開(kāi)發(fā)解題智慧——探討解題方法的改進(jìn)

■福建省長(zhǎng)汀縣策武中學(xué) 陳廷長(zhǎng)

一、運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思維開(kāi)發(fā)初中生的解題智慧

初中生數(shù)學(xué)解題智慧的開(kāi)發(fā)，可以從其大腦思維能力著手，而在數(shù)學(xué)解題中，存在豐富有用的數(shù)學(xué)解題思維，比如常見(jiàn)的數(shù)形結(jié)合解題思維，這是一種有效的數(shù)學(xué)解題思維方式，也非?？简?yàn)初中生的大腦分析和理解能力。在講解一個(gè)初中數(shù)學(xué)函數(shù)題目時(shí)，可以引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思維，將題目中涉及的圖形、數(shù)量關(guān)系構(gòu)建起來(lái)，以利用數(shù)與形的轉(zhuǎn)化迅速解答數(shù)學(xué)題目。

請(qǐng)看下面這道初中數(shù)學(xué)函數(shù)問(wèn)題：直線y=x+3的圖像與x軸，y軸分別交于A，B兩點(diǎn)，直線l經(jīng)過(guò)原點(diǎn)且與線段AB交于C，把△ABO的面積分成2：1兩部分，請(qǐng)求出直線l的解析式。

解題分析：從題目來(lái)看，似乎給出的數(shù)據(jù)信息并不多，但也存在很多的數(shù)學(xué)知識(shí)信息點(diǎn)，如直線方程、圖像、三角形面積等。那么如何運(yùn)用這些數(shù)據(jù)信息來(lái)構(gòu)建數(shù)學(xué)解題思維則是后續(xù)問(wèn)題解答需要思考的問(wèn)題。其中，為了有效開(kāi)發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)解題智慧，可以從數(shù)形結(jié)合角度，結(jié)合圖像中的數(shù)據(jù)信息條件，利用以形代數(shù)的思維方法，求解出相關(guān)的坐標(biāo)進(jìn)而得出解析式。

解題過(guò)程：看圖中信息，可以獲知其中的已知條件，即直線AB的斜率是k=1，由此得到OA=OB，從而推導(dǎo)出S△AOC=1/2 OA×yc；S△BOC=1/2 OA×（-xc)，又∵S△AOC：S△AOC=2或者1/2，∴直線的方程可以是y=-2x或者y=-1/2x.

二、運(yùn)用轉(zhuǎn)化解題思路開(kāi)發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)解題智慧

除了上述提到的數(shù)形結(jié)合思維之外，很多初中數(shù)學(xué)題型還能運(yùn)用轉(zhuǎn)化思維來(lái)解答，而轉(zhuǎn)化思維也是考驗(yàn)學(xué)生大腦思維能力的一種有效思維方式，且有助于開(kāi)發(fā)學(xué)生的解題智慧，使其可以懂得選擇比較適合解題的方法，從而形成良好的綜合解題意識(shí)。那么在實(shí)際解答數(shù)學(xué)幾何問(wèn)題時(shí)，教師需要引導(dǎo)學(xué)生將復(fù)雜的幾何問(wèn)題盡可能轉(zhuǎn)化為一個(gè)或幾個(gè)簡(jiǎn)單問(wèn)題來(lái)解決，或者是歸結(jié)為一個(gè)比較熟悉的問(wèn)題來(lái)解決，這樣通過(guò)簡(jiǎn)單或者熟悉的問(wèn)題答案返回去求得復(fù)雜問(wèn)題的答案，從而促使學(xué)生激活自身潛在的轉(zhuǎn)化思維智慧。

請(qǐng)看下面這道初中數(shù)學(xué)幾何問(wèn)題：已知右圖中，P是正方形ABCD內(nèi)的點(diǎn)，∠PAD＝∠PDA＝15°，請(qǐng)求證：△PBC是正三角形。

解題思路：初看這道數(shù)學(xué)幾何問(wèn)題，似乎給出的數(shù)據(jù)信息不多，但是學(xué)生想要求證出△PBC是正三角形，也是需要找到解題突破口，才能有效解答數(shù)學(xué)問(wèn)題。其中，教師可以引導(dǎo)學(xué)生將幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系分析問(wèn)題，以提升解題的效率。

解題過(guò)程：根據(jù)題目條件，將題目中的幾何圖像進(jìn)行拆分，即在正方形內(nèi)作△DGC與△ADP全等，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)求出△PDG為等邊三角形，那么依據(jù)SAS證出△DGC≌△PGC，從而推出DC=PC，進(jìn)而得到PB=DC=PC，由此得到△PBC是正三角形。

解題反思：在這道初中數(shù)學(xué)幾何問(wèn)題中，教師可以從轉(zhuǎn)化思維角度，引導(dǎo)學(xué)生靈活將題目中的幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)量分析，以將復(fù)雜的數(shù)學(xué)幾何問(wèn)題簡(jiǎn)單化，這樣更能夠節(jié)約解題時(shí)間。

三、運(yùn)用分類討論思維開(kāi)發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)解題智慧

在一道初中數(shù)學(xué)題目中往往需要多步驟分析和探索，才能全面、有效地解答出數(shù)學(xué)問(wèn)題的答案。其中，在初中數(shù)學(xué)解題中，學(xué)生應(yīng)該遵循如下分類討論步驟：第一，明確數(shù)學(xué)題目討論的內(nèi)容；第二，正確選擇和確定數(shù)學(xué)解題的分類標(biāo)準(zhǔn)，從而對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題進(jìn)行合理的分類；第三，根據(jù)分類進(jìn)行數(shù)學(xué)問(wèn)題的逐類討論，由此提出解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的方案；第四，歸納討論的結(jié)果，并得出結(jié)論。另外，在應(yīng)用分類討論思想時(shí)，學(xué)生也需要注意按照同一標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行，否則將無(wú)法進(jìn)行有效的數(shù)學(xué)問(wèn)題分類討論。可是，無(wú)論學(xué)生遇到的是怎樣的數(shù)學(xué)問(wèn)題，都應(yīng)該結(jié)合具體的數(shù)學(xué)題目，先思考是否能夠運(yùn)用分類討論思想，再對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題進(jìn)行作答。

請(qǐng)看下面這道初中數(shù)學(xué)問(wèn)題：解不等式｜x-5｜-｜2x+3｜＜1

解題分析：對(duì)于初中數(shù)學(xué)不等式的解答，往往涉及分類討論思想，而教師可以運(yùn)用分類討論逐步培育學(xué)生良好的討論習(xí)慣，由此逐步激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)解題智慧。首先，學(xué)生需要明確討論的對(duì)象，也就是不等式｜x-5｜-｜2x+3｜＜1。其次，選擇相關(guān)的分類標(biāo)準(zhǔn)，這就需要學(xué)生將不等式中的絕對(duì)值去掉，從而有效確定分類討論的區(qū)間，即，x≤-3/2，-3/2＜x≤5，x＞5。最后，根據(jù)這些分類的目標(biāo)及標(biāo)準(zhǔn)，對(duì)這些討論的區(qū)間進(jìn)行分析，從而求解出答案。

解題過(guò)程：

（1）當(dāng)x≤-3/2時(shí)，原不等式化為－（x-5）-［-（2x+3）］＜1，解得x＜-7，結(jié)合x≤-3/2，故x＜-7是原不等式中的一個(gè)解。

（2）當(dāng)－3/2＜x≤5時(shí)，原不等式化為－（x-5）-（2x+3）＜1，解得x＞1/3，又∵-3/2＜x≤5，∴1/3＜x≤5。

（3）當(dāng)x＞5時(shí)，原不等式化為：x-5-（2x+3）＜1，解得x＞-9，結(jié)合x＞5，故x＞5是原不等式的解。

那么綜合上述分析結(jié)果，最終得到不等式的解為：x＜-7或者x＞1/3

解題反思：當(dāng)遇到需要分類討論的數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，學(xué)生應(yīng)該運(yùn)用分類討論的思想，對(duì)其中的數(shù)學(xué)題目進(jìn)行分析和討論，這樣有助于一步步激活自身的解題智慧與能力。

綜上所述，對(duì)于初中生數(shù)學(xué)解題智慧的開(kāi)發(fā)，教師可以從各種數(shù)學(xué)解題思維角度來(lái)培育學(xué)生的數(shù)學(xué)解題能力，由此逐步開(kāi)發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)解題智慧，進(jìn)而提升學(xué)生的數(shù)學(xué)解題效率。