GeoGebra輔助立體幾何教學(xué)的原則和策略

張淵博 福建省晉江市英林中學(xué)

信息時(shí)代的到來，革新了人們的生活，轉(zhuǎn)變了人們的理念。這種理念不僅彰顯在人們的生活中，而且展現(xiàn)在教育領(lǐng)域中。其中包括教育理念的轉(zhuǎn)變、人才培養(yǎng)觀點(diǎn)的轉(zhuǎn)變、教育質(zhì)量評價(jià)觀念的轉(zhuǎn)變及學(xué)習(xí)方式的轉(zhuǎn)變。結(jié)合計(jì)算機(jī)技術(shù)處理革新過程中所產(chǎn)生的各種問題，推動(dòng)了信息技術(shù)輔助教學(xué)這一手段的進(jìn)展，構(gòu)建了信息技術(shù)輔助教育產(chǎn)生和發(fā)展的社會(huì)基礎(chǔ)。依托新課程標(biāo)準(zhǔn)的要求，高中數(shù)學(xué)課堂應(yīng)該強(qiáng)化技術(shù)的運(yùn)用，重視教育技術(shù)和數(shù)學(xué)教育內(nèi)容的整合，提升教學(xué)效率，深化教學(xué)質(zhì)量。

而教師對GeoGebra軟件的應(yīng)用，既迎合了信息時(shí)代的變革，又滿足了課程標(biāo)準(zhǔn)的要求。GeoGebra由“Geometry”和“Algebra”兩個(gè)英文單詞構(gòu)成，它是一種動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)軟件，幾何、代數(shù)、表格、圖形、微積分等都包含在其中，高中數(shù)學(xué)課程相關(guān)的圖形都能夠輕易畫出。在信息技術(shù)不斷發(fā)展的今天，“智慧課堂”基于素質(zhì)教育深化的要求得到了廣泛推廣。高中數(shù)學(xué)課堂也在此背景下，逐步轉(zhuǎn)變了教學(xué)方式。GeoGebra繪圖的基本選項(xiàng)包含點(diǎn)、線段、多邊形、函數(shù)、圓錐曲線等，提供了便捷性的動(dòng)態(tài)性演示，可以向?qū)W生展示軌跡的生成過程，能夠帶領(lǐng)學(xué)生探索軌跡的動(dòng)態(tài)性。立足于“動(dòng)態(tài)”的特征，展現(xiàn)幾何圖形內(nèi)在關(guān)系的環(huán)境，變抽象為具體、變枯燥為生動(dòng)。

一、GeoGebra輔助立體幾何教學(xué)的特征和優(yōu)勢

（一）使用的便捷性

GeoGebra能夠跨多個(gè)平臺(tái)，供應(yīng)桌面程序、手機(jī)程序、平板電腦程序和網(wǎng)頁程序。對教師來說，GeoGebra5桌面程序是他們最常使用的程序，其只需要進(jìn)行簡易化的安裝，應(yīng)用的時(shí)候，也不需要網(wǎng)絡(luò)的支撐。當(dāng)然，GeoGebra6安裝起來更為簡易，其視圖也更為完善，不僅支持移動(dòng)版，而且支持網(wǎng)頁版。和其他動(dòng)態(tài)幾何軟件及硬件不同的是，GeoGebra開源軟件不收取任何費(fèi)用，輔助運(yùn)用層面，非常適合推廣。

（二）功能的全面性

和其他的幾何軟件及硬件相比，GeoGebra5的功能相對比較全面，它是一個(gè)帶有捆綁包的軟件，把幾何、表格、概率及統(tǒng)計(jì)整合在了一起，對視圖進(jìn)行了六個(gè)層面的劃分，即代數(shù)、表格、運(yùn)算、繪圖、3D繪圖和概率統(tǒng)計(jì)。不同的區(qū)域擁有不同的功能價(jià)值，且不同區(qū)域能夠進(jìn)行一致性的交流和互動(dòng)，以展現(xiàn)更多的功能，實(shí)現(xiàn)更為高效的教學(xué)任務(wù)和探究目標(biāo)。由此可見，動(dòng)態(tài)幾何軟件為學(xué)生提供了交互形式的幾何環(huán)境，其中的運(yùn)算、表格、概率統(tǒng)計(jì)、微積分等功能讓其超越了其他幾何軟件和幾何硬件的陳舊功能，面向的領(lǐng)域更加全面。

（三）拓展的兼容性

GeoGebra為使用者提供立足于此軟件的腳本和編程語言的高級選項(xiàng)，支持使用者進(jìn)一步開發(fā)和追求新的應(yīng)用，GeoGebra支持輸出多種樣式的文件。在輸入和編寫數(shù)學(xué)公式的部分，GeoGebra支持輸入和輸出LaTeX格式的公式。所謂LaTeX，指的就是對文件進(jìn)行編制的軟件系統(tǒng)，它被廣泛運(yùn)用在多個(gè)范疇的科學(xué)物品中。

二、應(yīng)用GeoGebra輔助高中數(shù)學(xué)立體幾何教學(xué)的現(xiàn)狀

信息技術(shù)的不斷發(fā)展，讓當(dāng)下數(shù)學(xué)課程革新的趨勢發(fā)生了轉(zhuǎn)變，由傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)課堂轉(zhuǎn)變?yōu)槿诤闲畔⒓夹g(shù)的數(shù)學(xué)課堂。在最新人教版的高中數(shù)學(xué)教材中，創(chuàng)作者以GeoGebra 軟件為載體，向?qū)W生介紹如何利用計(jì)算機(jī)技術(shù)完成數(shù)學(xué)功能，并組織對應(yīng)的教學(xué)活動(dòng)。GeoGebra 軟件的覆蓋范圍比較廣泛，不僅適用于小學(xué)時(shí)期的數(shù)學(xué)教學(xué)，而且適用于大學(xué)時(shí)期的高數(shù)教育?；A(chǔ)教育時(shí)期的很多主題教學(xué)內(nèi)容都能夠依靠GeoGebra 完成，其功能也能夠讓數(shù)學(xué)課堂教學(xué)得到豐富。在以往的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，教師一般以黑板為主要教學(xué)工具，在幾何教學(xué)中，教師會(huì)運(yùn)用部分教學(xué)模型進(jìn)行演示，但無法完全實(shí)現(xiàn)動(dòng)態(tài)化的圖形演示，學(xué)生在面對抽象問題時(shí)，也無法輕易地理解問題的呈現(xiàn)。但對GeoGebra 動(dòng)態(tài)幾何軟件的應(yīng)用，能夠?qū)崿F(xiàn)動(dòng)態(tài)化的圖形演示，并提高學(xué)生數(shù)形結(jié)合的理念，加強(qiáng)學(xué)生的直觀想象能力和素養(yǎng)，完成多元特征的展現(xiàn)和銜接。

對GeoGebra 等信息技術(shù)的利用，能夠完成循環(huán)式的證明，學(xué)生能夠在GeoGebra 的幫助下，進(jìn)入到探索、猜想、驗(yàn)證、論證的循環(huán)中。比如，人教A 版教材選擇性必修第二冊，就指出了對GeoGebra 軟件的利用，意在畫出函數(shù)圖像，并讓學(xué)生基于圖像進(jìn)行概念分析、定義猜想，探索函數(shù)的性質(zhì)。在解析函數(shù)性質(zhì)時(shí)，學(xué)生所運(yùn)用的第一步就是導(dǎo)數(shù)，學(xué)生在用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)時(shí)，就可以借助GeoGebra 軟件實(shí)施直觀性的驗(yàn)證。

三、GeoGebra 輔助高中數(shù)學(xué)立體幾何教學(xué)的應(yīng)用原則

（一）整合性

高中數(shù)學(xué)教師在應(yīng)用GeoGebra 軟件輔助立體幾何教學(xué)時(shí)，應(yīng)該和傳統(tǒng)的講述、板書、PPT 課件結(jié)合在一起，消除教學(xué)手段不斷切換的繁雜性，簡要設(shè)計(jì)教學(xué)流程，防止在實(shí)踐教學(xué)中因?yàn)榻虒W(xué)手段的豐富性而影響教學(xué)成效的提升。與此同時(shí)，教師也應(yīng)該對教材進(jìn)行充分研究，并在研究的基礎(chǔ)上，把關(guān)聯(lián)性比較強(qiáng)的知識(shí)點(diǎn)總結(jié)在一起，制定原理、界面、操作過程都比較簡單的GeoGebra 課件，這樣，教師的操作就比較便捷，學(xué)生也更容易觀察和理解。

（二）科學(xué)性

高中數(shù)學(xué)教師在制定GeoGebra 課堂方案時(shí)，應(yīng)該重視課堂方案的科學(xué)性。其一，教師課件中的內(nèi)容應(yīng)該是教材內(nèi)容的統(tǒng)籌，教師要把相關(guān)信息當(dāng)作一個(gè)完整體，使學(xué)生可以用聯(lián)系的觀念整合問題，更好地把新知滲透到已有的經(jīng)驗(yàn)中。其二，教師在展示GeoGebra 課件的時(shí)候，應(yīng)該重視數(shù)學(xué)規(guī)律的展現(xiàn)，促進(jìn)數(shù)學(xué)思想的掌握，促使學(xué)生在潛移默化的過程中，加強(qiáng)自身的數(shù)學(xué)綜合素養(yǎng)。

（三）動(dòng)態(tài)性

GeoGebra 軟件有一個(gè)相對突出的功能，即3D 功能，因此，教師在對其進(jìn)行運(yùn)用的時(shí)候，應(yīng)該延展其優(yōu)點(diǎn)，把靜態(tài)的數(shù)學(xué)立體化、動(dòng)態(tài)化，在講述一些抽象理念時(shí)，教師可以對GeoGebra 軟件進(jìn)行利用，借此設(shè)計(jì)出動(dòng)態(tài)化的具象式課件，進(jìn)而提高學(xué)生的直觀想象能力。在實(shí)施變式教學(xué)時(shí)，教師可以通過滑動(dòng)條的拖動(dòng)，改變相應(yīng)的參數(shù)，具體展現(xiàn)幾何體的動(dòng)態(tài)轉(zhuǎn)變過程。

四、在高中數(shù)學(xué)課程中利用GeoGebra 軟件輔助立體幾何教學(xué)的具體策略

（一）抓住GeoGebra 軟件和教學(xué)內(nèi)容的融合點(diǎn)

依托人教版教材高中數(shù)學(xué)的內(nèi)容，能夠發(fā)現(xiàn)高中立體幾何主要包含基本立體圖形和基本圖形位置關(guān)系的內(nèi)容，學(xué)生在學(xué)習(xí)此類問題時(shí)，總會(huì)因?yàn)榱Ⅲw幾何的空間性，直觀感受到幾何題型的復(fù)雜。為此，學(xué)生需要擁有相對比較高的直觀想象能力和邏輯推理能力。而這也對教師提出了相應(yīng)的要求，教師需要在備課的時(shí)候，對教材內(nèi)容進(jìn)行充分的研究和探索，通過對教材基本構(gòu)造的分析，沿著宏觀的視角明晰知識(shí)之間的邏輯性，融合學(xué)生的認(rèn)知理念、基礎(chǔ)數(shù)學(xué)思維、心理情況及學(xué)習(xí)方式，調(diào)節(jié)教學(xué)內(nèi)容，完善教學(xué)設(shè)計(jì)和方案，借助精細(xì)化的研究和深入，對教材內(nèi)容進(jìn)行探索和分析，抓住GeoGebra 軟件和教學(xué)內(nèi)容之間的融合點(diǎn)，用GeoGebra 軟件引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)入到恰當(dāng)?shù)那榫持校M(jìn)而更高效地培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象能力，提高學(xué)生的邏輯推理能力。

以高中數(shù)學(xué)人教版教材高一數(shù)學(xué)必修第二冊第八章第三節(jié)“簡單幾何體的表面積和體積”為例。在解析球的體積計(jì)算公式時(shí)，教師可以抓住GeoGebra軟件和教學(xué)內(nèi)容的融合點(diǎn)，向?qū)W生展示自己制作的GeoGebra課件。

導(dǎo)入：已知球的表面積計(jì)算公式是S=4πR2，其中球的半徑為R，那么你能夠通過已知的表面積計(jì)算公式和已經(jīng)內(nèi)化的知識(shí)，對球的體積計(jì)算公式進(jìn)行推導(dǎo)嗎？

情境引入：教師可以向?qū)W生顯示GeoGebra課件“圓的面積和正n邊形”，然后借助滑動(dòng)條的拖動(dòng)，改變n的數(shù)值，學(xué)生可以借此直觀看到圓n等分時(shí)分?jǐn)?shù)持續(xù)改變的過程。

知識(shí)回顧：在進(jìn)入圓體積的推導(dǎo)之前，教師可以引導(dǎo)學(xué)生回顧圓面積計(jì)算公式的推導(dǎo)過程，促使學(xué)生明確對應(yīng)的知識(shí)點(diǎn)。在推導(dǎo)這個(gè)知識(shí)的過程中，學(xué)生要先分割、然后求近似的和、之后取極限。這是一種推導(dǎo)的思想方式，這種思想方式十分重要，學(xué)生可以在之后的深化學(xué)習(xí)中運(yùn)用這種思想。而在推導(dǎo)體積計(jì)算公式時(shí)，學(xué)生可以在教師的主導(dǎo)下，切實(shí)體驗(yàn)這個(gè)過程。

探究球的體積：在類比表面積推導(dǎo)過程時(shí)，教師要將球的表面分成n 個(gè)網(wǎng)格，球體要被分割成n 個(gè)小錐體。隨著n 的值的變大，這些以小球面為底、球心為定點(diǎn)的小錐體的底面會(huì)變得越來越平整。這種錐體和棱錐相似，高和球的半徑R 近似。此后，教師可以運(yùn)用GeoGebra 軟件把類似于棱錐的小錐體進(jìn)行移動(dòng)，然后結(jié)合板書，將公式的推導(dǎo)過程展現(xiàn)出來。

學(xué)生能夠在教師的引導(dǎo)下，明確求體積的運(yùn)算就是計(jì)算這n個(gè)小錐體的體積之和，而n 個(gè)小錐體的底面積之和可以被看作球的表面積，所以，就能夠得出球的體積計(jì)算公式。

在這個(gè)推導(dǎo)過程中，教師帶領(lǐng)學(xué)生，用極限的思想方法，對球的體積計(jì)算公式進(jìn)行推導(dǎo)。GeoGebra軟件能夠基于學(xué)生的感受，進(jìn)行圖形層面的細(xì)化分割，通過學(xué)生直觀想象、空間想象能力及素養(yǎng)的提升，降低學(xué)生的認(rèn)知負(fù)擔(dān)，讓細(xì)化的過程轉(zhuǎn)變?yōu)楣降耐茖?dǎo)過程。

（二）對網(wǎng)絡(luò)資源的合理利用

在當(dāng)前這個(gè)階段，國內(nèi)各個(gè)高中對GeoGebra 軟件的使用率比較低。但在網(wǎng)絡(luò)上依舊擁有很多的課件信息資源。教師能夠通過搜尋收集到教材內(nèi)容的數(shù)字化資源，以及軟件的免費(fèi)網(wǎng)絡(luò)資源。教師可以對其進(jìn)行利用，然后進(jìn)行高效化的、輔助性的數(shù)學(xué)教育。但在運(yùn)用的過程中，需要集中自己的意識(shí)認(rèn)知到自己要合理利用這些網(wǎng)絡(luò)資源，通過合作式開展彌補(bǔ)自身的缺點(diǎn)，發(fā)揮相應(yīng)的優(yōu)勢。除了課件資源，平臺(tái)網(wǎng)站上還有很多供給教師學(xué)習(xí)運(yùn)用GeoGebra 軟件的資源內(nèi)容，教師能夠通過網(wǎng)絡(luò)平臺(tái)的學(xué)習(xí)，提高自身的軟件應(yīng)用能力，為學(xué)生呈現(xiàn)更好的視覺效果，讓其由抽象變得更為具象。

（三）結(jié)合例題進(jìn)行變式訓(xùn)練

高中數(shù)學(xué)教師在結(jié)合GeoGebra 軟件輔助立體幾何教學(xué)時(shí)，不僅要凸顯學(xué)生的主體地位，還要關(guān)注學(xué)生的認(rèn)知負(fù)擔(dān)。通過信息元素的篩選，構(gòu)建連接學(xué)生認(rèn)知過程的教學(xué)體系。除此之外，教師還可以結(jié)合例題進(jìn)行變式訓(xùn)練，促使學(xué)生能夠舉一反三地解析立體幾何問題。

以人教版教材高一數(shù)學(xué)必修第二冊第八章第四節(jié)“空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系”為例。教師在講述柱體、錐體、臺(tái)體三者的體積計(jì)算公式時(shí)，可以依托學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，進(jìn)行GeoGebra 課件的設(shè)計(jì)，促使學(xué)生結(jié)合動(dòng)態(tài)化的關(guān)系轉(zhuǎn)變，探索出對應(yīng)的答案內(nèi)容。而在講述位置關(guān)系時(shí)，教師需要結(jié)合例題進(jìn)行變式訓(xùn)練。例題：如果a、b 是異面直線，直線c∥a，那么b 和c 的位置關(guān)系是？例題的變式：已知三條直線a、b、c 滿足a 和c 平行，a 和b 異面，那么b 和c不可能？學(xué)生能夠通過例題的訓(xùn)練過程，提高自身的直觀想象能力和數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

五、結(jié)束語

綜上所述，在立體幾何的教學(xué)過程中，特別是在動(dòng)點(diǎn)、動(dòng)直線問題的教學(xué)過程中，高中數(shù)學(xué)教師如果對GeoGebra 的現(xiàn)代信息技術(shù)進(jìn)行運(yùn)用，不僅能夠讓學(xué)生基于猜想的演示，強(qiáng)化自身的感性認(rèn)知，而且能夠?qū)W(xué)生進(jìn)行引導(dǎo)，使學(xué)生基于數(shù)學(xué)邏輯，踐行推理過程，進(jìn)行知識(shí)論證，讓抽象化的問題變得具象化。借助本文的探索和研究，學(xué)生能夠在高中數(shù)學(xué)教師的引導(dǎo)下，了解幾何問題之間的共性，如橢圓和雙曲線之間就存在一定的類似性規(guī)律，當(dāng)學(xué)生在解析曲線幾何中獲得了一個(gè)規(guī)律后，一般情況下，就能夠?qū)ζ溥M(jìn)行推廣，獲得更為普遍、更為廣泛的規(guī)律。所以在解析立體幾何問題的過程中，教師應(yīng)該重視題型的多樣，以及同等題目的探究和拓展，促使學(xué)生基于典型的例題進(jìn)行深層的探索和研究，發(fā)掘其中的內(nèi)涵，促使學(xué)生在探索和研究的過程中，獲取解答題目的成就感，深化學(xué)生數(shù)學(xué)思維的同時(shí)，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)綜合素養(yǎng)。