經(jīng)濟(jì)學(xué)中擬齊次生產(chǎn)模型的幾何刻畫

王曉姝 ,計(jì)雪飛 ,杜亞偉 ,富 宇

(1.東北財(cái)經(jīng)大學(xué)投資工程管理學(xué)院,遼寧大連 116024;2.東北財(cái)經(jīng)大學(xué) 數(shù)據(jù)科學(xué)與人工智能學(xué)院,遼寧大連 116024)

§1 引言

在新古典經(jīng)濟(jì)學(xué)的發(fā)展過程中,生產(chǎn)理論是經(jīng)濟(jì)學(xué)最重要的理論基礎(chǔ)之一.生產(chǎn)理論的重要性使其在理論經(jīng)濟(jì)學(xué)和應(yīng)用經(jīng)濟(jì)學(xué)中都得到了廣泛的應(yīng)用.隨著生產(chǎn)理論的發(fā)展,學(xué)者們相繼提出了越來越多的新型生產(chǎn)函數(shù),并進(jìn)行了廣泛的應(yīng)用.目前應(yīng)用最為廣泛的是柯布道格拉斯(C-D)生產(chǎn)函數(shù)和固定替代彈性(CES)生產(chǎn)函數(shù).

柯布-道格拉斯(Cobb-Douglas)生產(chǎn)函數(shù)最早由美國數(shù)學(xué)家Cobb和經(jīng)濟(jì)學(xué)家Douglas于20世紀(jì)30年代初共同提出的,用來描述美國制造業(yè)的生產(chǎn)過程[1].C-D生產(chǎn)函數(shù)的形式簡單并且能夠直觀地描述生產(chǎn)過程,應(yīng)用范圍非常廣泛.C-D生產(chǎn)函數(shù)的一般形式為

其中Q代表工業(yè)總產(chǎn)值,A(t)代表綜合技術(shù)水平,L代表勞動(dòng)力的投入,K是投入的資本.多個(gè)投入要素的C-D生產(chǎn)函數(shù)的形式為

其中xi >0,(i=1,···,n),A是正實(shí)數(shù)并且α1,···,αn是非零實(shí)數(shù).

1961年,Arrow等人[2]提出著名的固定替代彈性(CES)生產(chǎn)函數(shù)

其中Q是產(chǎn)出,K,L分別代表資本和勞動(dòng),b代表技術(shù)進(jìn)步參數(shù),且b>0,a,1?a分別為勞動(dòng)和資金的密集參數(shù),r為替代參數(shù).相應(yīng)地廣義CES 生產(chǎn)函數(shù)的形式為

其中ai,γ,A,ρ是非零實(shí)數(shù),A,ai >0且ρ<1.

近年來,微分幾何領(lǐng)域的學(xué)者們發(fā)現(xiàn)了經(jīng)濟(jì)學(xué)中的某些概念和微分幾何中超曲面的不變量理論具有某種聯(lián)系.例如,對(duì)于C-D生產(chǎn)函數(shù)和CES生產(chǎn)函數(shù)，規(guī)模報(bào)酬與Gauss-Kronecker曲率之間具有有趣的聯(lián)系和對(duì)應(yīng)[3-4].基于這些觀察,學(xué)者們引入了幾何方法對(duì)生產(chǎn)模型進(jìn)行系統(tǒng)的研究與分類,相繼提出了齊次生產(chǎn)函數(shù),擬齊次生產(chǎn)函數(shù),擬和生產(chǎn)函數(shù),擬積生產(chǎn)函數(shù)等[5-12],并研究了這些生產(chǎn)函數(shù)的幾何性質(zhì)和分類問題.研究表明,這些函數(shù)在經(jīng)濟(jì)分析中發(fā)揮了重要的作用.

在文[6],Chen和Vilcu研究了齊次生產(chǎn)函數(shù)所對(duì)應(yīng)超曲面的平坦性.對(duì)于二維情形,他們證明了如下定理1.1.

定理1.1[6]令f(x1,x2)為二階可微,非常的r齊次生產(chǎn)函數(shù).那么曲面f(x1,x2)為平坦的當(dāng)且僅當(dāng)f是線性齊次的,即r=1,或者擬線性生產(chǎn)函數(shù)

其中a,b為常數(shù).

擬和(Quasi-sum)生產(chǎn)函數(shù)具有表達(dá)式

其中F是嚴(yán)格單調(diào)函數(shù),而且F對(duì)于x1,···,xn的一階偏導(dǎo)數(shù)均大于0.Chen[11]研究了滿足平坦性擬和生產(chǎn)函數(shù)的分類,證明了如下定理1.2.

定理1.2[11]令f(x1,x2)為二階可微的擬和生產(chǎn)函數(shù).那么擬和曲面f(x1,x2)是平坦當(dāng)且僅當(dāng)f的表達(dá)式為下式之一.

回顧擬齊次生產(chǎn)函數(shù)的定義如下.

定義1.1[9]如果一個(gè)含有n個(gè)投入要素的生產(chǎn)函數(shù)f(x1,···,xn)滿足關(guān)系

其中λ >0,q ∈R,g=(g1,···,gn)/=(0,···,0),則稱此函數(shù)具有權(quán)重g=(g1,···,gn)的q次擬齊次生產(chǎn)函數(shù)(Quasi-homogeneous function).

當(dāng)g1=g2=···=gn,擬齊次生產(chǎn)函數(shù)就變成了齊次生產(chǎn)函數(shù).因此這類函數(shù)更廣,包括了許多經(jīng)典的生產(chǎn)函數(shù),如C-D生產(chǎn)函數(shù),CES生產(chǎn)函數(shù)等.受上述工作的啟發(fā),本文研究擬齊次生產(chǎn)函數(shù)所對(duì)應(yīng)生產(chǎn)曲面的幾何和分類.特別是在平坦和極小的條件下分別給出了擬齊次生產(chǎn)函數(shù)的分類結(jié)果.

定理1.3令f(x1,x2)為二階可微的擬齊次生產(chǎn)函數(shù).那么擬齊次生產(chǎn)曲面為平坦的,當(dāng)且僅當(dāng)f是線性齊次的,或者f的表達(dá)式為下式之一.

定理1.4令f(x1,x2)為二階可微的擬齊次生產(chǎn)函數(shù).那么擬齊次生產(chǎn)曲面是一個(gè)極小曲面,當(dāng)且僅當(dāng)f是線性齊次的;或者f(x1,x2)=,其中g(shù)2/=0;或者f(x1,x2)=其中g(shù)1/=0.

本文得到的結(jié)果不僅對(duì)經(jīng)濟(jì)學(xué)中生產(chǎn)模型理論具有一定的理論意義,而且對(duì)微分幾何的曲面論也具有一定的意義.事實(shí)上,平坦曲面和極小曲面的研究歷來是微分幾何領(lǐng)域一個(gè)重要的研究課題,受到幾何學(xué)家的廣泛關(guān)注.需要指出的是,對(duì)于任意投入要素?cái)M齊次生產(chǎn)函數(shù),其分類和幾何較為復(fù)雜,解決相應(yīng)的極小超曲面和平坦超曲面的完全分類很困難.

§2 預(yù)備知識(shí)

在經(jīng)濟(jì)學(xué)中,每一個(gè)生產(chǎn)函數(shù)f(x1,···,xn)是一個(gè)n元函數(shù),可以定義為n+1維歐氏空間En+1中的一個(gè)非參數(shù)化超曲面的圖

設(shè)Mn是n+1維歐氏空間En+1的一個(gè)超曲面,定義高斯映射v:Mn →Sn ?En+1.此高斯映射是局部的,當(dāng)超曲面可定向時(shí)為整體的,而且高斯映射v的微分dv能定義一個(gè)外蘊(yùn)量,即形狀算子.由于在任意一點(diǎn)p ∈Mn處,切空間TpM是一個(gè)內(nèi)積空間,形狀算子Sp為TpM上的線性算子,有

其中u,v ∈TpM,且g是Mn上的度量.結(jié)合超曲面的第二基本形式,形狀算子Sp滿足關(guān)系

其中h為第二基本型,ξ為超曲面的法方向.形狀算子Sp的行列式稱為Gauss-Kronecker曲率,記為Gp.當(dāng)n=2時(shí),即為高斯曲率;而且當(dāng)一個(gè)曲面的高斯曲率為0時(shí),則稱該曲面是可展的.形狀算子Sp的跡即為平均曲率.和高斯曲率不同的是,根據(jù)高斯絕妙定理,高斯曲率是一個(gè)內(nèi)蘊(yùn)量,而平均曲率是一個(gè)外蘊(yùn)量.外蘊(yùn)量與超曲面浸入到外圍空間中的方式有關(guān).如果一個(gè)超曲面的平均曲率為0,那么該超曲面稱為極小的.

根據(jù)以上概念可以總結(jié)出本文涉及到的相關(guān)公式.對(duì)于一個(gè)如式(8)的生產(chǎn)函數(shù)對(duì)應(yīng)的生產(chǎn)超曲面,相關(guān)的結(jié)論如下[6,11].

1.Gauss-Kronecker曲率G

2.平均曲率H

當(dāng)超曲面的平均曲率H=0時(shí),超曲面是極小的.

4.黎曼曲率張量R

當(dāng)超曲面的黎曼曲率張量R=0時(shí),超曲面是平坦的.

顯然當(dāng)n=2時(shí),截面曲率,Gauss-Kronecker曲率G和黎曼曲率張量R三者相同.

§3 擬齊次生產(chǎn)函數(shù)的分類

在本節(jié),結(jié)合擬齊次生產(chǎn)函數(shù)的幾何特性,給出了擬齊次生產(chǎn)函數(shù)的分類結(jié)果.關(guān)于擬齊次生產(chǎn)函數(shù),首先回顧一個(gè)基本結(jié)論.

命題3.1[9]如果f是一個(gè)擬齊次生產(chǎn)函數(shù),那么至少存在一個(gè)指標(biāo)i ∈{1,···,n},使得f可以用公式

基于定義1.1和命題3.1,下面證明本文的主要定理.

定理1.3的證明考慮投入要素為兩個(gè)的情況,結(jié)合式(7)和(15),不失一般性,有

由于在本節(jié)中假設(shè)生產(chǎn)函數(shù)對(duì)應(yīng)的超曲面是平坦的,由黎曼曲率張量的定義得知

將(18)代入至(19),得

其中

接下來,根據(jù)q是否等于g1來對(duì)式(20) 進(jìn)行分類討論.

1.當(dāng)q=g1時(shí),式(20)可化簡為

考慮下面兩種情形.

(a) 當(dāng)g1=g2時(shí),式(22)成立.此時(shí)q=g1=g2,f為線性齊次生產(chǎn)函數(shù),表達(dá)式為f(x1,x2)=c1x1+c2x2,其中c1,c2>0.

(b) 當(dāng)g1/=g2時(shí),由式(22)可得

當(dāng)g2=0時(shí),結(jié)合式(23) 可知h′=0,此時(shí)h(u)為常數(shù),顯然不符合實(shí)際情況.因此如果g1/=g2,g2不可能為0;當(dāng)g2/=0時(shí),式(23) 整理為

積分得,h(u)的表達(dá)式為

其中C1和C2為常數(shù).結(jié)合式(17),定理1.3 中的第1 種情況得證.

2.當(dāng)q/=g1時(shí),根據(jù)g1是否等于g2對(duì)式(20)進(jìn)行分類討論.

(a) 當(dāng)g1=g2時(shí),式(20)化簡為

式(26)兩邊同時(shí)除以h2,得到

通過求解式(27)有

結(jié)合式(17),定理1.3中的第2種情況得證.

(b) 當(dāng)g1/=g2時(shí),根據(jù)g2是否等于0來對(duì)式(20)進(jìn)行分類討論.

i.當(dāng)g2=0時(shí),式(20)化簡為

式(29) 兩邊同時(shí)除以h2,化簡為

通過求解式(30)可得

結(jié)合式(17),定理1.3中的第3種情況得證.

ii.當(dāng)g2/=0時(shí),令

進(jìn)而有

將式(32)-(34)代入至式(20)中有

其中

通過求解式(35)有

結(jié)合式(17),定理1.3中的第4種情況得證.

定理1.4 的證明考慮擬齊次生產(chǎn)函數(shù)的超曲面是極小的.根據(jù)式(12)有

將式(18)代入至上式得

其中

用u和x1替換x2,上式經(jīng)整理得

對(duì)式(44)中的x2求一階偏導(dǎo)數(shù)

再對(duì)式(44)中的x1求一階偏導(dǎo)數(shù)

如果g1=g2,那么該生產(chǎn)函數(shù)變?yōu)辇R次生產(chǎn)函數(shù),根據(jù)文[5]中結(jié)果,f為線性齊次生產(chǎn)函數(shù),這是定理1.3的一種特殊情況.

接下來,假設(shè)g1/=g2.根據(jù)q是否等于g1和q2來對(duì)式(48)進(jìn)行求解.

1.當(dāng)q=g1時(shí),式(44)化簡為

由于g1/=g2,由式(49)可得

將式(50) 代入至式(44)并結(jié)合本小節(jié)中q=g1的前提條件有

結(jié)合式(40)與式(51) 可得

求解式(52)有

結(jié)合式(17),f的表達(dá)式為

2.當(dāng)q=g2時(shí),式(48)化簡為B(u)=0.類似于上面步驟,利用(41) 求解有

結(jié)合式(17),f的表達(dá)式為

3.當(dāng)q/=g1且q/=g2時(shí),對(duì)式(48)中的x2求偏導(dǎo)

再對(duì)式(48)中的x1求偏導(dǎo)

結(jié)合式(56)和(57)可得

將式(58)兩邊同乘x1,結(jié)合(48),整理得

注意到,式(59) 和式(60) 同時(shí)成立,由于q/=g1且q/=g2,因此B(u)=C(u)=0.再由(39),可知A(u)=0.利用(41),求解方程B(u)=0得

此時(shí),利用(42),方程C(u)=0約化為

將(61)代入(62)可得

由于c1/=0,q/=0且g1/=g2,因此從上式可知c2=0且

進(jìn)一步,將(61)代入(40),即A(u)=0約化為

合并(63) 和(64) 可得q=g2,與假設(shè)矛盾.

綜上所述,定理1.4得證.