nèi)部電多極矩展開的前幾項(xiàng).

不難發(fā)現(xiàn)式(9)和式(10)也無涉具體坐標(biāo)系的選擇,故由二項(xiàng)展式出發(fā)也可得到電多極矩展開一般形式.磁矢勢(shì)顯然可以類似展開，不再贅述.

2 多極矩展開的另一種表示——球諧表象

在多極矩展開的表示理論中，經(jīng)典教學(xué)參考書常給出電磁勢(shì)函數(shù)在球坐標(biāo)系下一種同時(shí)按場(chǎng)點(diǎn)距離冪和球諧函數(shù)階展開為級(jí)數(shù)的表示[2,9].具體而言，采用式(7)定義的符號(hào)，由勒讓德函數(shù)母函數(shù)定理我們有：

(11)

(12)

以靜電標(biāo)勢(shì)的多極矩展開為例，上式表明我們恒有：

(13)

基于此可以方便地由靜電標(biāo)勢(shì)的庫(kù)侖積分式得到：

φ(r)=

(r>>r′)

φ(r)=

(r<

這便是靜電標(biāo)勢(shì)的球諧多極矩展開，其展開式第l項(xiàng)中反映源分布特性的積分系數(shù)稱為l階靜電球諧多極矩.

容易驗(yàn)證球諧多極矩展開與前面多極矩展開具有類似的性質(zhì).值得指出的是靜電球諧多極矩展開還提示了球坐標(biāo)系下拉普拉斯方程通解的基礎(chǔ)解系的物理含義：靜電標(biāo)勢(shì)拉普拉斯方程在球坐標(biāo)系下分離變量通解為

(15)

靜磁問題通常比照靜電問題處理，但教學(xué)參考資料中鮮有靜磁球諧多極矩展開的具體介紹.這主要是由于歷史上磁場(chǎng)球諧多極矩分析最早是基于磁標(biāo)勢(shì)-磁荷觀點(diǎn)由高斯(Carl Friedrich Gauss)在分析地磁場(chǎng)時(shí)系統(tǒng)提出的[7]，磁矢勢(shì)的“前生”——電動(dòng)力學(xué)勢(shì)——還要等6年后的1845年才由紐曼(Franz Ernst Neumann)在嘗試建立法拉第電磁感應(yīng)定律的定量關(guān)系時(shí)提出[13].磁荷-磁標(biāo)勢(shì)觀點(diǎn)下的靜磁球諧分析的成功，使得高斯引入的磁標(biāo)勢(shì)球諧多極矩被廣泛接受，故慣用靜磁矢勢(shì)球諧多極矩展開保持了高斯引入的磁標(biāo)勢(shì)球諧多極矩并不能直接由(13)式結(jié)合源電流密度在球坐標(biāo)系下分解直接得到.詳盡討論靜磁矢勢(shì)球諧多極矩展開超出本文范圍，這里僅給出靜磁標(biāo)勢(shì)和靜磁矢勢(shì)外部球諧多極展開的結(jié)果[17,18]：

(16)

(17)

其中大括號(hào)表示的系數(shù)反映源分布特性即為靜磁外部球諧多極矩。

在多極矩分析應(yīng)用實(shí)踐中，鑒于球諧函數(shù)的性質(zhì)是廣為熟知的，因此將靜態(tài)電磁場(chǎng)同時(shí)按場(chǎng)點(diǎn)距離冪和球諧函數(shù)階展為級(jí)數(shù)較僅按場(chǎng)點(diǎn)距離冪展開運(yùn)用更加廣泛和便利.多極矩分析的兩種展開表示方式教與學(xué)中，學(xué)生經(jīng)常遭遇的一個(gè)困惑是上述多極矩展開的兩種表示相互關(guān)系如何？特別是教學(xué)中靜電多極矩分析常由直角坐標(biāo)系下三維泰勒展開切入講解，不少學(xué)生容易誤認(rèn)為“靜電球諧多極矩展開就是靜電多極矩展開在球坐標(biāo)系中的表示”，這顯然是欠妥當(dāng)?shù)?首先，場(chǎng)源間距的倒數(shù)的展開的張量運(yùn)算表示(3)式和矢量運(yùn)算表示式(8)式均不涉及具體的坐標(biāo)系選擇，即使在球坐標(biāo)系下具體寫出也不涉及球諧函數(shù)，這容易由(8)式直接看出.其次，比較兩種多極矩展開表示中第m項(xiàng)多極矩涉及的元素個(gè)數(shù)還可以發(fā)現(xiàn)，若按場(chǎng)點(diǎn)距離冪展開，反映源特性的多極矩可有m2個(gè)元素；若同時(shí)按場(chǎng)點(diǎn)距離冪和球諧函數(shù)階展開，由球諧函數(shù)性質(zhì)可知其至多只有(2m-1)個(gè)獨(dú)立元素.當(dāng)m≠1時(shí)兩者元素個(gè)數(shù)不等，顯然多極矩分析的兩種表示的關(guān)系不是坐標(biāo)系選擇的不同.事實(shí)上，靜電場(chǎng)的多極矩展開本質(zhì)是將遠(yuǎn)源場(chǎng)點(diǎn)處的靜電標(biāo)勢(shì)按轉(zhuǎn)動(dòng)群的不可約表示進(jìn)行分解，兩者差異在于獨(dú)立基矢選擇不同.具體而言，第m項(xiàng)球諧多極矩在轉(zhuǎn)動(dòng)下按l=(m-1)秩球坐標(biāo)能量變換，而按場(chǎng)點(diǎn)距離的冪展開得到的第m項(xiàng)多極矩按n,n-2,n-4,…,nmin秩球坐標(biāo)能量變換，這里的n=(m-1)，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)nmin=0，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)nmin=1.可見靜電多極矩展開的兩種表示是多極矩展開的不同表象：一般稱按場(chǎng)點(diǎn)距離冪展開為多極矩展開的笛卡爾表象，稱按場(chǎng)點(diǎn)距離冪和球諧函數(shù)階同時(shí)展開為球諧多極矩表象[6,9].應(yīng)當(dāng)說明的是，靜磁場(chǎng)矢勢(shì)按場(chǎng)點(diǎn)距離冪和球諧函數(shù)展開時(shí)，磁多極矩沿用了基于磁荷-磁標(biāo)勢(shì)的標(biāo)量磁多極矩，故磁矢勢(shì)的兩種表示不符合一般意義下表象變換關(guān)系.

3 多極子是點(diǎn)源模型

理解各項(xiàng)多極矩的含義并由此抽象出物理模型——多極子——是多極矩分析的另一主要內(nèi)容.受教材和教學(xué)中電多極矩直觀圖示影響常容易忽略多極子的理想點(diǎn)源特性.

容易驗(yàn)證，一對(duì)等量異號(hào)電荷構(gòu)成的“物理電偶極子”的電偶極矩滿足笛卡爾表像下多極矩展開定義的電偶極矩.然而 “物理電偶極子”的電標(biāo)勢(shì)還存在著其它高階項(xiàng)，并不與電多極矩展開引入的電偶極矩的對(duì)應(yīng)電標(biāo)勢(shì)一致.因此，“物理電偶極子”不是多極矩展開得到的電偶極子所要刻畫的電荷分布.正確理解電偶極項(xiàng)所描述的電荷分布，必需借助極限思想，事實(shí)上，只有當(dāng)電偶極子

(18)

在s→0極限下退化為位于原點(diǎn)的點(diǎn)源時(shí)，其激勵(lì)的靜電場(chǎng)具有與靜電多極矩展開偶極矩項(xiàng)相同的電標(biāo)勢(shì)[9,14，15].

(19)

圖2

這一結(jié)論還可以結(jié)合靜電標(biāo)勢(shì)基本方程，由電偶極子的等效電荷分布得到：

(20)

關(guān)于原點(diǎn)的δ函數(shù)形式表明電偶極子是理想點(diǎn)源模型.

(21)

圖3 多極矩展開引入電四極子的一種構(gòu)型示意圖

按照上述方法可以遞次求出高階電極矩刻畫的電荷分布物理模型：電2n極子是由等大異號(hào)一對(duì)電2n-1極矩子構(gòu)成的位于原點(diǎn)的點(diǎn)電荷分布模型.值得指出的是，教學(xué)中雖然電四極矩等高階項(xiàng)貢獻(xiàn)也可以由位于原點(diǎn)的四個(gè)點(diǎn)電荷分析得到，但是由2n極子通過錯(cuò)位和極限構(gòu)建2n+1極子能更好的體現(xiàn)各階多極子間的關(guān)系，也更加符合多極矩展開所蘊(yùn)含的物理思想[15].類似的分析也適用于笛卡爾表象下靜磁外部多極矩物理意義的分析[16],此處不再贅述.

如何理解多極子是位于原點(diǎn)的點(diǎn)源但蘊(yùn)含著源構(gòu)形信息？這可以回歸到多極矩展開本身去思考.多極矩展開將遠(yuǎn)源場(chǎng)點(diǎn)處電磁勢(shì)函數(shù)展為位于原點(diǎn)的一系列等效點(diǎn)源的電磁勢(shì)函數(shù)疊加(注意到多極矩展開式總是關(guān)于場(chǎng)點(diǎn)距離冪的級(jí)數(shù)即可看出這一點(diǎn)).同時(shí)，這些等效源激勵(lì)的電磁勢(shì)函數(shù)又與特定電荷分布或電流分布在遠(yuǎn)源處激勵(lì)的電磁勢(shì)一致，在這個(gè)意義下我們說這些位于原點(diǎn)的點(diǎn)源還蘊(yùn)含著電荷分布或電流分布的空間構(gòu)型信息.例如，前面已經(jīng)提到過“物理電偶極子”在遠(yuǎn)處場(chǎng)點(diǎn)激勵(lì)的靜電場(chǎng)與電偶極子激勵(lì)的偶極電場(chǎng)對(duì)應(yīng)相同的電標(biāo)勢(shì)；恒定環(huán)形電流在遠(yuǎn)處場(chǎng)點(diǎn)激勵(lì)的靜磁場(chǎng)與磁偶極子激勵(lì)的偶極磁場(chǎng)對(duì)應(yīng)相同的磁矢勢(shì).換言之，多極矩作為點(diǎn)源也蘊(yùn)含著源分布的信息，是指其所激勵(lì)的電磁場(chǎng)與特定空間構(gòu)形源分布在遠(yuǎn)源處場(chǎng)點(diǎn)激勵(lì)的電磁場(chǎng)對(duì)應(yīng)著相同的電磁勢(shì)函數(shù)，而不是要在幾何意義下的點(diǎn)源內(nèi)部去尋找特定分布信息.

4 多極子與外場(chǎng)的相互作用力和力矩

電多極子在外電場(chǎng)中的能量、受力和受力矩已有不少文獻(xiàn)論述，包括由靜電互能出發(fā)基于變分法獲得受力與受力矩作用[7,8]，或者從多極子等效電荷分布出發(fā)求出受力和受力矩[17].這里再介紹一種通過將外電場(chǎng)展開求多極子受外電場(chǎng)力和力矩的推導(dǎo).

若激勵(lì)外電場(chǎng)E′的源到給定電荷體系ρ的距離與該電荷分布的線度R相較足夠大，或者說待討論電荷分布區(qū)域處的外電場(chǎng)變化足夠平緩，則取坐標(biāo)原點(diǎn)在待分析電荷分布附近，可將外電場(chǎng)E′在原點(diǎn)附近類似靜電標(biāo)勢(shì)做多極矩展開：

(22)

注意到在電荷分布ρ的原點(diǎn)附近區(qū)域?qū)′展開時(shí)，E′展開的場(chǎng)點(diǎn)就是ρ的源點(diǎn)，我們直接得到：

(23)

換言之，由電荷分布ρ確定的電單極子、電偶極子以及電四極子在外電場(chǎng)中受到的電場(chǎng)力為：

FQ=QE′,

(24)

注意上述各式對(duì)任意外電場(chǎng)均成立，不限于靜電場(chǎng).

利用上述外電場(chǎng)E′的展開式也可直接求出給定電荷分布在外電場(chǎng)中關(guān)于原點(diǎn)所受力矩精確到電四極矩項(xiàng)的結(jié)果：

(25)

Tp=p×E′，

(26)

同樣地，上述結(jié)果對(duì)任意外電場(chǎng)均適用，不限于靜電場(chǎng)的情況.

類似推導(dǎo)也可以給出電流分布J所確定的磁多極子在外磁場(chǎng)B′變化足夠平緩時(shí)所受力和關(guān)于原點(diǎn)的力矩.精確到磁四極矩其所受到外場(chǎng)作用力的第k分量可以寫為：

(27)

上式已經(jīng)利用到恒定電流分布激勵(lì)的靜磁場(chǎng)無磁單極矩.利用恒定電流分布確定的得磁偶極矩m和磁四極矩M，我們也即有：

(28)

特別地，當(dāng)外磁場(chǎng)為靜磁場(chǎng)時(shí)(28)式可以寫為矢量形式：

(29)

而磁四極子相關(guān)項(xiàng)改寫為矢量-張量形式也即，

在此基礎(chǔ)上可進(jìn)一步求磁多極子在外磁場(chǎng)中關(guān)于原點(diǎn)的力矩為

(30)

表為矢量張量形式即有：

(31)

可見磁偶極子和磁四極子在外靜磁場(chǎng)中受到的力矩分別為

Tm=m×B′,

(32)

5 總結(jié)

多極矩分析因較集中地涉及張量運(yùn)算、特殊函數(shù)以及物理模型的極限抽象構(gòu)建，在數(shù)理要求整體已較高的電動(dòng)力學(xué)課程教學(xué)中也算突出難點(diǎn).但目前國(guó)內(nèi)關(guān)于多極矩分析教與學(xué)的文獻(xiàn)仍相對(duì)較少.本文圍繞多極矩展開表示、多極子模型以及多極子與靜態(tài)電磁場(chǎng)的相互作用力和力矩展開探討，希望有助于梳理多極矩分析教與學(xué)的主要內(nèi)容，厘清基本概念與重要模型，拓展和豐富多極矩分析相關(guān)知識(shí)，對(duì)電動(dòng)力學(xué)課程多極矩分析的教與學(xué)有所助益.