矩形薄膜受迫橫振動(dòng)問題的求解及可視化

周紀(jì)晨，郭 琴

(江西師范大學(xué) 物理與通信電子學(xué)院，江西 南昌 330022 )

均勻薄膜的微小橫振動(dòng)是典型的波動(dòng)方程問題，隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，膜振動(dòng)理論被應(yīng)用于膜樂器的發(fā)聲仿真[1]、人體耳膜振動(dòng)的病理研究[2]以及植物細(xì)胞膜振動(dòng)的超聲育種[3]等．并且，由于工程結(jié)構(gòu)的輕型化，薄膜結(jié)構(gòu)在建筑、機(jī)械電子、航空航天等領(lǐng)域中也有著廣泛的用途，因此薄膜振動(dòng)的研究具有重要的意義．各類相關(guān)問題的討論也十分豐富，如林文靜等人分析了圓形膜和扇形膜自由振動(dòng)問題[4]，羅吉等人研究了圓環(huán)膜自由振動(dòng)模型[5]，章禮華等人構(gòu)造了等腰直角三角形膜振動(dòng)解析解[6]，以上有界薄膜的自由振動(dòng)問題通常采用分離變量法[4-6]．對于更為復(fù)雜的薄膜受迫振動(dòng)問題[7]，直接應(yīng)用分離變量法求解二階非齊次線性方程，需要用到非齊次線性方程解的定理，求解過程比較繁瑣．采用沖量定理法結(jié)合傅里葉級數(shù)法能使問題的求解更加簡潔.本文的研究有助于加強(qiáng)學(xué)生對受迫振動(dòng)問題的沖量定理解法的掌握，經(jīng)文獻(xiàn)調(diào)研本文的研究內(nèi)容未見發(fā)表．?dāng)?shù)值模擬是進(jìn)一步探究膜振動(dòng)規(guī)律的有效途徑[8,9]，因此本文對示例結(jié)果進(jìn)行作圖分析，進(jìn)一步驗(yàn)證結(jié)果的合理性，完整體現(xiàn)了矩形膜振動(dòng)形態(tài)及其特點(diǎn)．

1 四周固定的矩形膜振動(dòng)的定解問題

utt-c2Δ2u=0

(1)

圖1 二維薄膜受力與坐標(biāo)系建立

若膜上有橫向外力作用，記單位面積上橫向外力為F(x,y,t)，則單位質(zhì)量上的橫向外力f(x,y,t)=F(x,y,t)/ρ，薄膜受迫振動(dòng)方程為

utt-c2Δ2u=f(x,y,t)

(2)

若膜四周邊界固定(0≤x≤a,0≤y≤b)，則邊界條件為

u(x,y,t)|x=0=u(x,y,t)|x=a=0

(3)

u(x,y,t)|y=0=u(x,y,t)|y=b=0

(4)

假設(shè)初始時(shí)刻膜上有初始位移φ(x,y)和初始速度ψ(x,y)．綜上所述，本文研究的定解問題(t≥0)為

(5)

利用疊加原理，可將以上問題拆成兩個(gè)定解問題，令u(x,y,t)=uⅠ(x,y,t)+uⅡ(x,y,t)，其中uⅠ滿足非零初始條件下齊次方程問題(可采用傅里葉級數(shù)法求解)，uⅡ滿足零值初始條件下非齊次方程問題(可運(yùn)用沖量定理法求解)．

(6)

(7)

為便于分析，借助如下例題詳細(xì)說明本文解法．

2 具有初始條件的矩形膜受迫振動(dòng)問題解法示例

均勻各向同性彈性薄膜，寬為a，長為b，四周夾緊，初始位移為Axy(a-x)(b-y)，初始速度為0，單位面積所受的橫向外力為ρf(x,y,t)=ρxysinωt，求解此矩形膜的橫振動(dòng)．

分析：由題意此問題適合采用薄膜受迫振動(dòng)方程進(jìn)行求解，邊界條件同式(3)、式(4)，該定解問題可表達(dá)為

(8)

以上定解問題可拆成非零值初始條件下的齊次方程問題和零值初始條件下的非齊次方程問題.

2.1 具有初始條件的矩形膜自由振動(dòng)下的解析解

接下來采用傅里葉級數(shù)法求解以下問題:

(9)

根據(jù)傅里葉級數(shù)法，由第一類齊次邊界條件可設(shè)其試探解為

(10)

將式(10)代入式(9)中的泛定方程，得

(11)

解得

Tmn(t)=Amncosωmnt+Bmnsinωmnt

(12)

其中，薄膜本征振動(dòng)的圓頻率為

(13)

故得

(14)

再代入初始條件得

Axy(a-x)(b-y)

(15)

(16)

由式(15)，可利用傅里葉系數(shù)公式求解Amn：

(17)

由式(16)，利用比較系數(shù)法易得

Bmn=0

(18)

故式(9)的解為

(19)

2.2 零值初始條件矩形膜受迫振動(dòng)下的解析解

下面采用沖量定理法求解以下問題:

(20)

問題式(20)表示矩形膜在受到單位質(zhì)量的橫向外力作用下作振動(dòng)．運(yùn)用沖量定理法的物理思想是，把持續(xù)作用引起的振動(dòng)，看作單位質(zhì)量薄膜所受“瞬時(shí)力”引起的振動(dòng)的疊加；而作用在(τ,τ+dτ)時(shí)間段上的“瞬時(shí)力”的沖量可以轉(zhuǎn)化為在τ+dτ時(shí)刻薄膜的初速度．故可轉(zhuǎn)為求解關(guān)于v(x,y,t;τ)在初始速度作用下的自由振動(dòng)問題：

(21)

參照邊界條件，設(shè)其試探解為

(22)

將式(22)代入式(21)中的泛定方程，分離出Tmn的常微分方程并求解得

(23)

其中圓頻率ωmn同式(13)，代入初始條件

(24)

vt(x,y,τ)=

(25)

比較兩邊系數(shù)得

Amn(τ)=0

(26)

利用傅里葉系數(shù)公式得

(27)

至此，已求得式(22)的完整表達(dá)式:

(28)

因此式(20)的解為

(29)

綜上，已求得定解問題(8)的解析解:

u(x,y,t)=uⅠ(x,y,t)+uⅡ(x,y,t)=

(30)

3 理論解的討論和可視化分析

下面對式(30)進(jìn)行作圖分析，展現(xiàn)四周固定矩形膜受迫振動(dòng)的物理圖像．

3.1 受迫矩形膜的振動(dòng)特點(diǎn)

為探究周期性橫向外力F=ρxysinωt的圓頻率ω對膜上各點(diǎn)振動(dòng)的影響，我們對式(29)作如下變換:

(31)

當(dāng)外力的圓頻率ω等于固有圓頻率ωmn時(shí)(ω=ωmn):

(32)

其中第一項(xiàng)振幅為t/2，隨著t增大而無限增大，直至達(dá)到薄膜振動(dòng)承受極限，最終膜破裂，因此這對于研究共振在生產(chǎn)實(shí)際中帶來的影響具有一定的指導(dǎo)意義．

為驗(yàn)證以上理論分析的合理性，考察長寬分別為b=2π,a=π的矩形膜，取膜上點(diǎn)x=π/2,y=π，作其振動(dòng)位移隨時(shí)間變化的圖像即u(x,y,t)-t圖，如圖2、圖3所示．其中式(29)中系數(shù)c=1．通過大量作圖(這里只呈現(xiàn)兩幅圖)得出結(jié)論：當(dāng)驅(qū)動(dòng)力圓頻率與固有圓頻率相等時(shí)，薄膜將產(chǎn)生位移共振[11](如圖2)；當(dāng)兩者十分接近但不相等時(shí)，薄膜將出現(xiàn)“拍”的現(xiàn)象(如圖3)．

圖2 位移共振現(xiàn)象

圖3 “拍”現(xiàn)象

3.2 受迫矩形膜共振下的振動(dòng)形態(tài)

為進(jìn)一步了解矩形膜的整體振動(dòng)形態(tài)變化，設(shè)式(30)中系數(shù)A=1,c=1，作出不同共振圓頻率下u(x,y,t)的三維圖像，來觀察矩形膜(b=2π,a=π)隨位移共振圓頻率變化的三維動(dòng)態(tài)圖像．

圖4是同一時(shí)刻不同共振圓頻率的振動(dòng)圖像．可以得出結(jié)論：在同一時(shí)刻下，共振圓頻率越大，矩形膜的表面褶皺越多，因?yàn)橥饨缬绊戇^快導(dǎo)致膜的變化也更為顯著．

w(1,1)=1.118 03

圖5是不同時(shí)刻同一共振圓頻率的振動(dòng)圖像．可得出結(jié)論：在不同時(shí)刻下，由于外界驅(qū)動(dòng)力以及初始位移的存在，矩形膜將呈現(xiàn)出不同于本征振動(dòng)的一系列振動(dòng)形態(tài)．

t=1.4

4 結(jié)論

本文將一維受迫弦振動(dòng)定解問題的解法有效推廣至二維矩形膜振動(dòng)問題，充分運(yùn)用沖量定理法中的物理思想，得到了四周固定的均勻矩形薄膜在受迫振動(dòng)下的解析解．通過求解典型例題，使此類推廣解法的使用更加清晰易懂．同時(shí)，對受迫振動(dòng)的理論解進(jìn)行了作圖分析，使其蘊(yùn)含的物理意義更加具體形象，振動(dòng)特點(diǎn)更為直觀．希望本文的研究可以加深學(xué)生對二維矩形膜振動(dòng)問題的理解以及加強(qiáng)對數(shù)學(xué)物理方法相關(guān)理論的掌握． 二維矩形膜非齊次振動(dòng)問題的沖量定理解法還可推廣到二維有源(匯)輸運(yùn)問題中去．