交換環(huán)上的n-w-余純投射模

李 慶

(西南民族大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，四川 成都 610041)

1 引言及準(zhǔn)備知識(shí)

本文恒設(shè)R為具有單位元的交換環(huán).Enoch和Jenda在文獻(xiàn)[1-2]中引入余純內(nèi)射模和余純平坦模.所謂R-模M是余純內(nèi)射模[1]，是指對(duì)任意內(nèi)射R-模E，所謂R-模M是強(qiáng)余純內(nèi)射模[1]，是指對(duì)任意內(nèi)射R-模E和任意正整數(shù)＝0.R-模N稱為余純平坦模[2]，是指對(duì)任意內(nèi)射R-模E，模N稱為強(qiáng)余純平坦模[2]，是指對(duì)任意內(nèi)射R-模E和任意正整數(shù)i≥1E)＝0.我們知道平坦模的右正交類是余撓模，而余撓模在刻畫環(huán)的結(jié)構(gòu)等方面起著重要的作用.類似，平坦模的左正交類成為眾多代數(shù)學(xué)者思考的研究對(duì)象，于是Fu等人在文獻(xiàn)[3]中引入了n-余純投射模和強(qiáng)余純投射模.這里設(shè)fdR(F)表示R-模F的平坦維數(shù).所謂M稱為n-余純投射R-模[3]，是指對(duì)任意fdR(F)≤1的R-模F，稱R-模M是強(qiáng)余純投射模[3]，是指對(duì)任意平坦R-模F和任意正整數(shù)F)＝0.隨后Gao在文獻(xiàn)[4]中進(jìn)一步刻畫了n-余純投射R-模.在文獻(xiàn)[5]中Glaz和Vasconcelos引入了半v-模(semi-divisorial module)，推廣了v-模(divisorial module)和內(nèi)射模，隨后Vasconcelos修正了半v-模，引入了w-閉包，也就是所謂的w-算子，該算子在乘法理想理論和模論研究中起到了重要的作用，特別是在平坦模類中w-算子的引入產(chǎn)生了許多漂亮的結(jié)果，比如文獻(xiàn)[6-10].

以下恒設(shè)n是非負(fù)整數(shù)，w-ζn表示w-平坦維數(shù)不超過n的所有R-模類.R的極大w-理想的集合記為w-Max(R).

本文研究的目的是在n-余純投射R-模和強(qiáng)余純投射模中引入w-算子，提出n-w-余純投射模和(強(qiáng))w-余純投射模的概念以及相關(guān)性質(zhì)刻畫.本文討論了n-w-余純投射模和強(qiáng)w-余純投射模在擴(kuò)張之下的封閉性問題.證明了若R-模正合列0→A→B→C→0，其中A，C都是n-w-余純投射模，則B也是n-w-余純投射模.證明了若R-模正合列0→A→B→C→0，其中A，C都是強(qiáng)w-余純投射模，則B也是強(qiáng)w-余純投射模.最后分別給出了n-w-余純投射模和w-余純投射模的等價(jià)刻畫.證明了M是n-w-余純投射R-模當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)任意R-模正合列0→K→K‘→M→0，其中K‘是n-w-余純投射R-模，則對(duì)任意N∈w-ζn，誘導(dǎo)序列0→HomR(M，N)→HomR(K‘，N)→HomR(K，N)→0是w-正合列；當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)任意R-模正合列0→A→B→C→0，其中A∈w-ζn，則誘導(dǎo)序列0→HomR(M，A)→HomR(M，B)→HomRM，C)→0是w-正合列.

下面回顧一些本文常用定義和結(jié)果.假設(shè)J是交換環(huán)R的理想，由文獻(xiàn)[11]，J稱為GV-理想，是指J是R的有限生成理想，且自然同態(tài)中φ:R→HomR(J，R)是同構(gòu)的.GV(R)代表R中所有GV-理想.設(shè)R-模M，記torGV(M)＝{x∈M|Jx＝0對(duì)某J∈GV(R)}.若torGV(M)＝M，稱M為GV-撓模；若torGV(M)＝0，稱M為GV-無撓模.GV-無撓R-模M稱為w-模，是指對(duì)任意J∈GV(R)有Ext1R(R/J，M)＝0.設(shè)f:M→N是R-模同態(tài)，若對(duì)R的任意極大w-理想m，fm:Mm→Nm是單同態(tài)(滿同態(tài)或同構(gòu))，則稱f為w-單同態(tài)(w-滿同態(tài)或w-同構(gòu)).R-模同態(tài)序列A→B→C稱為w-正合列，是指對(duì)R的任意極大w-理想m誘導(dǎo)的R-模同態(tài)序列Am→Bm→Cm是正合列.由[12，命題1.1]，R-模同態(tài)序列是w-正合列當(dāng)且僅當(dāng)f:A→B是w-單同態(tài)當(dāng)且僅當(dāng)ker(f)是GV-撓模；R-模同態(tài)序列是w-正合列當(dāng)且僅當(dāng)g:B→C是w-滿同態(tài)當(dāng)且僅當(dāng)cok(g)＝C/Im(g)是GV-撓模.由文獻(xiàn)[13，定理2.7]，R-模M是GV-撓模當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)R的任意極大w-理想m，Mm＝0.本文涉及的其他概念等，參見文獻(xiàn)[14-16].

2 n-w-余純投射模

定義2.1R-模M稱為n-w-余純投射，是指對(duì)任意是GV-撓模，若n＝0，我們稱M為w-余純投射R-模.R-模M稱為強(qiáng)w-余純投射，是指對(duì)任意w-平坦模N和所有整數(shù)i≥1，是GV-撓模

命題2.2 設(shè)R為任意交換環(huán)，P是有限生成投射R-模.若R-模M是n-w-余純投射，則HomR(P，M)和P?RM都是n-w-余純投射的.

證明 設(shè)M是n-w-余純投射R-模，P是有限生成投射R-模，R-模N∈w-ζn.下面考慮以下同構(gòu)關(guān)系

下面我們分別考慮n-w-余純投射模和強(qiáng)w-余純投射模在擴(kuò)張之下的封閉性問題.

定理2.3 設(shè)R-模正合列0→A→B→C→0，其中A，C都是n-w-余純投射模，則B也是n-w-余純投射模.

定理2.4 設(shè)R-模正合列0→A→B→C→0，則

(1)若A，C都是強(qiáng)w-余純投射模，則B也是強(qiáng)w-余純投射模.

(2)若B，C都是強(qiáng)w-余純投射模，則A也是強(qiáng)w-余純投射模.

命題2.5 設(shè)M是w-余純投射R-模，則M是強(qiáng)w-余純投射模當(dāng)且僅當(dāng)M的第一次合沖(syzygy)是強(qiáng)w-余純投射模.

定理2.6 設(shè)M是R-模，以下各條等價(jià):

(1)M是n-w-余純投射R模；

(2)對(duì)任意R-模正合列0→K→K‘→M→0，其中K‘是n-w-余純投射R-模，則對(duì)任意N∈w-ζn，誘導(dǎo)序列0→HomR(M，N)→HomR(K‘，N)→HomR(K，N)→0是w-正合列；

(3)對(duì)任意R-模正合列0→A→B→C→0，其中A∈w-ζn，則誘導(dǎo)序列0→HomR(M，A)→HomR(M，B)→HomRM，C)→0是w-正合列.

故0→HomR(M，A)→HomR(M，B)→HomRM，C)→0是w-正合列.

(3)?(1)設(shè)N∈w-ζn，R-模正合列0→N→E(N)→E(N)/N→0，這里E(N)表示R-模N的內(nèi)射包.于是導(dǎo)出如下正合列

在上述定理中，當(dāng)n＝0時(shí)，容易得出如下推論.

推論2.7 設(shè)M是R-模，以下各條等價(jià):

(1)M是w-余純投射R-模；

(2)對(duì)任意R-模正合列0→K→K‘→M→0，其中K‘是w-余純投射R-模，則對(duì)任意w-平坦R-模N，誘 導(dǎo) 序 列0→HomR(M，N)→HomR(K‘，N)→HomR(K，N)→0是w-正合列；

(3)對(duì)任意R-模正合列0→A→B→C→0，其中A為w-平坦模，則誘導(dǎo)序列0→HomR(M，A)→HomR(M，B)→HomRM，C)→0是w-正合列.