小學(xué)低年段四則運(yùn)算含義建模的有效策略

文/ 廣州市越秀區(qū)黃花小學(xué) 張滿穗

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》明確提出：“通過(guò)義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，使學(xué)生能獲得適應(yīng)社會(huì)生活和進(jìn)一步發(fā)展所需要的數(shù)學(xué)的基本知識(shí)、基本技能、基本思想、基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。”四則運(yùn)算含義在兒童思維認(rèn)知的建立過(guò)程是一個(gè)完整的抽象建模過(guò)程。幫助學(xué)生完整地經(jīng)歷這個(gè)過(guò)程，不僅能讓學(xué)生建立穩(wěn)固的四則運(yùn)算含義知識(shí)基礎(chǔ)，更能讓學(xué)生體驗(yàn)思想的感悟和經(jīng)驗(yàn)的積累，得到數(shù)學(xué)基本思想的發(fā)展。

一、 應(yīng)重視整數(shù)加減乘除含義建立的教學(xué)

首先，這是一個(gè)從具體到抽象的完整過(guò)程?！熬鸵粋€(gè)具體數(shù)學(xué)概念的抽象過(guò)程，大體可以分為三個(gè)階段。第一階段是簡(jiǎn)約階段：把握事物關(guān)于數(shù)量或者圖形的本質(zhì)，把繁雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化，給予清晰表達(dá)。第二階段是符號(hào)階段；去掉具體內(nèi)容，利用符號(hào)和關(guān)系術(shù)語(yǔ)，表達(dá)已經(jīng)簡(jiǎn)約化的事物。第三階段是普適階段：通過(guò)假設(shè)和推理，建立法則、模式和模型，在一般意義上描述一類事物的特征或規(guī)律?！毙W(xué)低年段所學(xué)習(xí)的四則運(yùn)算雖然是在自然數(shù)集內(nèi)總結(jié)的，但仍應(yīng)該符合數(shù)學(xué)概念的抽象規(guī)律。

其次，一、二年級(jí)學(xué)習(xí)的加減乘除，看起來(lái)簡(jiǎn)單，甚至有不少學(xué)生覺(jué)得入學(xué)前都已經(jīng)會(huì)了。其實(shí)，真的會(huì)了嗎？他們明白的是運(yùn)算法則，還是運(yùn)算的含義？他們心里的所理解的運(yùn)算含義清晰了嗎？事實(shí)上，學(xué)生對(duì)加減乘除運(yùn)算已然不是一無(wú)所知。然而，其含義在他們的認(rèn)知中仍是模糊的、片面的，含義和混算法則是混淆的。進(jìn)入小學(xué)低年段才真正經(jīng)歷從“無(wú)”到“有”，從“模糊”到“清晰”的系統(tǒng)學(xué)習(xí)過(guò)程。例如簡(jiǎn)單如加法，部編版教科書是這樣編排的：小丑左手拿著3 個(gè)氣球，右手拿著2 個(gè)氣球，然后兩只手上的氣球攏在一起，非常形象地展現(xiàn)了這個(gè)合并的過(guò)程。接著用點(diǎn)子圖，表示這個(gè)過(guò)程，最后用3＋2=5 表示。同時(shí)，列舉了鉛筆、車子等不同的生活情境反復(fù)再現(xiàn)這個(gè)抽象的過(guò)程。

再次，低年段建立的穩(wěn)固模型為高年段在擴(kuò)充數(shù)集中運(yùn)用模型打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。中高年級(jí)的解決問(wèn)題依賴前期四則運(yùn)算含義模型的基礎(chǔ)。中年級(jí)時(shí)從生活問(wèn)題中總結(jié)常用數(shù)量關(guān)系：速度×?xí)r間= 路程，單價(jià)×數(shù)量= 總價(jià)，如果低年段對(duì)四則運(yùn)算模型建立十分穩(wěn)固，從實(shí)際情景中抽象出這些數(shù)量關(guān)系便順理成章了。到了高年級(jí)，各種復(fù)雜的問(wèn)題，也是基本模型的復(fù)合變式，唯有根深蒂固的模型，才不會(huì)在紛繁復(fù)雜的問(wèn)題情境中加減乘除地瞎蒙。

二、 幫助學(xué)生建立穩(wěn)固模型的有效策略

（一）用操作開(kāi)啟抽象的思維之門

首先是小丑左手抓著4 個(gè)氣球，右手抓著1 個(gè)氣球，然后左右手?jǐn)n在一起合成了5 個(gè)氣球。此情境用小圓片替代具體情境中的數(shù)量，左邊擺4 個(gè)小圓片，右邊擺1 個(gè)小圓片，然后把左右兩邊的小圓片推到一起，便完成了加法合并的含義。兒童在這個(gè)把左右兩邊推到一起的操作中，體驗(yàn)著動(dòng)態(tài)的“合并”。接著換情境，左邊花朵上停著3 只蝴蝶，右邊又飛來(lái)2 只蝴蝶也停到花朵上。讓兒童用小圓片表示出來(lái)，他們感知著：不同的事物，數(shù)量3 和2 合并都可以用小圓片來(lái)替代，并且動(dòng)作都是一樣的。進(jìn)而，繼續(xù)轉(zhuǎn)換數(shù)個(gè)情境和數(shù)量，例如筆筒里原有4 支筆，又放進(jìn)來(lái)1 支筆，用小圓片表示。在反復(fù)地操作中，兒童對(duì)數(shù)量合并的動(dòng)作越來(lái)越純熟，并且發(fā)現(xiàn)，情境只是這個(gè)動(dòng)作的外衣，只要表示兩個(gè)數(shù)量合并在一起，都能用小圓片和相同的動(dòng)作使之簡(jiǎn)化。情境中的數(shù)量關(guān)系間的共性在兒童的一次次操作中被感知，抽象也在兒童的一次次操作中悄然推進(jìn)了。

（二）用畫圖搭建主動(dòng)建構(gòu)的基石

畫圖幫助兒童脫離操作，不斷提升抽象水平。根據(jù)簡(jiǎn)約程度的不同我們常用的有兩種方法：一種是替代物圖，例如用小圓，小三角形代替；另一種是更為抽象的數(shù)量關(guān)系圖。由于一二年級(jí)兒童年齡較小，從替代物圖開(kāi)始慢慢逐漸使用數(shù)量關(guān)系圖。

（三）用語(yǔ)言表達(dá)連通進(jìn)入數(shù)學(xué)的橋梁。

從具體情境中抽象出四則運(yùn)算的含義需要語(yǔ)言來(lái)承載。而低年級(jí)既有從日常語(yǔ)言向數(shù)學(xué)語(yǔ)言轉(zhuǎn)換的困難，也有語(yǔ)言快速發(fā)展的優(yōu)勢(shì)。結(jié)合學(xué)生特點(diǎn)我們著重研究選擇學(xué)生易懂易說(shuō)的語(yǔ)言以及如何讓學(xué)生能夠充分地說(shuō)。結(jié)合操作與圖示，我們引導(dǎo)學(xué)生遇加法情境時(shí)說(shuō)“要求……？就是求幾和幾合起來(lái)是多少”；遇到減法情境時(shí)說(shuō)“要求……？就是求從幾里去掉幾是多少”；乘法則是“求幾個(gè)幾的和是多少”；除法要分兩種情況，等分除時(shí)，用“把幾平均分成幾份，求每份是多少”，包含除是用“求幾里有多少個(gè)幾”。

（四）用算式將模型簡(jiǎn)約至符號(hào)

一、二年級(jí)初建模型，算式作為最為簡(jiǎn)約的形式，為學(xué)生抽象建模過(guò)程打通最后的一環(huán)。其中最關(guān)鍵的便是運(yùn)算符號(hào)，從情境到動(dòng)作、圖再到語(yǔ)言所表達(dá)的含義，最終定格在算式的運(yùn)算符號(hào)上。兒童從此獲得了印象深刻的含義與運(yùn)算的對(duì)應(yīng)。操作、畫圖、語(yǔ)言、算式四個(gè)環(huán)節(jié)是有機(jī)結(jié)合在一起的。操作時(shí)應(yīng)配合語(yǔ)言表達(dá)，畫圖后也應(yīng)能說(shuō)出運(yùn)算的含義，并且應(yīng)經(jīng)歷多個(gè)情境反復(fù)建構(gòu)。

（五）在運(yùn)用中反復(fù)再現(xiàn)模型

學(xué)習(xí)一種運(yùn)算的含義課時(shí)并不多：加法和減法分別用2 課時(shí)；乘法用3 課時(shí)；除法稍微多一點(diǎn)，如果算上有余數(shù)除法，教材編排了5 個(gè)課時(shí)。在這些課時(shí)里，學(xué)生雖然完整經(jīng)歷概念抽象的必須環(huán)節(jié)，但離建立穩(wěn)固模型相差甚遠(yuǎn)，很容易被新的情境材料或者數(shù)集的擴(kuò)充而干擾。加上記憶的規(guī)律，極易重返模糊狀態(tài)。因此，在后繼的解決實(shí)際問(wèn)題當(dāng)中，應(yīng)當(dāng)反復(fù)再現(xiàn)抽象過(guò)程。此時(shí)相對(duì)于操作，畫圖起到了更為高效表征作用。因此，在解決問(wèn)題中，我們主要采用畫圖、表達(dá)、列式三個(gè)環(huán)節(jié)再現(xiàn)抽象過(guò)程，遇到特別難的情境時(shí)也會(huì)從操作開(kāi)始。如此，在整個(gè)一、二年級(jí)甚至三年級(jí)的解決問(wèn)題學(xué)習(xí)和練習(xí)中，學(xué)生得到了周而復(fù)此的情境到模型的對(duì)應(yīng)，四則運(yùn)算的含義便在豐富的外延體例中建立穩(wěn)固了。

實(shí)踐表明，經(jīng)過(guò)以上策略的教學(xué)實(shí)施，學(xué)生不僅理解了四則運(yùn)算的含義，而且畫圖表達(dá)和語(yǔ)言表達(dá)力強(qiáng)，在具體情境中數(shù)量關(guān)系的辨析力強(qiáng)，長(zhǎng)時(shí)記憶穩(wěn)固。在后續(xù)進(jìn)一步提煉生活實(shí)際問(wèn)題中的常用數(shù)量關(guān)系更加順利，在隨后的學(xué)習(xí)中進(jìn)一步提煉生活實(shí)際問(wèn)題中的常用數(shù)量關(guān)系更加順利，運(yùn)用四則運(yùn)算解決問(wèn)題時(shí)，對(duì)應(yīng)性強(qiáng)，靈活度好，自信心更足，學(xué)習(xí)內(nèi)驅(qū)力更足。