一類非局部問題解的存在性

劉麗娟

(太原師范學(xué)院數(shù)學(xué)系，山西 晉中 030619)

1 引言和主要結(jié)果

近年來(lái)，如下非局部問題被廣泛研究:

其中Ω??3是有界開集，a＞0，b＞0，λ＞0，g(x)＞0且并得到以下主要結(jié)果:

定理1 若a＞0，b＞0，λ＞0，g(x)＞0且則存在Λ＞0，使得任給λ∈(0，Λ)，則問題(2)至少存在一個(gè)解.

2 預(yù)備知識(shí)

定義Iλ(u)為問題(2)對(duì)應(yīng)的能量泛函，即

如果u滿足

引理1 若常數(shù)a＞0，b＞0，λ＞0，g(x)＞0且則泛函Iλ(u)

假設(shè){un}無(wú)界，則存在{un}的子列，不失一般性仍記為{un}，使得‖un‖→∞，(n→∞)，

由于Iλ(un)→c，得矛盾.由此可知，{un}有界，因此存在滿足

由式(4)、(8)可得‖un-u0‖→0，即un→u0，因此Iλ(u)在中滿足(PS)條件.

3 定理1的主要證明

其中c1是與u無(wú)關(guān)的常數(shù).

其中c2是與u無(wú)關(guān)的常數(shù).因此當(dāng)τ→＋∞，Iλ(u)→-∞，所以存在τ1＞0，

滿足u1＝τ1u∈H10(Ω)， ‖u1‖＞r，Iλ(u1)＜0，根據(jù)山路引理[16]可知存在{un}?H10(Ω)，

滿足

由引理1可知{un}有一個(gè)收斂的子列，因此存在使得在中，

un→uλ.由此可得問題(2)至少存在一個(gè)解uλ.

4 總結(jié)

本文主要考慮了一類形如(2)中帶線性項(xiàng)u與參數(shù)λ的非局部問題，通過證得能量泛函Iλ(u)滿足(PS)條件且當(dāng)λ∈(0，Λ)時(shí)，Iλ(u)具有山路引理的幾何結(jié)構(gòu)，證明了問題(2)至少存在一個(gè)解，后續(xù)可以繼續(xù)研究該問題解的多重性.