矩陣弱相似的一個(gè)充要條件

趙紫晶， 張 楠， 陳惠香

(揚(yáng)州大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，江蘇揚(yáng)州225002)

1 引 言

矩陣弱相似的定義最早出現(xiàn)在文獻(xiàn)[1]中，設(shè)k是一個(gè)域，A，B∈Mn(k)是域k上的n×n-矩陣，若存在n×n-可逆矩陣C∈GLn(k)及非零純量0≠α∈k，使得CAC-1=αB，則稱A與B弱相似.顯然，相似的矩陣是弱相似的，并且弱相似是矩陣之間的一個(gè)等價(jià)關(guān)系.矩陣弱相似的概念應(yīng)用很廣泛，例如在研究矩陣代數(shù)的群作用和Hopf代數(shù)作用時(shí)，人們會(huì)用弱相似給出作用的等價(jià)分類. 文獻(xiàn)[2]研究M3(k)的kS3-模代數(shù)結(jié)構(gòu)時(shí)，利用矩陣弱相似給出了分類. 文獻(xiàn)[3]研究李代數(shù)的包絡(luò)代數(shù)的廣義Hopf-Ore擴(kuò)張時(shí)，利用矩陣弱相似給出了同構(gòu)分類[4]. 有關(guān)Hopf代數(shù)及其作用理論的基本概念可參閱參考文獻(xiàn)[5-6]. 上述參考文獻(xiàn)都是基于矩陣弱相似的前提下進(jìn)行相關(guān)研究，但是關(guān)于弱相似內(nèi)在刻畫的研究在文獻(xiàn)中尚未提到. 在本文將討論這一問題，研究矩陣的弱相似關(guān)系，嘗試給出矩陣弱相似的等價(jià)條件.

2 預(yù)備知識

由若爾當(dāng)塊組成的準(zhǔn)對角矩陣

稱為若爾當(dāng)形矩陣.以下結(jié)論是已知的，見文獻(xiàn)[7].

引理1每個(gè)n階復(fù)數(shù)方陣A都與一個(gè)若爾當(dāng)形矩陣相似，這個(gè)若爾當(dāng)形矩陣除去其中若爾當(dāng)塊的排列次序外是被矩陣A唯一決定的，稱為A的若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形.

3 矩陣弱相似

引理2設(shè)n是正整數(shù)，λ0，α∈且α≠0，則αJ(λ0，n)與J(αλ0，n)有相同的初等因子組，從而它們相似.

證直接計(jì)算可知，αJ(λ0，n)的初等因子組為(λ-αλ0)n，所以αJ(λ0，n)與J(αλ0，n)有相同的初等因子組，從而它們相似.

命題1設(shè)A是n階方陣，0≠α∈.若矩陣A的全體互異特征值為λ1，λ2，…，λs，對應(yīng)代數(shù)重?cái)?shù)分別為k1，k2，…，ks，則矩陣αA的全體互異特征值為αλ1，αλ2，…，αλs，對應(yīng)代數(shù)重?cái)?shù)分別為k1，k2，…，ks.

證由假設(shè)條件知，k1+k2+…+ks=n，且A的特征多項(xiàng)式為

|λI-A|=(λ-λ1)k1(λ-λ2)k2…(λ-λs)ks.

因此αA的特征多項(xiàng)式為

|λI-αA|=|α(α-1λI-A)|=αn(α-1λ-λ1)k1(α-1λ-λ2)k2…(α-1λ-λs)ks

=(λ-αλ1)k1(λ-αλ2)k2…(λ-αλs)ks.

所以αA的全體互異特征值為αλ1，αλ2，…，αλs，對應(yīng)重?cái)?shù)分別為k1，k2，…，ks.

定理1設(shè)兩個(gè)n階方陣A，B的初等因子組分別是(λ-λ1)k1，(λ-λ2)k2，…，(λ-λs)ks和(λ-η1)l1，(λ-η2)l2，…，(λ-ηt)lt， 則A與B弱相似的充分必要條件是s=t，且存在一個(gè)非零復(fù)數(shù)α以及1，2，…，s的一個(gè)置換σ，使得(λ-λσ(i))kσ(i)=(λ-αηi)li，即λσ(i)=αηi，kσ(i)=li，1≤i≤s.

證必要性.設(shè)A，B弱相似，則存在非零純量α∈使得A與αB相似，因此A與αB有相同的初等因子組.由于B的初等因子組為(λ-η1)l1，(λ-η2)l2，…，(λ-ηt)lt，所以B的若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形為

因此αB與αJB相似.由此得A與αJB相似，從而A與αJB有相同的初等因子組.由引理2知，αJB的若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形為

因此αJB的初等因子組為(λ-αη1)l1，(λ-αη2)l2，…，(λ-αηt)lt.這樣由假設(shè)條件知s=t，且存在1，2，…，s的一個(gè)置換σ使得

(λ-λσ(i))kσ(i)=(λ-αηi)li， 1≤i≤s.

充分性.設(shè)s=t，且存在一個(gè)非零復(fù)數(shù)α以及1，2，…，s的一個(gè)置換σ，使得

(λ-λσ(i))kσ(i)=(λ-αηi)li， 1≤i≤s.

由必要性的證明知αB的初等因子組為(λ-αη1)l1，(λ-αη2)l2，…，(λ-αηt)lt，因此A與αB有相同的初等因子組，所以A與αB相似，從而A與B弱相似.

定義1設(shè)A是一個(gè)n階復(fù)方陣，若A的若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形為

則稱序列(λ1，k1)，(λ2，k2)，…，(λs，ks)為矩陣A的特征序列.

由定理1，有如下推論.

4 結(jié) 論

矩陣的弱相似是矩陣相似概念的推廣，起源于分次環(huán)的研究，在群作用和廣義Hopf-Ore擴(kuò)張等理論的研究中有廣泛應(yīng)用，因此矩陣弱相似的內(nèi)在刻畫是有意義的研究課題.本文主要研究復(fù)數(shù)域上矩陣的弱相似關(guān)系，首先從相似矩陣初等因子組之間的關(guān)系出發(fā)，描述了一個(gè)矩陣與其非零純量倍矩陣的特征值及其代數(shù)重?cái)?shù)之間的對應(yīng)關(guān)系，然后利用初等因子組給出了兩個(gè)矩陣弱相似的一個(gè)等價(jià)刻畫，最后引入矩陣的特征序列，并用特征序列刻畫了矩陣的弱相似關(guān)系.

致謝作者非常感謝相關(guān)文獻(xiàn)對本文的啟發(fā)以及審稿專家提出的寶貴意見.