旋轉(zhuǎn)波片法測量Stokes參量與Jones矩陣

賴煜成，胡新元，吳家毅，白在橋

(北京師范大學(xué) 物理學(xué)系，北京 100875)

偏振是光的重要特性之一. 精確描述偏振光的狀態(tài)需要用到Stokes參量，定量刻畫一般的無吸收光學(xué)元件對(duì)偏振狀態(tài)的改變需要引入Jones矩陣[1,2]. 有很多方法可以測量Stokes參量、Jones矩陣[3-5]以及推廣的Müller矩陣[6,7]，其中最簡單和經(jīng)濟(jì)的是旋轉(zhuǎn)波片法[8-13]. 然而目前大學(xué)基礎(chǔ)物理實(shí)驗(yàn)教學(xué)中很少涉及Stokes參量和Jones矩陣的測量和應(yīng)用. 在數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)上，Stokes參量和Jones矩陣與二能級(jí)量子系統(tǒng)的密度矩陣和演化算符完全相同[14]. 將這方面的知識(shí)引入實(shí)驗(yàn)，不僅可以加深學(xué)生對(duì)偏振性質(zhì)的認(rèn)識(shí)，也為后續(xù)量子力學(xué)的學(xué)習(xí)提供了一個(gè)實(shí)例，有利于學(xué)生對(duì)抽象數(shù)學(xué)概念的理解. 本文將以旋轉(zhuǎn)波片法為例討論偏振態(tài)和偏振元件特性的測量問題.

1 實(shí)驗(yàn)原理

1.1 Jones矢量和Stokes參量

首先回顧一些基本概念. 一束完全偏振光的偏振狀態(tài)可以表示為Jones矢量[1]

(1)

其中a1、a2是電場振動(dòng)平面內(nèi)兩個(gè)垂直方向上的振幅，φ1、φ2是它們的初始相位.由于初始相位與時(shí)間零點(diǎn)選擇有關(guān)，只有相位差δ=φ2-φ1才有物理意義.按以下定義引入Stokes參量S=(S0,S1,S2,S3)≡(S0,S)，有

(2)

其中σx、σy、σz為3個(gè)Pauli矩陣.根據(jù)定義可得

(3)

(4)

而對(duì)于非完全偏振光，有

(5)

在考慮偏振光的狀態(tài)時(shí)，通常并不關(guān)心其總強(qiáng)度.因此可以設(shè)S0=1，對(duì)于完全偏振光，S位于單位球面上，此球面稱為Poincaré球(在量子力學(xué)中稱為Bloch球)[1]. 在Poincaré球上，赤道上的點(diǎn)(S3=0)為線偏振光，南北極的點(diǎn)(S3=±1)為圓偏振光，北極是右旋光，南極是左旋光，北半球表示右旋的橢圓偏振光，南半球表示左旋的橢圓偏振光.此外，Poincaré球面上的對(duì)徑點(diǎn)，即S和-S，對(duì)應(yīng)相互正交的兩個(gè)Jones矢量.

1.2 Jones矩陣及其物理意義

線性光學(xué)元件把將入射光的Jones矢量|ψ〉和出射光的Jones矢量|ψ′〉聯(lián)系起來，其作用相當(dāng)于1個(gè)2×2復(fù)矩陣(Jones矩陣)，有

|ψ′〉=A|ψ〉

(6)

本文只考慮沒有吸收(或者吸收與偏振無關(guān))的偏振元件，比如波片、旋光溶液、液晶等.這類元件的Jones矩陣是酉矩陣，即A+A=AA+=I.由于Jones矢量可以相差一個(gè)整體相位，還可以進(jìn)一步要求det(A)=1，即A∈SU(2).SU(2)中矩陣的一般形式為

A=a0I+i(a1σz+a2σx+a3σy)=

(7)

其中a0、a1、a2、a3為4個(gè)實(shí)數(shù)，滿足關(guān)系：

(8)

以快軸方向?yàn)棣鹊?/4波片為例，此時(shí)Jones矩陣可表示為

(9)

這里R[θ]表示旋轉(zhuǎn)矩陣:

(10)

(11)

(12)

容易驗(yàn)證，QTQ=QQT=I，即Q∈SO(3)[15].上式實(shí)際上就是旋轉(zhuǎn)矩陣的四元數(shù)表示.

Poincaré球上的赤道經(jīng)旋轉(zhuǎn)后仍為一個(gè)大圓，它與赤道至少有兩個(gè)對(duì)徑交點(diǎn).這意味著任意無吸收線性元件都至少把兩個(gè)偏振方向互相垂直的線偏振光變換成另外兩個(gè)偏振方向互相垂直的線偏振光.這兩個(gè)特殊的入射角度被稱為該偏振元件的入射主軸.一般的酉矩陣分解成下面的形式:

(13)

其中θ(以及θ+π/2)為入射主軸方向，δ為兩個(gè)主軸的相位延遲，φ為旋光角，θ+φ為出射主軸方向.將式(13)展開，與式(7)對(duì)比系數(shù)，可得

(14)

注意主軸方向只能確定到2θ，這是因?yàn)棣群挺?π對(duì)應(yīng)的方向是相同的.

1.3 旋轉(zhuǎn)波片法測量Stokes參量

圖1 旋轉(zhuǎn)波片法光路圖

在圖1所示的光路中，待測偏振光依次經(jīng)過波片和偏振片進(jìn)入光探測器.設(shè)偏振片的透振方向?yàn)閤軸(θ=0)，波片的相位延遲為δ.波片慢軸從θ=0開始旋轉(zhuǎn)一周，用光探測儀器記錄光強(qiáng)I隨轉(zhuǎn)角θ的變化曲線.理論上I(θ)可由下式計(jì)算:

(15)

將實(shí)測I(θ)進(jìn)行傅里葉展開，有

(16)

對(duì)比式(15)和式(16)，可得

(17)

(18)

教學(xué)實(shí)驗(yàn)中使用的1/4波片往往存在一定的誤差[16-19]，因此有必要實(shí)測波片的相位延遲.在圖1光路中波片前放一塊偏振片并將其透振方向調(diào)為45°.這樣入射光的Stokes參量(S0,S1,S2,S3)=I0(1,0,1,0)，根據(jù)式(15)，測得光強(qiáng)曲線為

(19)

擬合實(shí)測I(θ)曲線得到cosδ，從而得到相位延遲.用這種方法對(duì)實(shí)驗(yàn)所用1/4波片進(jìn)行了3次測量，δ分別為87.94°、87.99°、87.93°、87.91°，而調(diào)節(jié)起偏器的偏振方向使其重新為45°時(shí)，測量得到的結(jié)果為87.68°、88.43°、88.16°、88.06°，故認(rèn)為測量過程中的誤差主要來自于調(diào)節(jié)起偏器角度時(shí)的調(diào)節(jié)誤差，故而1/4波片的相位延遲角取測量平均值δ=88.05°.

1.4 擬合Jones矩陣

考慮無吸收線性偏振元件，由式(11)可得

(20)

從而可以得到

(21)

其中

K(S,S′)=

(22)

(23)

最小特征值所對(duì)應(yīng)的特征向量.

實(shí)驗(yàn)中使用4個(gè)不同偏振方向的線偏振光入射，測得對(duì)應(yīng)出射光的Stokes參量以后，根據(jù)上面的方法得到最佳Jones矩陣. 本文還計(jì)算了M最小特征值與次小特征值之比，如果這個(gè)值非常接近0，就驗(yàn)證了理論模型(即吸收與偏振無關(guān))的合理性. 得到Jones矩陣以后，根據(jù)式(14)算出偏振元件的主軸、相位延遲和旋光角等物理參數(shù).

2 裝置與方法

實(shí)驗(yàn)裝置如圖2所示，所用器材主要包括氦氖激光器(帶布儒斯特窗，波長為632.8 nm)、2個(gè)偏振片、2個(gè)1/4波片(λ/300波片)、光電傳感器(Thorlabs DET36A2)、旋轉(zhuǎn)編碼器(12位增量型)、直流電源、面包板、數(shù)據(jù)采集卡(NI USB-6212)、待測液晶盒以及裝有LabVIEW軟件的計(jì)算機(jī). 在實(shí)驗(yàn)前增加了測量實(shí)驗(yàn)室雜散光強(qiáng)的操作，在后續(xù)實(shí)驗(yàn)中減去雜散光的影響. 實(shí)驗(yàn)中所有的測量都是出射光強(qiáng)I如何隨1/4波片的角度θ改變，因此把1/4波片安裝在編碼器內(nèi)，編寫LabVIEW程序，連續(xù)采集編碼器輸出脈沖，通過累加/減實(shí)時(shí)測量1/4波片的角度.同時(shí)采集光電傳感器的電壓輸出(正比于光強(qiáng))，并對(duì)相同角度內(nèi)的光強(qiáng)取平均，就可以得到光強(qiáng)曲線I(θ).然后計(jì)算I(θ)的傅里葉系數(shù)，根據(jù)系數(shù)計(jì)算Stokes參數(shù)，將結(jié)果顯示在程序前面板.為檢驗(yàn)測量數(shù)據(jù)的準(zhǔn)確性，前面板上還畫出了實(shí)測I(θ)和理論模型(即只考慮0、2、4階諧波的傅立葉展開)的對(duì)比.

圖2 實(shí)驗(yàn)裝置圖

測量前需要初始化檢偏器和1/4波片的角度.方法如下：先用布儒斯特角的方法將檢偏器透振方向調(diào)成水平方向，并在后續(xù)的實(shí)驗(yàn)中保持固定.然后加入起偏器，旋轉(zhuǎn)其角度至消光，此時(shí)兩塊偏振片正交.再在兩塊正交偏振片之間加上1/4波片，旋轉(zhuǎn)1/4波片至再次消光，此時(shí)1/4波片光軸的方向與偏振片方向平行，以此確定1/4波片光軸的角度.需要說明的是：這種方法不能區(qū)分1/4波片的快慢軸，后面測量的S3可能會(huì)全部相差一個(gè)負(fù)號(hào).在之后的每次實(shí)驗(yàn)中，根據(jù)編碼器輸出脈沖保證1/4波片每次旋轉(zhuǎn)為準(zhǔn)確的360°，因此無需重新確定1/4波片光軸的方向.

本實(shí)驗(yàn)用的液晶盒來自網(wǎng)購的電焊自動(dòng)護(hù)目鏡片.將其前后的反光片和偏振片剝離，就得到兩片黏在一起的導(dǎo)電玻璃(中間夾層中有液晶).將液晶盒用雙面膠黏在旋轉(zhuǎn)光學(xué)支架上，并用導(dǎo)線將前后電極與直流電源相連，就可以用于實(shí)驗(yàn).

3 實(shí)驗(yàn)內(nèi)容

3.1 方法準(zhǔn)確性驗(yàn)證

表1 線偏振光和圓偏振光Stokes參量測量結(jié)果

然后用起偏器制備9個(gè)方向(0°到160°每隔20°)的線偏振光，測量它們分別入射一個(gè)1/4波片后的Stokes參量(參見圖3). 將(S1,S2,S3)的長度歸一化后畫成3維點(diǎn)圖，結(jié)果見圖4. 可以看出：1/4波片將原本在赤道面上按角度間距40°排列的10個(gè)點(diǎn)變換到一個(gè)近似過原點(diǎn)的平面上，而且相鄰點(diǎn)的夾角也接近40°. 這直觀地表明1/4波片的作用是Poincaré球上的一個(gè)剛體轉(zhuǎn)動(dòng).

圖3 1/4波片的Jones矩陣測量光路

圖4 偏振狀態(tài)在Poincaré球上的表示

根據(jù)式(21)、(22)，用10組(S,S′)擬合1/4波片的Jones矩陣，結(jié)果為

(24)

擬合矩陣M的最小特征值與次小特征值的比值為

(25)

很接近零，說明測量數(shù)據(jù)是合理的.進(jìn)一步計(jì)算該Jones矩陣的跡為

Tr(J)=1.417 6

(26)

(27)

以上測量表明，雖然結(jié)果存在一定誤差，但測量Stokes參量和擬合Jones矩陣的方法是可靠的.

本實(shí)驗(yàn)的測量誤差主要來自于激光并沒有正入射待測量的1/4波片，使得其相位延遲并非完全為90°導(dǎo)致測量誤差. 同時(shí)，實(shí)驗(yàn)中由于手動(dòng)旋轉(zhuǎn)起偏器導(dǎo)致了起偏器透振方向的相對(duì)誤差，這也會(huì)影響該實(shí)驗(yàn)測量的精度.

3.2 測量液晶不同電壓下的Jones矩陣

液晶在光偏振態(tài)的調(diào)制上有重要的應(yīng)用[20-23]，因此本文探究液晶的性質(zhì)，用旋轉(zhuǎn)波片法測量液晶的Jones矩陣.用測試液晶盒代替圖3中左邊的1/4波片.在液晶盒電極兩端加不同電壓U，在每個(gè)電壓下，控制起偏器的透振方向分別為0°、30°、45°、60°，用旋轉(zhuǎn)波片法測量光透過液晶盒之后的Stokes參量，并根據(jù)4個(gè)結(jié)果擬合Jones矩陣.在每個(gè)電壓下，矩陣M的最小本征值與次小本征值的比值均在10-4量級(jí). 圖5給出了Jones矩陣元的變化曲線，利用式(14)將Jones矩陣轉(zhuǎn)換成入射主軸方向θ、旋光角φ和相位延遲δ，結(jié)果見圖6.

圖5 液晶盒Jones矩陣元隨電壓的變化曲線. a0、a1、a3、a2的定義參見公式(7).

可以看到，當(dāng)電壓在0 V到4 V改變時(shí)，液晶盒的Jones矩陣隨電壓的變化集中在[1.5 V,3 V]區(qū)間. 電壓小于1.5 V或大于3 V時(shí)，Jones矩陣基本不變.U=0 V時(shí)，旋光角為-56.4°，相位延遲約為64.67°. 取3.4～4.0 V測量結(jié)果的平均，得到

(28)

圖6 液晶盒入射主軸方向(θ)、旋光角(φ)和相位延遲(δ)與電壓的關(guān)系. 可以看出(φ+2θ)基本為常量.

4 實(shí)驗(yàn)結(jié)論

本實(shí)驗(yàn)在修正波片相位延遲的基礎(chǔ)上，檢定了旋轉(zhuǎn)波片法測量各種偏振態(tài)以及線性光學(xué)元件的Jones矩陣的準(zhǔn)確性，并在此基礎(chǔ)上測量了液晶Jones矩陣隨電壓的變化. 實(shí)驗(yàn)測量得到修正波片相位延遲后各種偏振態(tài)測量的相對(duì)誤差都小于0.02，測量準(zhǔn)確；驗(yàn)證了1/4波片的作用相當(dāng)于是對(duì)Poincaré球上的一個(gè)剛體旋轉(zhuǎn)，擬合矩陣M的最小特征值與次小特征值的比值β1=2.800×10-5表明測量數(shù)據(jù)合理，1/4波片Jones矩陣的跡與理論值的相對(duì)誤差α=0.24%表明測量準(zhǔn)確. 液晶盒的Jones矩陣隨電壓的變化集中在[1.5 V, 3 V]區(qū)間. 電壓小于1.5 V或大于3 V時(shí)，Jones矩陣基本不變，U=0 V時(shí)，旋光角為-56.4 °，相位延遲約為64.67 °. 本實(shí)驗(yàn)結(jié)合旋轉(zhuǎn)波片法與LabVIEW編程，自動(dòng)化計(jì)算與測量斯托克斯參量，大大簡化了實(shí)驗(yàn)步驟，可以引入大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)教學(xué)中.

致謝:

感謝北京師范大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)教學(xué)中心的平澄老師和王愛記老師對(duì)本文的幫助.