形式背景的AE-仿緊性

吳國俊,徐羅山

(揚(yáng)州大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,江蘇揚(yáng)州 225002)

§1 引言

形式概念分析[1]是德國數(shù)學(xué)家B.Ganter和R.Wille于二十世紀(jì)八十年代初期基于序結(jié)構(gòu)理論提出的一種數(shù)據(jù)分析和知識(shí)處理的方法.形式背景是形式概念分析的核心概念,它是表示知識(shí)的基本載體.近年來,形式概念分析廣泛應(yīng)用于機(jī)器學(xué)習(xí),數(shù)據(jù)挖掘和信息處理等領(lǐng)域,激發(fā)了學(xué)者對(duì)形式概念分析的數(shù)學(xué)思考.Krtzsch在文獻(xiàn)[2]中從范疇論角度研究了形式背景間的各種態(tài)射.除了序結(jié)構(gòu)和范疇論外,拓?fù)鋵W(xué)也成功地應(yīng)用到形式概念分析及其特殊類型的廣義近似空間理論的的研究中.李伯權(quán)等在文獻(xiàn)[3]中討論了形式背景屬性約簡和拓?fù)鋵W(xué)中子基約簡的關(guān)系.Pei Zheng等在文獻(xiàn)[4-5]中對(duì)形式背景進(jìn)行了拓?fù)涫窖芯?在形式背景的屬性集上建立了相關(guān)拓?fù)?楊凌云等在文獻(xiàn)[6-8]中對(duì)形式背景在對(duì)象集上建立了多個(gè)拓?fù)洳⒂懻撍鼈冎g的關(guān)系,又將拓?fù)淇臻g的分離性,緊致性推廣到形式背景中并推廣形式背景到L-形式背景.本文進(jìn)一步將拓?fù)淇臻g的仿緊性推廣到形式背景中,定義形式背景的AE-仿緊性,并討論相關(guān)性質(zhì).

§2 預(yù)備知識(shí)

本文中符號(hào)P(X)表示集合X的冪集,(X,T)是一個(gè)拓?fù)淇臻g,N是自然數(shù)集.

定義2.1[1]形式背景K是一個(gè)三元組(U,V,R),其中U是對(duì)象集且U中的元素稱為對(duì)象,V是屬性集且V中的元素稱為屬性.R ?U ×V是從U到V的一個(gè)二元關(guān)系,(x,y)∈R或xRy表示對(duì)象x具有屬性y,(x,y)/∈R或xRcy表示對(duì)象x不具有屬性y.

本文中,形式背景所涉及的對(duì)象集和屬性集都可以是無限的,并簡稱形式背景為背景.

定義2.2[1]設(shè)(U,V,R)是一個(gè)背景,定義兩個(gè)導(dǎo)出算子:α:P(U)→P(V)使得?A ∈P(U),α(A)={y ∈V | ?a ∈A,aRy};ω:P(V)→P(U)使得?B ∈P(V),ω(B)={x ∈U |?b ∈B,xRb}.對(duì)x ∈U,y ∈V,記α(x)=α({x})={y ∈V | xRy},并稱之為x的對(duì)象內(nèi)涵(object intent);記ω(y)=ω({y})={x ∈U |xRy},并稱之為y的屬性外延(attribute extent).

注2.1對(duì)于??U,有α(?)=V;對(duì)于??V,有ω(?)=U.若對(duì)象x滿足α(x)=?,則稱x行為空行.若屬性y滿足ω(y)=?,則稱y列為空列.容易看出,背景(U,V,R)無空行等價(jià)于無特殊說明,約定本文涉及的背景均無空行.

注2.2[1]在背景K=(U,V,R)中,對(duì)于Ai ?U和Bi ?V(i ∈I),有

例2.1[6-7]設(shè)(X,T)是一個(gè)拓?fù)淇臻g,令K∈=(X,T,∈),其中∈是通常的屬于關(guān)系,則K∈是一形式背景.?A ?X,?U ?T,有α(A)={U ∈T | ?a ∈A,a ∈U}={U ∈T |A ? U}和ω(U)={x ∈ X | ?U ∈ U,x ∈ U}=∩U.特別地,?x ∈ X和?U ∈ T,有α(x)={V ∈T |x ∈V}=為x點(diǎn)處的開鄰域基,ω(U)={y ∈X |y ∈U}=U.

定義2.3[1]設(shè)K=(U,V,R)是背景,則稱背景L=(H,N,R ∩(H ×N))是K的子背景,其中H ?U,N ?V.

注2.3為避免混淆,如沒特別說明,本文將子背景L=(H,N,R ∩(H ×N))的兩個(gè)導(dǎo)出算子分別記作α1,ω1.此處,對(duì)任意的B ?N,有ω1(B)={x ∈H | ?y ∈B,xRy}.易見ω1(B)=ω(B)∩H.對(duì)于導(dǎo)出算子α1有類似性質(zhì).

定義2.4[7]背景K=(U,V,R)的子背景L=(H,N,R ∩(H ×N))稱為嵌入子背景,如果對(duì)任意v ∈V,存在n ∈N使得ω1(n)=ω(v)∩H,其中ω1(n)是n在L中的屬性外延.

例2.2設(shè)(X,T)為拓?fù)淇臻g,(Y,TY)為X的子空間.則L∈=(Y,TY,∈)為K∈=(X,T,∈)的嵌入子背景.

命題2.1設(shè)形式背景K=(U,V,R)無空行.則K的任一嵌入子背景L=(H,N,R ∩(H ×N))也無空行.

證若形式背景K無空行,則=U.因L是嵌入子背景,故?v ∈V,?n ∈N,使ω(v)∩H=ω1(n).于是從而=H,這說明嵌入子背景L無空行.

定義2.5[6-7]設(shè)K1=(U1,V1,R1)和K2=(U2,V2,R2)是兩個(gè)背景.從K1到K2的一個(gè)信息態(tài)射(文獻(xiàn)[6]中稱背景映射)(f,g)是指一對(duì)映射f:U1→U2和g:V2→V1滿足?x ∈U1,?y ∈V2,有f(x)R2y ?xR1g(y).

例2.3設(shè)(X,TX),(Y,TY)是兩拓?fù)淇臻g,f:X →Y是連續(xù)映射.則(f,f?1)是形式背景K∈=(X,TX,∈)到形式背景L∈=(Y,TY,∈)的信息態(tài)射.反過來,若(f,g)是背景K∈=(X,TX,∈)到背景L∈=(Y,TY,∈)的信息態(tài)射,則?V ∈TY,?x ∈X,x ∈f?1(V)?f(x)∈V ?x ∈g(V),于是f?1(V)=g(V)∈TX,這說明f:X →Y是連續(xù)映射,且g=f?1:TY →TX.

關(guān)于形式背景的有關(guān)概念還可參見[1,9-10],關(guān)于拓?fù)鋵W(xué)的基本概念可見[11-12].

§3 形式背景的AE-仿緊性

眾所周知,拓?fù)淇臻gX稱為仿緊的是指X的任一開覆蓋都存在局部有限開加細(xì)覆蓋.本節(jié)在形式背景中引入AE-覆蓋,AE-局部有限覆蓋的概念,進(jìn)而類似地定義形式背景的AE-仿緊性.

定義3.1設(shè)K=(U,V,R)是形式背景,U1?U.若存在B ?V,使得A={ω(v)|v ∈B}滿足U1?∪A,則稱A為U1的屬性外延覆蓋,或稱A為U1的AE-覆蓋.

設(shè)A和B是兩個(gè)集族,稱A是B的一個(gè)加細(xì),是指A中每個(gè)成員都包含于B的某個(gè)成員中.

定義3.2[7]設(shè)K=(U,V,R)是形式背景.若?B ?V,當(dāng)A={ω(v)| v ∈B}滿足U ?∪A時(shí),總存在有限子族B ?A使U ?∪B,則稱K為AE-緊致背景(文獻(xiàn)[7]中稱緊致背景).

換言之,K為AE-緊致背景當(dāng)且僅當(dāng)U的任一AE-覆蓋均存在有限子覆蓋.又容易看出,若U的每個(gè)AE-覆蓋A都有一個(gè)有限AE-覆蓋B是A的加細(xì),則K是AE-緊致的.

定義3.3設(shè)K=(U,V,R)是形式背景,U1?U,B ?V,A={ω(v)| v ∈B}.若對(duì)任意x ∈U1,存在v ∈V,使x ∈ω(v)且ω(v)僅與A中有限個(gè)成員相交不空,則稱A是U1的AE-局部有限集族.進(jìn)一步,若A又是U1的AE-覆蓋.則稱A是U1的AE-局部有限覆蓋.

注3.1AE-覆蓋,AE-局部有限集族均是由背景的某些屬性外延組成.當(dāng)涉及背景K和子背景L時(shí),使用“AE-覆蓋”,“AE-局部有限集族”必須明確是在K中還是在L中.

定義3.4設(shè)K=(U,V,R)是形式背景,若?B ?V,當(dāng)A={ω(v)|v ∈B}滿足U ?∪A時(shí),總存在U的AE-局部有限覆蓋B是A的加細(xì),則稱K為AE-仿緊背景.

注3.2若背景K=(U,V,R)的對(duì)象集U或?qū)傩约疺是有限集,則該背景必為AE-緊致的.若背景K是AE-緊致的,則該背景必為AE-仿緊的.

在背景K∈=(X,T,∈)中,因?U ∈T,有ω(U)=U,故有下一命題.

命題3.1拓?fù)淇臻g(X,T)是仿緊空間當(dāng)且僅當(dāng)K∈=(X,T,∈)是AE-仿緊背景.

設(shè)集族S ?P(X).稱S是濾向的是指,?A,B ∈S,?C ∈S,使得C ?A ∩B;稱集族U ?S是S的下集是指,?A ∈U,?B ∈S,當(dāng)B ?A時(shí),總有B ∈U.

命題3.2設(shè)K=(U,V,R)是一形式背景,對(duì)任一x ∈U,Sx={ω(v)|x ∈ω(v)且v ∈V}是濾向的,且存在vx ∈V使x ∈ω(vx)為有限集.若V={ω(vx)| x ∈U}中每個(gè)元僅與有限個(gè)成員相交不空,則K是AE-仿緊背景.

證可斷言?x ∈U均有包含它的最小屬性外延ω(ξx).事實(shí)上,對(duì)x ∈U,由條件存在vx ∈V,使x ∈ω(vx)且ω(vx)是有限集.令Ux={ω(v)| x ∈ω(v)?ω(vx)且v ∈V},由ω(vx)∈Ux是有限的知,Ux是Sx的非空有限子族.因Sx是濾向的且Ux有限,故存在ξx ∈V使得ω(ξx)∈Sx為Ux的下界.因Ux在Sx中是下集,故ω(ξx)∈Ux,于是ω(ξx)為Ux的最小元.由Sx是濾向的,易證ω(ξx)也是Sx的最小元,這說明斷言成立.

記B={ω(ξx)| x ∈U}.設(shè)A是U上的任一AE-覆蓋,則B是A的加細(xì)且覆蓋U.從而B是AE-覆蓋V的加細(xì).對(duì)任一x ∈U,因x ∈ω(ξx)?ω(vx)且ω(vx)與V中有限個(gè)元相交不空,故對(duì)任一x ∈U,ω(ξx)僅與V中有限個(gè)成員相交不空.由B是V的加細(xì)且V中每個(gè)元都是有限集知,ω(ξx)僅與B中有限個(gè)成員相交不空.這說明B是U的AE-局部有限覆蓋.綜上所證,K是AE-仿緊背景.

推論3.1若拓?fù)淇臻gX任一點(diǎn)x處都存在開鄰域Vx為有限集,且V={Vx | x ∈X}中每個(gè)元僅與有限個(gè)成員相交不空,則X是仿緊空間.

證在背景K∈=(X,T,∈)中,因?G ∈T,有ω(G)=G,故Sx={ω(G)| x ∈ω(G)且G ∈T}為x處的開鄰域基由于拓?fù)淇臻gX每點(diǎn)的開鄰域基是濾向的,從而背景K∈滿足命題3.2的條件,于是背景K∈=(X,T,∈)是AE-仿緊背景,由命題3.1知X是仿緊空間.

命題3.2中條件“V={ω(vx)|x ∈U}中每個(gè)元僅與有限個(gè)成員相交不空”不可缺少,否則命題不成立,反例如下.

例3.1設(shè)X=N∪{∞},T={A∪{∞}|A ?N}∪{?}.取開覆蓋A={{n,∞}|n ∈N},則A不存在局部有限的開加細(xì)覆蓋,(X,T)不是仿緊空間,從而背景K∈=(X,T,∈)不是AE-仿緊背景.對(duì)于K∈,雖然對(duì)每一n ∈N,可取Wn={n,∞}=ω({n,∞})∈T是有限集,但集族W={ω(Wn)| n ∈N}并不滿足命題3.2中條件“V={ω(vx)| x ∈U}中每個(gè)元僅與有限個(gè)成員相交”.

§4 AE-仿緊背景的性質(zhì)

類似于形式背景的AE-緊致性,背景的AE-仿緊性也可被適當(dāng)?shù)男畔B(tài)射所保持.

引理4.1設(shè)(f,g)是形式背景K1=(U1,V1,R1)到形式背景K2=(U2,V2,R2)的信息態(tài)射,則下列兩條成立

(1) 若f是滿射,則?B ?V2,有f(ω(g(B)))=ω(B);

(2) 若g是滿射,則?A ?U1,有g(shù)(α(f(A)))=α(A).

證以(1)為例證之,(2)類似可證.若B=?,則ω(B)=U2,ω(g(B))=U1,由f是滿射,故有f(ω(g(B)))=f(U1)=U2=ω(B).若B/=?,則對(duì)任意x ∈ω(g(B))及任意b ∈B,有x ∈ω(g(b)),即xR1g(b).因(f,g)是信息態(tài)射,故f(x)R2b,即f(x)∈ω(b),由b ∈B的任意性知f(x)∈ω(B),從而f(ω(g(B)))?ω(B).對(duì)任意的y ∈ω(B),由f是滿射,知存在x ∈U1,使f(x)=y,于是?b ∈B,有f(x)R2b.因(f,g)是信息態(tài)射,故xR1g(b),即x ∈ω(g(b)).注意到b ∈B的任意性,有x ∈ω(g(B)).于是y=f(x)∈f(ω(g(B))),從而ω(B)?f(ω(g(B))).綜上所證,f(ω(g(B)))=ω(B).

定理4.1設(shè)K1=(U1,V1,R1)和K2=(U2,V2,R2)是兩個(gè)背景,(f,g)是從K1到K2的信息態(tài)射,其中f是雙射,g是滿射.若K1是AE-仿緊的,則K2也是AE-仿緊的.

證設(shè)A={ω(v)| v ∈B}是U2的任一AE-覆蓋,其中B ?V2.作W={ω(g(v))| v ∈B},由f是雙射及引理4.1知,f(∪W)=∪v∈B f(ω(g(v)))=∪v∈B ω(v)=∪A=U2,從而U1=∪W,這說明W是U1的AE-覆蓋.因?yàn)镵1是AE-仿緊的,所以存在E ?V1,使V={ω(v)|v ∈E}是U1的AE-局部有限覆蓋且加細(xì)W.由于g是滿射,從而對(duì)任意v ∈E,存在sv ∈V2,使v=g(sv).令B1={sv | v ∈E} ?V2,并作B={f(ω(g(s)))| s ∈B1}.則由引理4.1知B={ω(s)| s ∈B1}且有∪B=∪s∈B1f(ω(g(s)))=f(∪v∈E ω(v))=f(∪V)=f(U1)=U2,從而B是U2的AE-覆蓋.

斷言B是A的AE-加細(xì).事實(shí)上,?sv ∈B1,有g(shù)(sv)=v ∈E.因V是W的AE-加細(xì)且ω(v)∈V,故存在u ∈B使ω(g(u))∈W且ω(v)?ω(g(u)).由引理4.1知f(ω(v))=f(ω(g(sv)))=ω(sv),f(ω(g(u)))=ω(u),從而ω(sv)?ω(u),由sv ∈B1的任意性及ω(u)∈A知B加細(xì)A.

下證B是U2的AE-局部有限集族.對(duì)每一y ∈U2,存在x ∈U1使y=f(x).因V是U1的AE-局部有限集族,故存在vx ∈V1使x ∈ω(vx)且ω(vx)只與V中有限個(gè)成員相交不空.因g是滿射,故對(duì)vx ∈V1,存在ux ∈V2使g(ux)=vx,于是y ∈f(ω(vx))=f(ω(g(ux)))=ω(ux).由f是雙射及引理4.1知對(duì)任意sv ∈B1,有如下等式

其中g(shù)(sv)=v ∈E.由此并利用ω(vx)只與V中有限個(gè)成員相交不空這一結(jié)論可推得ω(ux)只與B中有限個(gè)成員相交不空.由y ∈U2的任意性知B是U2的AE-局部有限集族.

綜上,因U2的任一AE-覆蓋A均有AE-局部有限加細(xì)覆蓋B存在,故K2是AE-仿緊的.

下一命題利用K的屬性外延給出了K的嵌入子背景L的AE-仿緊性的充分條件.

命題4.1設(shè)K=(U,V,R)是背景且L=(H,N,R ∩(H ×N))是K的嵌入子背景,若對(duì)任意B ?V,當(dāng)A={ω(v)| v ∈B}滿足H ?∪A時(shí),總存在H的在K中的AE-局部有限覆蓋B加細(xì)A,則L是AE-仿緊的.

證設(shè)B ?N及A1={ω1(v)| v ∈B}滿足H ?∪A1.令A(yù)={ω(v)| v ∈B},顯然A是H的在K中的AE-覆蓋.由命題假設(shè)知存在H的在K中的AE-局部有限覆蓋B={ω(v)|v ∈B1}加細(xì)A,其中B1是V的某子集.令B1={ω(v)∩H |v ∈B1},則對(duì)任意v ∈B1,因L是嵌入子背景,故存在sv ∈N使ω1(sv)=ω(v)∩H.作B2={sv |v ∈B1}?N,則B1={ω1(s)|s ∈B2}.由∪B ?H知∪B1==H,故B1是H在L中的AE-覆蓋.

斷言B1是A1的加細(xì).事實(shí)上,任取ω1(s)∈B1,存在v ∈B1使ω1(s)=ω(v)∩H,這時(shí)ω(v)∈B.由B為A的加細(xì)知,存在u ∈B使ω(v)?ω(u),這時(shí)ω1(u)∈A1,從而ω1(s)=ω(v)∩H ?ω(u)∩H=ω1(u),這說明B1是A1的加細(xì).

下證B1是H在L中的AE-局部有限集族.對(duì)于每一h ∈H,因B是H在K中的AE-局部有限覆蓋,故存在v ∈V,使h ∈ω(v)且ω(v)僅與B中有限個(gè)成員相交不空,從而ω(v)∩H僅與B1中有限個(gè)成員相交不空.因L是嵌入子背景,故存在n ∈N使ω(v)∩H=ω1(n).這時(shí)h ∈ω1(n)且ω1(n)只與B1中有限個(gè)成員相交不空,這說明B1是H在L中的AE-局部有限集族.

綜上所證,可知L是AE-仿緊背景.

推論4.1設(shè)(X,T)是拓?fù)淇臻g,Y ?X.若由X中的開集構(gòu)成的Y的每一覆蓋A,總存在由X中開集構(gòu)成的Y的局部有限覆蓋B且加細(xì)A,則Y作為子空間是仿緊空間.

證記TY為子空間Y的拓?fù)?由子空間拓?fù)涞亩x知,L∈=(Y,TY,∈)為K∈=(X,T,∈)的嵌入子背景.因?qū)θ我獾腢 ∈T,有ω(U)=U,故L∈滿足命題4.1的條件,于是L∈為AE-仿緊背景,從而由命題3.1得Y作為子空間是仿緊空間.

定義4.1[7]設(shè)K=(U,V,R)是背景,稱K的子背景L=(H,N,R ∩(H×N))是閉子背景,若存在有限集F ?V使H=U ?ω(F).

文[7]給出了AE-緊致性關(guān)于閉子背景是遺傳的結(jié)論.關(guān)于AE-仿緊性,有如下結(jié)論.

定理4.2設(shè)K=(U,V,R)是AE-仿緊背景,L=(H,N,R ∩(H ×N))是K的嵌入子背景,且H=U ?ω(f),其中f ∈V.則L也是AE-仿緊背景.

證設(shè)B ?N及A={ω1(v)=ω(v)∩H |v ∈B}滿足H ?∪A.令A(yù) ′={ω(v)|v ∈B},顯然H ?∪A ′.令A(yù) ?=A ′∪{ω(f)},則U ?∪A ?.由于K是AE-仿緊的,故存在U的在K中的AE-局部有限覆蓋B1={ω(v)| v ∈B1}是A ?的加細(xì),其中B1?V.記B2={ω(v)∩H |v ∈B1}?{?},B2={v ∈B1| ω(v)∩H/=?}.因L是嵌入子背景,故對(duì)任意v ∈B2,存在sv ∈N使ω(v)∩H=ω1(sv).作={sv |v ∈B2}?N,則B2={ω1(s)|s ∈},即B2是由L的某些非空屬性外延組成的集族.因B1是U的AE-覆蓋,故于是B2是H的在L中的一個(gè)AE-覆蓋.

斷言B2加細(xì)A.事實(shí)上,對(duì)任意v ∈B2,有ω(v)∈B1和ω(v)∩H ∈B2,由B1是A ?的加細(xì)知,存在ω(n)∈A ?=A ′ ∪{ω(f)},使ω(v)?ω(n),于是ω(v)∩H ?ω(n)∩H=ω1(n).因ω(v)∩H/=?,故ω(v)?ω(f),從而ω(n)∈A ′,ω1(n)∈A,于是B2也是A的一個(gè)加細(xì).

下證B2是H的在L中的一個(gè)AE-局部有限集族.由B1是U的在K中的AE-局部有限集族知,?h ∈H ?U,?v ∈V,使h ∈ω(v),且ω(v)僅與B1中有限個(gè)成員相交不空.從而ω(v)∩H僅與B2中有限個(gè)成員相交不空.因L是嵌入子背景,故存在n ∈N使ω(v)∩H=ω1(n).這時(shí)有h ∈ω1(n)且ω1(n)與B2中有限個(gè)成員相交不空.這說明B2是H的在L中的AE-局部有限集族.

綜上所證,可知L是AE-仿緊背景.

推論4.1[11-12]若(X,T)是仿緊拓?fù)淇臻g,(Y,TY)是X的閉子空間,則Y是仿緊的.

證由子空間拓?fù)涞亩x知,L∈=(Y,TY,∈)為K∈=(X,T,∈)的嵌入子背景.因Y是X的閉子空間,故存在G ∈T,使Y=X ?G=X ?ω(G).由定理4.2和命題3.1知L∈是AE-仿緊的,從而Y是仿緊的.

§5 形式背景范疇中乘積對(duì)象的AE-仿緊性

本節(jié)受文獻(xiàn)[13]的啟發(fā)考慮形式背景范疇的有限乘積對(duì)象的表示及其AE-仿緊性,所用到的范疇論知識(shí)來自文獻(xiàn)[14].

命題5.1以形式背景為對(duì)象,以信息態(tài)射為態(tài)射可形成一個(gè)范疇,稱為形式背景范疇,記為FCC.

證設(shè)(f1,g1)是從K1=(U1,V1,R1)到K2=(U2,V2,R2)的信息態(tài)射,(f2,g2) 是從K2=(U2,V2,R2)到K3=(U3,V3,R3)的信息態(tài)射.定義信息態(tài)射的復(fù)合(f2,g2)?(f1,g1)=(f2?f1,g1?g2),則可直接驗(yàn)證關(guān)于該復(fù)合,形式背景為對(duì)象,信息態(tài)射為態(tài)射形成一個(gè)范疇.

定理5.1設(shè)K1=(U1,V1,R1),K2=(U2,V2,R2)是兩個(gè)形式背景,它們?cè)谛问奖尘胺懂燜CC中的乘積對(duì)象可表示為K=(U1× U2,V12,?),其中U1× U2為U1,U2的笛卡爾積,V12是V1,V2的無交并,關(guān)系??(U1×U2)×(V12)定義為：?(u1,u2)∈U1×U2,v1∈V1,v2∈V2,(u1,u2)?v1?u1R1v1,(u1,u2)?v2?u2R2v2.

證設(shè)pi:U1× U2→Ui是投射使得pi(u1,u2)=ui ∈Ui(i=1,2).又設(shè)qi:Vi →V12為含入映射使得qi(vi)=vi ∈Vi ?V12(i=1,2).斷言(p1,q1)為K到K1的信息態(tài)射,(p2,q2)為K到K2的信息態(tài)射.事實(shí)上,對(duì)(u1,u2)∈U1×U2,v1∈V1,由關(guān)系?和q1的定義可得

這說明(p1,q1)為K到K1的信息態(tài)射.同理,(p2,q2)為K到K2的信息態(tài)射.

對(duì)任一給定的形式背景L=(U,V,R)及信息態(tài)射(f1,g1) :L→K1和(f2,g2) :L→K2需證明存在唯一的信息態(tài)射(f,g):L→K使(p1,q1)?(f,g)=(f1,g1)和(p2,q2)?(f,g)=(f2,g2).

存在性作f:U →U1× U2使?u ∈U,f(u)=(f1(u),f2(u)),則p1?f(u)=f1(u),p2?f(u)=f2(u),由u的任意性知f1=p1?f1,f2=p2?f2.作g:V12→V,使?v1∈V1?V12,g(v1)=g1(v1),?v2∈V2?V12,g(v2)=g2(v2).因q1:V1→V12是含入映射,故g(q1(v1))=g(v1)=g1(v1),由v1的任意性知g ?q1=g1,同理g ?q2=g2.從而有

斷言(f,g)是從L到K的信息態(tài)射,事實(shí)上,對(duì)u ∈U,v1∈V1?V1×V2,v2∈V2?V1×V2,有f(u)?v1?(f1(u),f2(u))?v1?f1(u)R1v1.又由(f1,g1)為L到K1的信息態(tài)射知f1(u)R1v1?uRg1(v1).因g1(v1)=g(v1),故f(u)?v1?uRg(v1),同理有f(u)?v2?uRg(v2).這說明(f,g)是從L到K信息態(tài)射.

唯一性假設(shè)另有從L到K的信息態(tài)射(f′,g′)使(p1,q1)?(f′,g′)=(f1,g1),(p2,q2)?(f′,g′)=(f2,g2).則對(duì)任意u ∈U,v1∈V1?V1×V2,v2∈V2?V1×V2,有

由u的任意性知f=f′.又易見

同理g(v2)=g′(v2).由v1,v2的任意性知g=g′.從而滿足條件的信息態(tài)射是唯一的.

綜上所證,定理中給出的K=(U1×U2,V12,?)即為K1,K2在范疇FCC中的乘積對(duì)象.

在拓?fù)淇臻g范疇中,緊致空間與仿緊空間的的乘積仍是仿緊空間,兩個(gè)仿緊空間的乘積不必仿緊.但在形式背景范疇FCC中有如下更強(qiáng)的結(jié)論.

定理5.2在形式背景范疇FCC中,兩個(gè)AE-仿緊背景的乘積對(duì)象仍是AE-仿緊背景.

下面證明B是U1×U2的AE-局部有限集族.對(duì)任意(u1,u2)∈U1×U2,由C是U2的AE-局部有限覆蓋知,存在v2∈V2使u2∈ω2(v2)且ω2(v2)僅與C中有限個(gè)成員相交,這時(shí)(u1,u2)∈ω(v2)=U1× ω2(v2).因?ω(c)=U1× ω2(c)∈B有ω(v2)∩ω(c)=U1×(ω2(v2)∩ω2(c)),故由ω2(c)∈C且ω2(v2)僅與C中有限個(gè)成員相交,知ω(v2)僅與B中有限個(gè)成員相交,這說明B是U1×U2的AE-局部有限集族.

綜上所證,可知K為AE-仿緊背景.

推論5.1范疇FCC中,AE-緊致背景與AE-仿緊背景的乘積對(duì)象仍是AE-仿緊背景.

§6 結(jié)論

本文利用拓?fù)鋵W(xué)的思想定義了形式背景的AE-仿緊性,給出了AE-仿緊背景的充分條件,研究了AE-仿緊背景的若干性質(zhì).證明了AE-仿緊性被適當(dāng)?shù)男畔B(tài)射所保持,對(duì)一類特殊閉的嵌入子背景是遺傳的.在以形式背景為對(duì)象信息態(tài)射為態(tài)射的范疇FCC中,給出了兩個(gè)形式背景乘積對(duì)象的表示,證明了兩個(gè)AE-仿緊背景的乘積對(duì)象仍是AE-仿緊的.這些結(jié)果說明本文定義的AE-仿緊背景是合理的有意義的,從而拓寬了形式概念分析的理論和拓?fù)鋵W(xué)的應(yīng)用范圍.