“一流本科課程”背景下線性代數(shù)案例啟發(fā)教學(xué)的探索

趙東紅， 魏海瑞， 劉 宇

(北京科技大學(xué)數(shù)理學(xué)院，北京100083)

1 引 言

2019年4月，教育部啟動(dòng)“雙萬(wàn)計(jì)劃”.2019年10月31日，教育部印發(fā)《關(guān)于一流本科課程建設(shè)的實(shí)施意見(jiàn)》[1]，在這樣的大背景下，淘汰“水課”，獎(jiǎng)勵(lì)“金課”，把最好的資源給本科生，從根本上提高本科育人質(zhì)量.正如教育部高等教育司司長(zhǎng)吳巖表示，要全面振興本科教育，推進(jìn)質(zhì)量革命.

線性代數(shù)作為重要基礎(chǔ)課程之一，在教學(xué)中面臨著諸多問(wèn)題.一方面，學(xué)生經(jīng)常反映課程內(nèi)容枯燥、概念抽象、計(jì)算繁瑣，低年級(jí)學(xué)生尚未完全擺脫應(yīng)試教育影響，獨(dú)立思考能力相對(duì)薄弱，對(duì)概念和定義的理解能力欠缺，直接導(dǎo)致學(xué)生不能系統(tǒng)理解和掌握課程知識(shí)；另一方面，線性代數(shù)在自然科學(xué)和社會(huì)科學(xué)的眾多領(lǐng)域中有廣泛的應(yīng)用，歷史文化內(nèi)涵是極其豐富的，但國(guó)內(nèi)許多教材中過(guò)分注重?cái)?shù)學(xué)本身的邏輯結(jié)果，教學(xué)內(nèi)容更偏重于理論學(xué)習(xí)，忽視了其應(yīng)用價(jià)值和未來(lái)的發(fā)展趨勢(shì)，導(dǎo)致許多學(xué)生不了解線性代數(shù)的真實(shí)用途，對(duì)線性代數(shù)的學(xué)習(xí)興趣日趨下降，從而導(dǎo)致學(xué)生在學(xué)習(xí)時(shí)，只是單純地為了應(yīng)試，為了拿到課程學(xué)分，而沒(méi)有從根本上激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，學(xué)習(xí)源動(dòng)力不足，學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)不端正，學(xué)習(xí)后勁不足，不能將線性代數(shù)應(yīng)用到自己的研究方向和課題方面.“激發(fā)學(xué)習(xí)者的好奇與興趣，培養(yǎng)學(xué)習(xí)者的直覺(jué)與洞察力，這是創(chuàng)新人才除了知識(shí)的積累和分析解決問(wèn)題能力以外的重要素質(zhì)”是朱清時(shí)院士關(guān)于創(chuàng)新人才培養(yǎng)的一段論述.為了激發(fā)數(shù)學(xué)方面的好奇心與興趣，融入應(yīng)用案例到抽象的知識(shí)點(diǎn)是重要手段，能使許多抽象的數(shù)學(xué)概念更具有實(shí)際意義.

文獻(xiàn)[2]將線性代數(shù)與應(yīng)用案例相結(jié)合是必要的和緊迫的；文獻(xiàn)[3]引導(dǎo)學(xué)生一步步建立數(shù)學(xué)模型描述和解決實(shí)際問(wèn)題，在解決問(wèn)題的過(guò)程中引出概念和方法；文獻(xiàn)[4]探討了工科公共計(jì)算機(jī)實(shí)驗(yàn)課程的線上教學(xué)和應(yīng)用方案；文獻(xiàn)[5]就如何構(gòu)建全方位、立體式研究型教學(xué)進(jìn)行分析，在教學(xué)設(shè)計(jì)方面談了幾點(diǎn)看法；文獻(xiàn)[6]以應(yīng)用案例庫(kù)建設(shè)進(jìn)行示范，突出線性代數(shù)的思維和方法在信息大類學(xué)科中的應(yīng)用，以培養(yǎng)和提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維.但是，以上線性代數(shù)應(yīng)用案例實(shí)現(xiàn)過(guò)程更偏重于教材基本知識(shí)點(diǎn)，主要是挖掘現(xiàn)有的應(yīng)用案例，比如人口遷移問(wèn)題、遞推問(wèn)題、圖像加密、密碼破譯等.具體來(lái)說(shuō)，線性代數(shù)很多章節(jié)中都可以引入實(shí)際案例，以完成案例為主線實(shí)現(xiàn)教學(xué)內(nèi)容的傳授.在講線性方程組時(shí)，引入交通流量計(jì)算模型、化學(xué)方程式配平問(wèn)題、電路網(wǎng)節(jié)點(diǎn)處電流模型[7]等，當(dāng)然對(duì)于不同專業(yè)的學(xué)生，可以有側(cè)重點(diǎn)的選擇與其專業(yè)有關(guān)的案例模型，管理專業(yè)的學(xué)生以生產(chǎn)總值問(wèn)題和工資分配問(wèn)題[8]作為講解案例；講向量組線性相關(guān)性，藥方配制問(wèn)題作為實(shí)際案例完成教學(xué)內(nèi)容，可以降低線性相關(guān)和極大無(wú)關(guān)組的抽象性；講相似矩陣及矩陣對(duì)角化，可以引入人口流動(dòng)的穩(wěn)定狀態(tài)問(wèn)題，讓學(xué)生體會(huì)相似矩陣的神奇妙用.

在教育部號(hào)召“一流本科課程”建設(shè)的指導(dǎo)意見(jiàn)下，線性代數(shù)教學(xué)團(tuán)隊(duì)認(rèn)真學(xué)習(xí)了《關(guān)于一流本科課程建設(shè)的實(shí)施意見(jiàn)》，指出一流本科課程建設(shè)的總體要求、總體目標(biāo)和建設(shè)原則.具體來(lái)說(shuō)，“優(yōu)化重構(gòu)教學(xué)內(nèi)容與課程體系，破除課程千校一面”“杜絕單純知識(shí)傳遞、忽視能力素質(zhì)培養(yǎng)的現(xiàn)象，強(qiáng)化現(xiàn)代信息技術(shù)與教育教學(xué)深度融合”[1].本文體現(xiàn)的教學(xué)改革正是讓學(xué)生忙起來(lái)，以激發(fā)學(xué)習(xí)動(dòng)力和專業(yè)志趣為著力點(diǎn)，加強(qiáng)計(jì)算機(jī)信息技術(shù)與課程知識(shí)點(diǎn)的融合，提升課程學(xué)習(xí)的廣度和學(xué)習(xí)深度.所以本文案例的學(xué)習(xí)需要學(xué)生增加閱讀量和和探究式學(xué)習(xí)過(guò)程.所涉及知識(shí)點(diǎn)充分體現(xiàn)一流本科課程建設(shè)的總體目標(biāo)和基本原則，特別是提高高階性思維，突破習(xí)慣性認(rèn)知模式，培養(yǎng)學(xué)生深度分析、大膽質(zhì)疑、勇于創(chuàng)新的精神和能力.基于此，本文深度挖掘了最小生成樹(shù)求解、集合劃分、動(dòng)力系統(tǒng)等案例，融合了更有深度的知識(shí)點(diǎn)，增加了挑戰(zhàn)度，提高學(xué)生解決復(fù)雜問(wèn)題的綜合能力.

教學(xué)團(tuán)隊(duì)針對(duì)自動(dòng)化、計(jì)算機(jī)等專業(yè)的學(xué)生，重新進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)，挖掘適合此類專業(yè)學(xué)生的應(yīng)用案例，豐富擴(kuò)充原有的教學(xué)內(nèi)容，研發(fā)可以提高學(xué)生應(yīng)用能力，創(chuàng)新能力的教案，開(kāi)展翻轉(zhuǎn)課堂，大大增加了課程內(nèi)容前沿性和應(yīng)用性，培養(yǎng)了學(xué)生獨(dú)立思考能力與學(xué)以致用能力.

本文最后設(shè)計(jì)了科學(xué)的調(diào)查問(wèn)卷，通過(guò)分析數(shù)據(jù)，可以看到在教務(wù)評(píng)價(jià)系統(tǒng)中，同學(xué)們對(duì)應(yīng)用案例融于教學(xué)內(nèi)容的反饋取得了令人滿意的成效.初步實(shí)現(xiàn)了適合計(jì)算機(jī)等專業(yè)的線性代數(shù)課程內(nèi)容重整，教學(xué)設(shè)計(jì)更新，全面提升教學(xué)效果和學(xué)生素質(zhì).由于篇幅限制，本文僅以矩陣乘法、矩陣冪運(yùn)算、行列式為知識(shí)點(diǎn)，拓展應(yīng)用案例，激發(fā)學(xué)生興趣，學(xué)生了解線性代數(shù)的應(yīng)用價(jià)值、未來(lái)的發(fā)展趨勢(shì)和真實(shí)用途.

2 主要內(nèi)容

2.1 矩陣高次冪運(yùn)算應(yīng)用到遞推公式求解問(wèn)題

矩陣高次冪運(yùn)算在諸多領(lǐng)域，如數(shù)值計(jì)算、計(jì)算機(jī)圖形學(xué)、機(jī)器學(xué)習(xí)以及人工智能等扮演了重要的角色.利用求矩陣高次冪運(yùn)算求解遞推問(wèn)題是常見(jiàn)的方法，但計(jì)算瓶頸在于矩陣乘法，因此給同學(xué)們嘗試優(yōu)化計(jì)算機(jī)中矩陣高次冪算法.

例1斐波那契數(shù)列：分析了遞推算式中矩陣高次冪的計(jì)算方法，此算法可以應(yīng)用到所有需要矩陣高次冪計(jì)算的方面.

根據(jù)矩陣乘法的定義將斐波那契數(shù)列遞推式表示為

遞推可得

同理，遞推表達(dá)式采取類似的方式，F(xiàn)n=aFn-1+bFn-2+cFn-3+dFn-4，化為

觀察可知，需要求解遞推矩陣n次冪.那么，如何求解矩陣n次冪呢?

對(duì)于計(jì)算機(jī)而言，λn的計(jì)算仍然十分耗時(shí)，而且矩陣對(duì)角化對(duì)于計(jì)算機(jī)需要相當(dāng)大的計(jì)算量.此時(shí)需要一種能夠快速計(jì)算矩陣高次冪的方法.在這個(gè)問(wèn)題上，為學(xué)生拓展了三種計(jì)算矩陣高次冪的優(yōu)化算法，對(duì)比數(shù)值實(shí)驗(yàn)結(jié)果.

第一種：平凡算法

第二種：快速冪優(yōu)化

通過(guò)課堂上介紹的基本計(jì)算方法，可以分析出有兩個(gè)部分進(jìn)行優(yōu)化，分別是矩陣乘法計(jì)算和矩陣冪運(yùn)算.對(duì)于一個(gè)矩陣的高次冪An，分類如下：

第三種：基本內(nèi)存再優(yōu)化

由于計(jì)算機(jī)的內(nèi)存是由連續(xù)的物理單元組成的，二維數(shù)組則是在邏輯上的二維，實(shí)際上還是在一條一維的內(nèi)存.所以，在進(jìn)行更換行號(hào)時(shí)，計(jì)算機(jī)需要額外的時(shí)間來(lái)計(jì)算下一行在什么位置，這消耗了許多時(shí)間，如果調(diào)整循環(huán)次序，使得計(jì)算時(shí)可以連續(xù)讀取內(nèi)存，則可以實(shí)現(xiàn)矩陣乘法的加速.課堂上引導(dǎo)同學(xué)們利用計(jì)算機(jī)編程實(shí)現(xiàn)三種算法的對(duì)比.

實(shí)驗(yàn)得出，規(guī)模較大時(shí)，計(jì)算矩陣高次冪采用上述快速冪算法可以大幅提高效率，利用計(jì)算機(jī)內(nèi)存性質(zhì)進(jìn)一步小幅度優(yōu)化.根據(jù)以往的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，對(duì)于矩陣冪運(yùn)算，同學(xué)們感到計(jì)算過(guò)程過(guò)于繁瑣，部分同學(xué)學(xué)習(xí)興趣有所下降.此案例的引入，讓同學(xué)們理解，掌握了基本知識(shí)點(diǎn)后，可以不需要?jiǎng)邮钟?jì)算，引導(dǎo)和鼓勵(lì)同學(xué)們利用計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)算法，增強(qiáng)科學(xué)計(jì)算本領(lǐng)，有效地將線性代數(shù)知識(shí)點(diǎn)與強(qiáng)大的計(jì)算機(jī)相結(jié)合，提高計(jì)算效率，增強(qiáng)同學(xué)們對(duì)線性代數(shù)的學(xué)習(xí)興趣.

2.2 行列式應(yīng)用到圖論最小生成樹(shù)求解問(wèn)題

本文研究對(duì)象是計(jì)算機(jī)和自動(dòng)化兩個(gè)專業(yè)學(xué)生，根據(jù)調(diào)研情況，授課學(xué)生專業(yè)課程需要學(xué)習(xí)程序設(shè)計(jì)與數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，而且專業(yè)課程需要學(xué)習(xí)最小生成樹(shù)和掌握最小生成樹(shù)的應(yīng)用.基于此，線性代數(shù)課程改革里面增加了矩陣在最小生成樹(shù)方面的應(yīng)用.大作業(yè)布置一個(gè)類似的題目讓學(xué)生自己課下解決，例如利用最小生成樹(shù)求解通信線路總代價(jià)最小的最佳方案.對(duì)于一些感覺(jué) “吃不飽”的同學(xué)，可以布置如何用最少的電線給一所房子安裝電路.讓學(xué)生使用拓展的知識(shí)點(diǎn)和MATLAB知識(shí)解決，提高學(xué)生自學(xué)能力和應(yīng)用能力，體會(huì)在計(jì)算機(jī)上解決問(wèn)題的準(zhǔn)確與簡(jiǎn)潔.在解決問(wèn)題的過(guò)程中，加深理解抽象數(shù)學(xué)概念，實(shí)現(xiàn)“一流本科課程”的指導(dǎo)意見(jiàn)——拓展學(xué)習(xí)深度和廣度.

例2生成樹(shù)的數(shù)量問(wèn)題：連通圖的生成樹(shù)是它的極小連通生成子圖，求解圖的生成樹(shù)，是圖論中一個(gè)重要的問(wèn)題.而圖的最小生成樹(shù)可能有多個(gè)，使數(shù)目與圖的線性性質(zhì)緊密相關(guān).給定圖G，求G的生成樹(shù)數(shù)量.

第一步：提取生成樹(shù)問(wèn)題中的特征，根據(jù)節(jié)點(diǎn)與節(jié)點(diǎn)間的連通關(guān)系定義矩陣

第二步：寫出M，以Mt表示圖的子樹(shù)，Mt是M去掉最后一行再抽出m-n+1列形成的矩陣；

第三步：計(jì)算行列式detMt；

若detMt=0，Mt未形成樹(shù)；若detMt=±1，Mt形成樹(shù)；

進(jìn)行數(shù)值實(shí)驗(yàn)，枚舉G的所有子樹(shù)，統(tǒng)計(jì)生成樹(shù)的個(gè)數(shù)，首先輸入兩個(gè)正整數(shù)m，n表示節(jié)點(diǎn)數(shù)和邊數(shù)，每行兩個(gè)正整數(shù)ui，vi表示第i條邊的起點(diǎn)與終點(diǎn)，最后輸出一個(gè)自然數(shù)，即圖G生成樹(shù)的個(gè)數(shù).

圖1 矩陣高次冪優(yōu)化算法耗時(shí)對(duì)比

圖2 生成矩陣M 圖3 G的生成樹(shù)的個(gè)數(shù)

通過(guò)將圖進(jìn)行矩陣化，可以處理大量的連通關(guān)系，這一處理過(guò)程是將圖進(jìn)行抽象化，抽象和直觀是互相輔助，利用抽象矩陣表達(dá)直觀的圖，更加讓學(xué)生看到線性代數(shù)的應(yīng)用價(jià)值，特別是對(duì)以上兩個(gè)專業(yè)的同學(xué)，相當(dāng)于一個(gè)課堂實(shí)踐過(guò)程，能與數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)和程序設(shè)計(jì)中知識(shí)點(diǎn)相結(jié)合引出此案例，既提高了學(xué)生專業(yè)素養(yǎng)，又提高了學(xué)生對(duì)線性代數(shù)的學(xué)習(xí)興趣，增強(qiáng)了學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)源動(dòng)力.

2.3 矩陣乘法和布爾型矩陣在確定集合的等價(jià)關(guān)系上的應(yīng)用

在計(jì)算機(jī)領(lǐng)域，集合劃分問(wèn)題一直是一個(gè)非常重要的問(wèn)題.以百度、谷歌搜索引擎為例，當(dāng)今世界信息量與日俱增，每分鐘可能都有上百萬(wàn)的信息要存入這些搜索引擎，那么如何對(duì)這些信息進(jìn)行分類就成了一個(gè)至關(guān)重要的問(wèn)題.在“一流本科課程”建設(shè)的指導(dǎo)意見(jiàn)下，課程內(nèi)容強(qiáng)調(diào)廣度和深度，需要增加學(xué)生閱讀和探究式的學(xué)習(xí)過(guò)程，拓展矩陣類型——布爾型方陣，即元素只有0或1的方陣(又稱位矩陣).

分析如何運(yùn)用矩陣的相關(guān)知識(shí)對(duì)集合進(jìn)行劃分.

例3同鄉(xiāng)關(guān)系問(wèn)題：有6個(gè)人，1說(shuō)3是他同鄉(xiāng)，2說(shuō)5和6是他同鄉(xiāng)，4說(shuō)6是他同鄉(xiāng)，以同鄉(xiāng)關(guān)系這個(gè)性質(zhì)確立等價(jià)關(guān)系，求出這6人的等價(jià)關(guān)系矩陣.

第一步：在理解布爾型矩陣定義基礎(chǔ)上，引導(dǎo)同學(xué)們使用布爾型方陣A描述這六個(gè)人的關(guān)系；

若A(i,j)=1，則代表第i個(gè)人是第j個(gè)人的同鄉(xiāng)，A(j,i)=1，代表第j個(gè)人是第i個(gè)人的同鄉(xiāng)，若A(i,j)=1，A(j,i)=0，則代表i是j的同鄉(xiāng)，j不是i的同鄉(xiāng).

第二步：對(duì)方陣A求完對(duì)稱閉包，自反閉包，傳遞閉包后所得矩陣即為等價(jià)關(guān)系矩陣；

第三步：利用計(jì)算機(jī)功能將以上過(guò)程進(jìn)行數(shù)值實(shí)驗(yàn)；

圖4 布爾型方陣圖 圖5 對(duì)稱閉包

圖6 自反閉包 圖7 傳遞閉包

圖8 等價(jià)關(guān)系矩陣

有了布爾型矩陣定義的介紹，結(jié)合已學(xué)習(xí)的等價(jià)關(guān)系，很自然地引出了等價(jià)關(guān)系矩陣定義.如果矩陣同時(shí)滿足三個(gè)條件：

(i) 矩陣是一個(gè)布爾型矩陣；

(ii) 矩陣確定了給定集合U到U的關(guān)系R；

(iii) 矩陣是對(duì)稱矩陣，其中關(guān)系R具有對(duì)稱性、反身性、傳遞性，即R是一個(gè)等價(jià)關(guān)系，則矩陣為等價(jià)關(guān)系矩陣.此例中，所反映的同鄉(xiāng)關(guān)系為一個(gè)等價(jià)關(guān)系矩陣.最終的等價(jià)關(guān)系矩陣中所有值1的元素所在行和列對(duì)應(yīng)的人均為同鄉(xiāng)關(guān)系.

在線性代數(shù)課程教學(xué)中，以“一個(gè)例子比十個(gè)定理有效(牛頓)”這句數(shù)學(xué)名言為主旨，在授課過(guò)程中，有意識(shí)地去印證這個(gè)名言.實(shí)踐表明：雖然只是線性代數(shù)的一個(gè)知識(shí)點(diǎn)，但卻可以解決抽象的數(shù)學(xué)問(wèn)題， 使得學(xué)生加深理解矩陣的應(yīng)用價(jià)值，課堂更加生動(dòng)、形象，加強(qiáng)了師生間相互交流，充分體現(xiàn)了線性代數(shù)是解決實(shí)際問(wèn)題的一個(gè)強(qiáng)大數(shù)學(xué)工具，有效地培養(yǎng)了高階數(shù)學(xué)思維.

2.4 矩陣與向量乘法在線性動(dòng)力系統(tǒng)上的應(yīng)用

2020年新冠疫情肆虐，如果能對(duì)未來(lái)疫情趨勢(shì)進(jìn)行預(yù)測(cè)，那么將能夠通過(guò)預(yù)測(cè)結(jié)果使人們提高警惕，或緩解緊張情緒，于是更有效率的抵御病毒侵襲.

例4流行病動(dòng)力學(xué)案例：5%易感者會(huì)感染疾病，1%已感者會(huì)由于疾病身故，10%易感者會(huì)康復(fù)并產(chǎn)生免疫，4%已感者會(huì)康復(fù)，但沒(méi)有免疫(他們?cè)俅纬蔀橐赘姓?，剩余85%易感者將仍然是已感者.提出兩個(gè)小問(wèn)題：

(i) 試用矩陣運(yùn)算，描述四個(gè)不同人群比例流動(dòng)關(guān)系；

(ii) 通過(guò)計(jì)算機(jī)進(jìn)行數(shù)值模擬，反應(yīng)四個(gè)不同人群比例發(fā)展趨勢(shì).

首先需確定(xt+1)1，即下一天易感者的數(shù)量.這些人包括今天的易感者數(shù)量中沒(méi)有被感染0.95(xt)1，與今天的已感者中康復(fù)了但沒(méi)有產(chǎn)生免疫的人，即0.04(xt)2.它們的和是

(xt+1)1=0.95(xt)1+0.04(xt)2， (xt+1)2=0.85(xt)2+0.05(xt)1，

(xt+1)3=(xt)3+0.10(xt)2， (xt+1)4=(xt)4+0.01(xt)2，

矩陣表示

其中x為向量，A為動(dòng)力學(xué)矩陣，計(jì)算短期內(nèi)的下一個(gè)狀態(tài)，是一種瞬態(tài)分析算法.線性動(dòng)力系統(tǒng)是一種簡(jiǎn)化的認(rèn)為下一狀態(tài)滿足上一狀態(tài)的線性函數(shù).

通過(guò)數(shù)值模擬，運(yùn)用矩陣乘法計(jì)算每一個(gè)值下四個(gè)人群狀態(tài)比例，函數(shù)圖像表示：

圖9 四種人群狀態(tài)比例

推廣在更新方程中可以附加一些新的項(xiàng)

xt+1=Atxt+Btut+Ct，t=1，2…

假設(shè)人口的每個(gè)年齡段的人作為變量，則在記錄人口狀態(tài)的向量組B中，Bt可以穩(wěn)定地向Bt+1轉(zhuǎn)化，Bt擁有一定的死亡率.而處于特定年齡段的人口，則有穩(wěn)定的生育率，可推算出B1的下一狀態(tài).將上例留給同學(xué)作為大作業(yè)，有助于學(xué)生自主學(xué)習(xí)，培養(yǎng)分析問(wèn)題和解決問(wèn)題能力.

當(dāng)前各學(xué)科之間相互交叉、相互滲透，是現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)發(fā)展的趨勢(shì)，不同學(xué)科之間的界限日益突破傳統(tǒng)的認(rèn)知[9].可以看出，雖然這是數(shù)學(xué)應(yīng)用到生物學(xué)的一個(gè)簡(jiǎn)單例子，但是對(duì)低年級(jí)的學(xué)生而言，此案例又與當(dāng)下的實(shí)際背景息息相關(guān)，同學(xué)們?cè)跇?gòu)造模型和理解模型時(shí)，充分體會(huì)矩陣乘法運(yùn)算意義，矩陣作為計(jì)算工具的有效性和簡(jiǎn)潔性.構(gòu)造了動(dòng)力系統(tǒng)這種流動(dòng)關(guān)系，拓展了數(shù)學(xué)視野和培養(yǎng)了高階數(shù)學(xué)思維，激發(fā)了學(xué)數(shù)學(xué)和用數(shù)學(xué)的熱情.

3 教學(xué)效果與評(píng)價(jià)

3.1 教學(xué)效果

為了檢驗(yàn)教學(xué)效果，針對(duì)自動(dòng)化和計(jì)算機(jī)兩個(gè)專業(yè)同學(xué)，進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查，設(shè)計(jì)了三個(gè)評(píng)價(jià)指標(biāo)，分別為引導(dǎo)作用、培養(yǎng)創(chuàng)新能力、提高學(xué)習(xí)興趣，評(píng)價(jià)等級(jí)為非常有效、一般有效、無(wú)效三個(gè)層次.兩個(gè)專業(yè)人數(shù)分別為149人和180人，其中140人和170人自愿參加了調(diào)查問(wèn)卷，調(diào)查結(jié)果如圖10所示.

圖10 調(diào)查數(shù)據(jù)餅圖

實(shí)踐表明，絕大多數(shù)同學(xué)對(duì)案例啟發(fā)教學(xué)是肯定的.在案例教學(xué)中，同學(xué)們拿到案例后，先要進(jìn)行消化，而且是主動(dòng)進(jìn)行的.捕捉這些理論知識(shí)后，還要進(jìn)行深入思考，提出解決問(wèn)題方案.教師給予引導(dǎo)，這個(gè)過(guò)程是雙向的，促使教師加深思考，根據(jù)不同學(xué)生的不同理解補(bǔ)充新的教學(xué)內(nèi)容，大大地提高了學(xué)生創(chuàng)新能力，培養(yǎng)了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣.同時(shí)也說(shuō)明了將案例融于數(shù)學(xué)類課程內(nèi)容，值得研究和探索，將在今后的教學(xué)中繼續(xù)應(yīng)用與改進(jìn).

3.2 教學(xué)評(píng)價(jià)

為了反映案例啟發(fā)教學(xué)在課程建設(shè)過(guò)程中的作用，針對(duì)自動(dòng)化和計(jì)算機(jī)專業(yè)同學(xué)的評(píng)教體系進(jìn)行改變.評(píng)價(jià)指標(biāo)見(jiàn)表1.

表1 教學(xué)評(píng)價(jià)指標(biāo)數(shù)據(jù)

注 線性代數(shù)課程樣本總數(shù)310

從表1中可以看出，將案例融入到課程教學(xué)中，提高了學(xué)生主動(dòng)學(xué)習(xí)和思考能力，學(xué)生對(duì)教師各方面評(píng)分較高，特別對(duì)案例啟發(fā)式教學(xué)有效性評(píng)價(jià)較高.下面對(duì)表1中第2題和第3題進(jìn)行詳細(xì)分析.

從圖11和圖12中可以看到，融入案例的線性代數(shù)課程受到了學(xué)生認(rèn)可和喜愛(ài)，但也看出個(gè)別同學(xué)覺(jué)得加入案例內(nèi)容與課程融合度比較弱，說(shuō)明后面要繼續(xù)努力挖掘應(yīng)用案例，實(shí)現(xiàn)傳授知識(shí)與應(yīng)用案例融合無(wú)縫對(duì)接，實(shí)現(xiàn)更佳的育人效果.

圖11 圖12

4 結(jié) 論

在線性代數(shù)案例啟發(fā)式教學(xué)過(guò)程中，貫徹了教育部號(hào)召的“一流本科課程”建設(shè)目標(biāo).給學(xué)生案例后，同學(xué)先要進(jìn)行消化，然后查閱必要的理論知識(shí)，無(wú)形中加深了理解，主動(dòng)理解這些理論知識(shí)后，同學(xué)們經(jīng)過(guò)縝密地思考，提出解決問(wèn)題方案，這一步應(yīng)視為能力上的升華.教師隨時(shí)給予指導(dǎo)，促使教師加深思考，這種教學(xué)形式對(duì)教師提出了更高要求，是一個(gè)教學(xué)相長(zhǎng)過(guò)程.實(shí)踐表明，這一教學(xué)改革不僅解決了學(xué)與用之間的壁壘，而且增強(qiáng)了學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)了學(xué)生高階思維，提高了學(xué)生計(jì)算機(jī)應(yīng)用能力，全面提升了分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力.

致謝非常感謝審稿專家對(duì)本文提出的寶貴意見(jiàn)，這些意見(jiàn)對(duì)本文的修改和完善起了很大的幫助作用，作者受益匪淺，在此表示衷心的感謝.