高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)“一題多解”案例詳談

■貴州省鎮(zhèn)寧民族中學(xué) 曾凡彩

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，體驗、思考和表達(dá)在同一個問題的發(fā)生過程中是相互依存、不可分割的。因此，要想加快實現(xiàn)“三教理念”下的高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課堂“一題多解”的問題研究，需要注重對新課標(biāo)下的多元化的核心素質(zhì)需求加以落實，以此實現(xiàn)高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課的案例教學(xué)研究，另外還可以創(chuàng)新教師的教學(xué)理念，最終實現(xiàn)學(xué)生的全面素質(zhì)培養(yǎng)。本文將對高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課中的案例展開具體性的闡述，進(jìn)一步分析基于“三教理念”下，學(xué)生在進(jìn)行高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課“一題多解”過程中，凸顯出數(shù)學(xué)思維的活躍性、實踐活動性、表達(dá)準(zhǔn)確性的特點。如何在高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)上加快實現(xiàn)“三教”理念的落地生根是當(dāng)下教師團(tuán)隊?wèi)?yīng)該思考的問題，需要教師在具體的教學(xué)實踐中深入探討，為最終實現(xiàn)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的提升奠定基礎(chǔ)。

一、“一題多解”的內(nèi)涵及重要性

“一題多解”指在同一道數(shù)學(xué)題的計算基礎(chǔ)上，從多個角度出發(fā)形成解題思路，然后得出問題的答案。在高中教育階段及數(shù)學(xué)課堂的學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生必須具備一定的一題多解能力，然后結(jié)合自身的學(xué)習(xí)實踐，在掌握一題多解內(nèi)涵上突破課堂教育。一題多解的內(nèi)涵是高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課堂實踐中的重要組成部分，能在多種解題思路以及方法解答的運用中對題目進(jìn)行多個層次的分析，結(jié)合關(guān)鍵的研究對象展開多角度的調(diào)查，最終發(fā)現(xiàn)各個角度的切入點與突破點。另外，一題多解在高中數(shù)學(xué)課堂的作用下，能有效拓展學(xué)生和教師的解題思路，并且實現(xiàn)發(fā)散性思維能力與解題水平的提高。除此之外，在一題多解方法的不同角度下，往往會涉及多個層面的數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法，由此看來，一題解在學(xué)生綜合能力掌握及知識運用的方面能發(fā)揮出提升作用。經(jīng)過一題多解的課堂訓(xùn)練后，學(xué)生能在數(shù)學(xué)問題的線索及思路中找到多種簡單的解法，這也是一題多解能力提升的具體表現(xiàn)。

二、高中數(shù)學(xué)解題的常見問題

在高中學(xué)生對數(shù)學(xué)問題進(jìn)行解答的過程中，由于思維能力等方面的原因，學(xué)生很容易因為以下問題出現(xiàn)解題思路錯誤的情況：

（一）容易混淆題目概念

由于當(dāng)前數(shù)學(xué)考試和練習(xí)大多都是對基本知識和基本概念的考查，許多學(xué)生解題錯誤還是由于對基本知識記憶不牢以及概念混淆而導(dǎo)致的，比如，關(guān)于集合部分的學(xué)習(xí)中，對于需要計算的部分少之又少，基本都是對基礎(chǔ)概念的掌握、對數(shù)字或者算式進(jìn)行分類。例如，復(fù)數(shù)部分的相關(guān)知識：對于一個常規(guī)的復(fù)數(shù)表示為虛部和實部兩部分，不過在對復(fù)數(shù)方程進(jìn)行解析時，相當(dāng)一部分學(xué)生就很容易忽視虛根的存在，只看見了實數(shù)根會導(dǎo)致答案不完整進(jìn)而丟分。其主要問題還是在于學(xué)生對于主要概念的理解不透徹，一看到復(fù)數(shù)求解方程并沒有想到實數(shù)解和虛根的概念，比如，x4= 1，求x的值。這個題目也不算特別復(fù)雜，很多同學(xué)基本就會寫上+1 和-1，但是忽略了+i和-i這兩個虛根，其根本原因就是忽視了虛根的概念，對題目本身的意義和內(nèi)涵不夠重視，因此就無法對相應(yīng)的問題作出完整的解答。

（二）缺少多種解題方法應(yīng)用

數(shù)學(xué)問題在解答時往往是比較開放的，大多數(shù)問題的解決方法至少有兩個以上，因此掌握多種解題方法可以在遇見不同條件的問題時能夠選擇最便捷的方法去解決問題，從而提高做題效率。但當(dāng)前由于教育模式問題，大多數(shù)教師都只教給學(xué)生單一的解題方法，也沒有給學(xué)生充足的思考空間，因此大部分學(xué)生很難掌握多個解題方法，有的學(xué)生還會以為當(dāng)前解題方法過于復(fù)雜導(dǎo)致一些小錯誤的發(fā)生。例如，在解析幾何中關(guān)于線和面以及面與面的關(guān)系中，尤其是求夾角度數(shù)的時候，往往會有至少兩種解決方法，第一種是利用幾何的方法，第二種則是引入坐標(biāo)系，利用向量來解答。此時就需要引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)題目所給出的條件進(jìn)行方法選擇，一定要選擇最直觀且最簡單的方法。若是題目給出的是有規(guī)則的圖形或者有建立坐標(biāo)系的基本條件，就可以利用向量的方法去求解法向量，否則利用幾何的方式更容易解決問題。

三、高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)“一題多解”思路的必要性

在高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課的教學(xué)環(huán)節(jié)中，學(xué)習(xí)需要興趣復(fù)習(xí)，更需要激發(fā)興趣，因此，高中教師應(yīng)結(jié)合當(dāng)下大多數(shù)高中生數(shù)學(xué)興趣不足及課堂現(xiàn)狀，進(jìn)一步探索一題多解思維的創(chuàng)新，讓學(xué)生投入知識模塊和綜合運用解題過程中。高中數(shù)學(xué)的挑戰(zhàn)難度較大，學(xué)生在學(xué)習(xí)新東西的同時難免會激發(fā)求知欲。因此，學(xué)生和教師都應(yīng)該投入一題多寫課堂中，結(jié)合問題情境的導(dǎo)入學(xué)習(xí)新知識，增加課堂新鮮感。除此之外，在生動導(dǎo)入和綜合性題目的解答中認(rèn)識到一題多解思維的重要性，能引領(lǐng)學(xué)生進(jìn)行長期的做題訓(xùn)練，進(jìn)一步提高學(xué)生的數(shù)學(xué)成績?！耙活}多解”在學(xué)好數(shù)學(xué)、提高學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力方面發(fā)揮出必要價值，在一題多解與一題多變形式下的數(shù)學(xué)思維拓展及案例復(fù)習(xí)可以培養(yǎng)學(xué)生廣闊性、深刻性、靈活性的數(shù)學(xué)解題思維，這也是提升數(shù)學(xué)成績的有效途徑。

數(shù)學(xué)課堂能拓展學(xué)生的邏輯思維，并且激發(fā)他們的課堂學(xué)習(xí)效率，因此，教師應(yīng)該加快提高高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課的質(zhì)量。大多數(shù)學(xué)生在處理數(shù)學(xué)問題時，認(rèn)為數(shù)學(xué)概念與公式相對死板，在課堂上能聽懂例題和題目，卻不會做數(shù)學(xué)，不能結(jié)合生活實際。如果數(shù)學(xué)案例的題目與實際生活無關(guān)，那么它就失去了教學(xué)的價值，因此，在數(shù)學(xué)一題多解的復(fù)習(xí)活動中，應(yīng)重視解題過程的生活化，并且從中帶領(lǐng)學(xué)生體會探索的興趣。除此之外，學(xué)生還可以在一題多解方法的利用下挖掘和分析題目線索，并且運用到多個模塊的知識中。數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課一題多解思路的運用，能帶領(lǐng)學(xué)生掌握通性通法，學(xué)生可以在橫向、縱向等多個角度認(rèn)識到模塊與知識之間的聯(lián)系，在能力與經(jīng)驗積累的過程中不斷掌握問題的解決方法，最終展示出高中數(shù)學(xué)課堂知識點和一題多解樂趣對數(shù)學(xué)成績的推動作用。

四、一題多解在數(shù)學(xué)案例中的具體運用

例1：已知(z-x)2- 4(x-y)(y-z)= 0，證明x、y、z成等差數(shù)列。首先，要想證明x、y、z是等差數(shù)列，必須求出x-y=y-z這個思路，然后結(jié)合這一結(jié)論，對題目的已知條件進(jìn)行推導(dǎo)，因此在看到這種數(shù)學(xué)題型的同時，學(xué)生一般會選擇用最為直觀的辦法，就是結(jié)合已知條件尋求公式的轉(zhuǎn)換，將公式加以整理，最終得出x、y、z成等差數(shù)列的結(jié)論。其次，學(xué)生在一題多解思維中也會尋找多個角度，并且結(jié)合自身學(xué)習(xí)的實踐產(chǎn)生出個人看法，證明案例中的結(jié)論。學(xué)生可以根據(jù)已知的條件(z-x)2- 4(x-y)(y-z)=0、z-x、4(x-y)(y-z)，然后再集中篩選具有對稱輪換的特點，結(jié)合這一特點，使用換元法縮減代數(shù)式中的字母數(shù)量，從而實現(xiàn)運算的轉(zhuǎn)化。比如x-y=a，y-z=b，那么x-z=a+b。由此看來，在上文數(shù)學(xué)案例中的一題多解思路內(nèi)涵及作用下，最為常見和最容易的思路是可靠的，但是也存在固化的呆板現(xiàn)象，導(dǎo)致學(xué)生的多元思維受限，同時也會影響學(xué)生的數(shù)學(xué)解答邏輯，另外，在第二個解題思路中可以看出換元法的運用十分巧妙，學(xué)生能仔細(xì)觀察和善于遷移，并且引入數(shù)學(xué)判斷公式掌握解題技巧，從而帶來問題解決的啟示作用。

五、高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)“一題多解”案例的新思考

（一）教思考，引發(fā)學(xué)生“想”

在具體的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)實踐中，教師的教學(xué)模式以及在內(nèi)容上的選擇將會直接影響學(xué)生對課堂數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)和掌握，“三教理念”在高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課上的融入與創(chuàng)新，能激發(fā)教師在實際的教學(xué)任務(wù)中提起對學(xué)生思維方面的重視。教師應(yīng)該格外注重自身教學(xué)內(nèi)容要能推動學(xué)生多元化的問題思考，并且進(jìn)一步將學(xué)生掌握的知識體系加以全面性、深刻性的整合。由此看來，高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課的教學(xué)活動中，數(shù)學(xué)教師應(yīng)起到一定的引導(dǎo)作用，引發(fā)學(xué)生在加快掌握數(shù)學(xué)知識邏輯的同時進(jìn)一步整理“一題多解”的脈絡(luò)，再對高中數(shù)學(xué)教學(xué)的知識掌握中進(jìn)行多方位的分析與滲透，保障學(xué)生進(jìn)一步學(xué)會用“一題多解”的數(shù)學(xué)邏輯思考問題。

比如，高中數(shù)學(xué)題型中涉及“充分條件與必要條件”的知識點，教師可以在課堂實踐中引導(dǎo)學(xué)生主動思考，充分發(fā)揮想象，在挖掘問題本質(zhì)的同時，加快實現(xiàn)“一題多解”的教育目標(biāo)；教師可以在利用學(xué)生當(dāng)下邏輯思路的基礎(chǔ)上，為學(xué)生創(chuàng)造自由發(fā)揮的問題情境：①楊利偉是第一位登上太空的人，本身擁有的“身體條件優(yōu)勢”和“成為宇航員”之間存在怎樣的聯(lián)系？②老師今天生病，我生病是否能好和我吃藥打針之間有什么聯(lián)系？

由此看來，在高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課上，教師應(yīng)該注重教思考的重點，主動引導(dǎo)學(xué)生思考，并且以數(shù)學(xué)知識為載體，以核心問題為驅(qū)動，加快實現(xiàn)學(xué)生解題思路以及數(shù)學(xué)邏輯上的“想”。學(xué)生在思考的過程中應(yīng)該加快形成自身的數(shù)學(xué)知識體系，在思考問題發(fā)生的背景和解題方法的實踐環(huán)節(jié)中，應(yīng)該積極尋求相對應(yīng)的解題思路。數(shù)學(xué)本身作為人類思維活動中的創(chuàng)造性活動，數(shù)學(xué)知識的創(chuàng)造來源于人類的思考。

（二）教體驗，推動學(xué)生探本質(zhì)

數(shù)學(xué)學(xué)科是一種創(chuàng)造性的活動，需要學(xué)生在數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)過程中提高自身的主動創(chuàng)造性，這也充分體現(xiàn)出高中數(shù)學(xué)教學(xué)課堂上數(shù)學(xué)體驗的重要性，也是加強(qiáng)學(xué)生對問題本質(zhì)的思考并將思考的內(nèi)容轉(zhuǎn)化為實踐的途徑。教師要保障學(xué)生在及時掌握知識內(nèi)容和技能的同時，進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)問題、提出問題以及解決問題，充分體驗數(shù)學(xué)文體當(dāng)中的邏輯脈絡(luò)。例如，將高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課中提到的問題展開跟組討論，將其中的結(jié)構(gòu)展示出來，并且進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生解決問題：①y=x+ 2x2+ .... +nxn的公式和為多少；②{an}屬于等差數(shù)列的范疇，其中{bn}作為各項為正數(shù)的等比數(shù)列，并且a1 =b1 = 3，a2 =b2 = 24。

本題可以使用換元法解決數(shù)學(xué)數(shù)列，數(shù)列公式的推算能得出通項公式的答案，并證明第一個問題，求出來的公式也就是等差數(shù)列和等比數(shù)列的形式。此外，運用錯位相減的方法，將條件的公式整體代入證明最后結(jié)論。還可以巧妙地運用題目求證，結(jié)合定義先證后求整體代入。

在題目基礎(chǔ)上，不斷推動學(xué)生對“一題多解”思路的掌握和使用，可以培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維。數(shù)列問題是高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課中的重難點，同時，該案例的解題思路與方法也是通法，所以結(jié)合已知條件和解答技巧就能求出公式和問題的答案。由此看來，基于“三教理念”的高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課“一題多解”的創(chuàng)新研究，是推動學(xué)生進(jìn)一步深化掌握高中數(shù)學(xué)知識必備的思維活力?！敖趟伎?、教體驗、教表達(dá)”作為“三教理念”的主體內(nèi)容，可以引導(dǎo)學(xué)生在高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課上提高自身的思辨能力，并且將所掌握的理論內(nèi)容進(jìn)行實踐性的技能強(qiáng)化。

（三）教表達(dá)，加強(qiáng)互動與溝通

高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課上的表達(dá)主要針對課堂內(nèi)容上的思考和體驗之后的結(jié)果，再加上數(shù)學(xué)課堂上的學(xué)習(xí)本身屬于特定性的實踐活動，所以教師應(yīng)該格外重視與學(xué)生的教學(xué)互動，解答學(xué)生在學(xué)習(xí)中遇到的疑惑，并激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)表達(dá)，比如，（1）1.72.5，1.73；（2）0.8-0.1，0.8-0.2；（3）1.70.3，0.93.1。在高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課的教學(xué)實踐中，數(shù)值上的比較和變化都存在于（1）（2）（3）中。學(xué)生表達(dá)：（1）和（2）的數(shù)列比值存在冪的底數(shù)相同的特點，但是冪的指數(shù)存在差異，（3）的冪的底數(shù)和指數(shù)都不屬于同一行列。教師提出問題：請學(xué)生將指數(shù)數(shù)值大小相同的方法陳述出來。數(shù)學(xué)思想與變量之間的聯(lián)系，能通過數(shù)學(xué)觀點尋求問題的解答，這也是一種最為基本的數(shù)學(xué)思想方法，同時表現(xiàn)出函數(shù)性質(zhì)和理論的運用價值。

一題多解在高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)教學(xué)中的運用，能幫助學(xué)生提高數(shù)學(xué)能力和學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，這個案例就是要求學(xué)生在數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)中利用問題所提供的一切條件進(jìn)行對比聯(lián)想，并且采取一題多解的形式解答問題，數(shù)學(xué)公式在數(shù)學(xué)問題中的運用也十分重要。學(xué)生在應(yīng)用一題多解時要注意數(shù)值上的轉(zhuǎn)變以及數(shù)列比值，注重自身的表達(dá)與文字描述，提高對公式及條件的嚴(yán)謹(jǐn)性。

“三教理念”下的高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課“一題多解”的創(chuàng)新性發(fā)展具有現(xiàn)實性意義，再加上教師在高中數(shù)學(xué)課堂上起引導(dǎo)作用，可以在一定程度上引導(dǎo)學(xué)生將腦海中的“想”轉(zhuǎn)換成“做”，并且將“做”轉(zhuǎn)變成“說”，以此在“做”和“說”的基礎(chǔ)上進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生在復(fù)習(xí)課題中展開進(jìn)一步探索，積極發(fā)現(xiàn)新問題。

六、結(jié)語

綜上所述，高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課的實踐教學(xué)活動中，“三教理念”的應(yīng)用在一定程度上起到推動作用；教思考、教體驗、教表達(dá)的創(chuàng)新教學(xué)觀念將會促使學(xué)生對數(shù)學(xué)課堂上出現(xiàn)的同一問題的解答思路加以創(chuàng)新，逐漸掌握“一題多解”的數(shù)學(xué)邏輯；還可以在高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課中將多提出的解題過程相互依存。其中，“三教理念”之間的內(nèi)容上具有難以分割的聯(lián)系和特點，再加上課堂教學(xué)環(huán)節(jié)中的理念和側(cè)重點存在差異，這種教學(xué)模式可以一方面引發(fā)學(xué)生多角度地思考，另一方面可以不斷充實學(xué)生知識解題思路，凸顯出學(xué)生在“三教理念”教學(xué)模式下的主體地位，并充分發(fā)揮出教師在實踐課堂上的引導(dǎo)作用。