基于自適應代理模型的序列迭代優(yōu)化 *

高亞洲， 毛虎平， 孫 權

(中北大學 能源動力工程學院， 山西 太原 030051)

0 引 言

在結構優(yōu)化領域廣泛使用的單一代理模型構造方法主要有響應面模型(RSM)、 徑向基函數(shù)模型(RBF)、 Kriging模型、 MARS模型、 支持向量回歸模型(SVR)等[1-3]. Simpson等[4]最早通過噴管的形狀優(yōu)化設計問題對響應面模型與Kriging模型的性能進行了比較研究， 結果表明Kriging模型對該問題的擬合能力及預測能力等性能均優(yōu)于二階多項式響應面模型. Jin等[5]人通過14個具有代表性的標準測試函數(shù)， 從擬合能力、 預測精度、 建模速度、 魯棒性等方面分析了除支持向量回歸模型外的4種代理模型在不同樣本規(guī)模下對不同特征問題的性能表現(xiàn). 韓鼎等[6]對上述 5種代理模型也進行了相關研究. 文獻[5]和文獻[6]給出了 5種代理模型的大致適用范圍. 然而在代理模型的實際應用中， 由于某些優(yōu)化問題的非線性程度等特征很難判斷， 模型類型的選擇還是基于現(xiàn)有文獻或工程經(jīng)驗， 無法特別準確地選擇出較適合當下優(yōu)化問題的代理模型類型. 在代理模型的發(fā)展過程中， 為了進一步提高代理模型的性能， Zerpa等[7]將Kriging等 3種單一代理模型按照一定的權重系數(shù)進行疊加， 首次提出組合代理模型這一概念， 其中權重系數(shù)根據(jù) 3種單一代理模型的預測誤差計算得到. 葉鵬程[1]提出一種以最小化交叉驗證誤差為依據(jù)的計算權重系數(shù)的組合代理模型， 并將其應用于水下滑翔機的外形優(yōu)化設計中. 仇佳佳[8]提出了一種新型組合代理模型USE， 權重系數(shù)同時考慮到了各模型的整體誤差與局部誤差. 由以上研究可以看出， 組合代理模型的研究重點一直在權重因子計算方法上， 而忽略了各單一代理模型類型的選擇. Viana等[9-10]通過研究發(fā)現(xiàn)， 性能較好的單一代理模型構建的組合代理模型的性能確實要優(yōu)于引入性能表現(xiàn)較差的單一代理模型的組合. 這表明單一代理模型類型的選擇也非常重要. 基于代理模型的優(yōu)化設計的最終環(huán)節(jié)是對基于構造的代理模型進行求解， 目前求解所采用的策略主要是序列迭代優(yōu)化. Sharif等[11]提出了一種將徑向基函數(shù)迭代過程中的疑似最優(yōu)解及鄰近稀疏區(qū)域樣本點作為新增樣本點的MPS算法， 并通過測試函數(shù)與工程案例對該方法的有效性進行了驗證. Duan等[12]比較了MPS算法與遺傳算法在工程優(yōu)化問題中的表現(xiàn)， 兩種算法都能準確捕捉到全局最優(yōu)解， 但MPS算法的迭代次數(shù)及調(diào)用仿真模型的次數(shù)都明顯少于遺傳算法. 不難發(fā)現(xiàn)， 現(xiàn)有對代理模型序列迭代優(yōu)化進行研究的文獻的關注點基本都在新增樣本的選取準則. 然而， 隨著樣本規(guī)模的增大， 對于優(yōu)化問題而言， 性能最優(yōu)的代理模型類型也會隨之發(fā)生改變.

綜上所述， 目前基于代理模型的優(yōu)化設計想要在工程結構優(yōu)化領域得到進一步發(fā)展與應用， 還存在一些尚需解決的問題， 如： 對于某一優(yōu)化問題， 只能靠工程經(jīng)驗或以往研究文獻來選擇代理模型類型， 有一定的隨機性； 在序列迭代優(yōu)化過程中， 隨著樣本規(guī)模的增大， 最適合優(yōu)化問題的代理模型類型可能會發(fā)生改變. 為了解決上述問題， 本文提出了基于自適應代理模型的序列迭代優(yōu)化方法， 其核心思想是在更新樣本空間的同時選擇出當下最優(yōu)代理模型. 隨著迭代過程進行， 模型性能會越來越優(yōu).

1 前期工作

1.1 相關概念

在結構設計與優(yōu)化這一領域， 代理模型技術是以數(shù)學近似思想為理論基礎， 基于試驗設計所獲取的有限規(guī)模的樣本數(shù)據(jù)構造復雜仿真模型的近似數(shù)學模型， 并以此代替仿真模型開展優(yōu)化， 從而達到降低優(yōu)化進程中計算成本與時間的目的.

(1)

式中：ε為代理模型對系統(tǒng)響應的預測值相對于真實響應值的誤差.

一般建模流程為：試驗設計， 數(shù)值仿真， 模型選擇與構造， 模型驗證評估. 在進行模型驗證和評估時， 常見的可用于代理模型性能評價的指標有：

決定系數(shù)(Coefficient of Determination，R2)， 也稱復相關系數(shù)(擬合精度)， 計算公式為

(2)

均方誤差(Mean Square Error， MSE)

(3)

均方根誤差(Root Mean Square Error， RMSE)

(4)

1.2 活塞仿真建模

本文建立的活塞模型如圖 1(a) 所示. 因為后期主要是對冷卻油腔區(qū)域進行結構優(yōu)化， 所以對活塞體上油腔外部區(qū)域進行參數(shù)化處理， 如圖 1(b), 圖 1(c) 所示.

圖 1 活塞-連桿組合結構相關模型

1.3 活塞代理模型的建立

根據(jù)活塞實際工作需要及給定模型的實際條件， 選擇活塞冷卻油腔作為優(yōu)化的研究對象， 構建優(yōu)化問題的數(shù)學模型如下：

min Weight(Xi),

s. t.σmax≤200,

umax≤0.365,

(5)

1.4 樣本空間的構建

活塞優(yōu)化問題的設計變量示意圖如圖 2 所示， 設計變量的截面尺寸變化范圍如表1 所示.

圖 2 設計變量示意圖

表1 設計變量變化范圍

1.5 模型性能測試

基于上一步所獲取的初始樣本數(shù)據(jù)， 通過本文提出的自適應代理模型方法分別構造活塞優(yōu)化問題目標函數(shù)Weight、 約束函數(shù)σmax,umax的初始代理模型， 用于 SO-ASM方法的首次迭代計算. 表2 為初始代理模型的性能測試結果， 最終生成的初始代理模型的擬合精度R2均大于0. 9， 滿足實際使用要求.

表2 初始代理模型性能測試結果

2 代理模型

2.1 自適應代理模型(ASM)

圖 3 為本文所提出的自適應代理模型方法的基本原理圖， 其實際運行的具體步驟如下：

Step 1: 初始化參數(shù)；

Step 2: 構造初始樣本空間；

Step 3: 基于訓練樣本使用RSM， RBF， Kriging， MARS， SVR等單一代理模型構造方法分別構造代理模型；

Step 4: 對 Step3中建立的所有代理模型進行性能測試；

Step 5: 若 3個以上模型的測試結果符合模型性能要求下限則進行下一步， 否則， 返回Step2；

然而，在不斷取得成效的同時，國內(nèi)出現(xiàn)的地溝油事件、疫苗事件、三鹿奶粉中毒事件等凸顯了我國當前的行政問責制存在著一些不足之處。從表層分析，這類事件的出現(xiàn)主要是由于我國行政人員失職以及濫用職權等不當行為導致的；從深層次分析，主要是當前我國還未形成規(guī)范化和法制化的行政問責制。若行政問責制得不到有效地完善，公民的訴求得不到及時傳達，行政問責制僅停留在形式主義上，政府的公信力和形象會受到嚴重影響。因此，分析現(xiàn)階段我國行政問責制存在的不足之處并且提出相應的完善政策具有重要意義。當前我國行政問責制存在的不足之處如下：

Step 6: 若存在單一代理模型的測試結果達到預先設定的模型性能要求上限， 則選擇終止并將該模型作為最優(yōu)代理模型輸出； 反之， 則進行下一步；

Step 7: 以Step3中滿足要求的若干單一代理模型作為構造組合代理模型的模型庫；

Step 8: 構造組合代理模型；

Step 9: 測試后選擇最優(yōu)代理模型.

圖 3 自適應代理模型原理示意圖

2.2 基于自適應代理模型的序列迭代優(yōu)化(SO-ASM)

基于自適應代理模型的序列迭代優(yōu)化的大致流程如圖 4 所示， 具體運行步驟如下：

Step 1: 建立仿真模型， 初始化參數(shù).

Step 2: 構造初始代理模型.

Step 3: 對代理模型進行優(yōu)化求解， 獲得當前迭代循環(huán)的潛在最優(yōu)解.

Step 4: 若當前迭代次數(shù)達到上限， 則終止程序， 將當前解作為全局最優(yōu)解輸出； 反之， 則進行下一步.

Step 5: 判斷當前潛在最優(yōu)解是否滿足收斂條件(見式5)， 判定準則為

(6)

式中：f(xk)為當前迭代過程得到的潛在最優(yōu)解；f(xk-1) 為上一輪迭代過程中的潛在最優(yōu)解；ε為收斂系數(shù). 若當前最優(yōu)解滿足收斂條件， 將此解作為最優(yōu)解輸出； 反之， 則進行下一步.

圖 4 基于自適應代理模型的序列迭代優(yōu)化流程圖

Step 6: 更新樣本空間：將上一步得到的潛在最優(yōu)解篩選過后加入樣本空間. 篩選原理為

d(x，xp)≤η,

(7)

式中：d為候選樣本點x與現(xiàn)有樣本點xp之間的最大距離；η為判斷系數(shù)， 任意維度上最大距離小于該系數(shù)的候選樣本點將被剔除.簡單來說， 要添加的樣本點與原來所有樣本點之間的距離只要有大于η的， 便將此點剔除， 而η的選擇與樣本空間大小有關. 若滿足式(7)， 直接執(zhí)行Step7， 否則， 需調(diào)用有限元模型， 獲得真實響應值后添加到樣本空間.

Step 7：令迭代次數(shù)k=k+1， 之后轉(zhuǎn)入Step 2.

3 數(shù)值試驗

選擇8個在代理模型優(yōu)化方法研究中被廣泛采用的標準測試函數(shù)進行數(shù)值試驗， 對提出的自適應代理模型及基于自適應代理模型的序列迭代優(yōu)化進行驗證與分析. 測試函數(shù)分別為： Six-hump Camelback函數(shù)(SC)、 Branin函數(shù)(BR)、 Generalized Polynomial函數(shù)(GF)、 Goldstein and Price函數(shù)(GP)、 Hartman函數(shù)(HN)、 HD1函數(shù)、 Rosenbrock函數(shù)(R10)、 F16 函數(shù)[13-18]. 前4個都是二維函數(shù)， 而后4個則屬于高維函數(shù)， 維度分別是6, 10, 10, 16.

通過比較下列3種情況下各函數(shù)的優(yōu)化結果來驗證基于自適應代理模型序列迭代優(yōu)化方法的有效性與可靠性：(1) 直接對測試函數(shù)進行優(yōu)化， 簡稱Direct， 用以模擬工程優(yōu)化中直接對仿真模型進行優(yōu)化的情況； (2) 基于自適應代理模型方法選擇的最優(yōu)模型采用傳統(tǒng)序列迭代優(yōu)化， 即在優(yōu)化過程中不更新代理模型的類型， 簡稱SO-SM； (3) 基于自適應代理模型的序列迭代優(yōu)化， 簡稱SO-ASM.

表3 給出了所有測試函數(shù)在上述3種情況下的優(yōu)化結果， 包括NFE(原函數(shù)計算次數(shù))和fopt(收斂最優(yōu)解)的最小值、 最大值、 平均值， 表中最小值、 最大值以區(qū)間的形式表示. 其中， Direct方法不存在系統(tǒng)誤差， 多次優(yōu)化的結果都相同， 因此該組測試結果只給出NFE和fopt的均值.

由表3 可知， Direct精度最高但是計算次數(shù)最多， 尤其在高維函數(shù)中， 時間消耗太大； SO-SM在低維函數(shù)中表現(xiàn)良好， 但是在高維函數(shù)中其不僅計算精度明顯下降， 計算次數(shù)也顯著上升； SO-ASM在所有測試函數(shù)中均表現(xiàn)良好， 計算次數(shù)最低， 而且能保證計算精度. 綜上所述， 本文提出的基于自適應代理模型的序列迭代優(yōu)化方法能夠降低優(yōu)化過程中調(diào)用仿真模型進行計算的次數(shù)， 能在保證優(yōu)化精度的前提下提高優(yōu)化效率， 且其優(yōu)化精度、 效率、 穩(wěn)定性等各項性能表現(xiàn)均優(yōu)于傳統(tǒng)的SO-SM方法.

表3 測試函數(shù)優(yōu)化結果

4 活塞優(yōu)化實例

4.1 活塞有限元分析

在實際工作中， 活塞承受著熱負荷與機械載荷的雙重作用[19]， 因此， 為了獲得比較真實的活塞系統(tǒng)響應值， 需對其進行熱-機耦合靜力學分析. 活塞熱-機耦合仿真分析結果見圖 5. 圖 5(a) 為活塞在氣體最大爆發(fā)壓力時刻的應力與變形分布云圖, 可以看出， 活塞在這一時刻的產(chǎn)生的最大形變達到 0.363 31 mm; 由圖 5(b) 可知， 該時刻活塞承受最大的應力為180.42 MPa.

(a) 變形云圖

(b) 等效應力分布云圖

4.2 優(yōu)化結果分析

為了驗證本文提出的自適應代理模型優(yōu)化方法在實際工程問題的可行性與最終優(yōu)化結果的精確度， 在同等條件下分別通過自適應代理模型優(yōu)化方法及傳統(tǒng)的有限元優(yōu)化方法對上文定義的活塞優(yōu)化問題進行優(yōu)化求解. 通過SO-ASM法與直接優(yōu)化兩種方法分別解決活塞優(yōu)化問題的最終結果如表4 所示.

表4 活塞優(yōu)化結果對比

由表4 可知， 兩種方法在滿足約束條件的要求下均實現(xiàn)了活塞的輕量化， 相較于優(yōu)化前， 活塞質(zhì)量分別降低了3.24%, 3.15%， SO-ASM法所得最優(yōu)解對應目標函數(shù)值， 即活塞質(zhì)量相較于直接優(yōu)化的誤差僅為 1.1×10-3kg.

圖 6 為采用本文提出的SO-ASM方法優(yōu)化后的活塞結構等效應力與變形分布云圖(氣體最大爆發(fā)壓力時刻). 與圖2比較可知：優(yōu)化后活塞承受的最大應力增大至191.81 MPa， 較優(yōu)化前增大了6.3%， 仍在活塞結構所用材料的承受范圍之內(nèi)； 直接優(yōu)化后活塞最大等效應力的值為 188. 83 MPa， 誤差僅為 0.16%. 這表明本文所提出的基于自適應代理模型的序列迭代方法能夠有效保證優(yōu)化結果的精確度.

(a) 變形云圖

(b) 等效應力分布云圖

圖 7 分別給出了SO-ASM方法優(yōu)化過程中目標函數(shù)代理模型的擬合精度、 預測誤差等性能指標的變化曲線. 可以看出， 隨著迭代次數(shù)的增加， 代理模型對真實活塞結構的擬合能力不斷提高； 相應地， 在這個過程中模型的整體預測誤差RMSE與局部誤差MAE也逐漸降低并趨于穩(wěn)定. 在整個優(yōu)化歷程中， 直接優(yōu)化調(diào)用有限元模型進行計算的次數(shù)總計為257次， 而SO-ASM方法即使算上構造初始樣本空間時調(diào)用有限元模型進行計算的次數(shù)也僅有116次， 僅為前者的46%， 這表明SO-ASM方法在保證優(yōu)化結果精確度的前提下能夠極大地降低整個優(yōu)化過程所耗費的時間， 顯著地提高優(yōu)化效率.

(a) 擬合精度

(b) 預測誤差(RMSE， MAE)

5 總結與展望

5.1 總 結

本文通過標準測試函數(shù)， 對直接優(yōu)化、 SO-SM、 SO-ASM三種優(yōu)化方式分別進行了測試. 試驗數(shù)據(jù)表明， 在保證優(yōu)化結果精度的前提下， 優(yōu)化過程中本文所提方法調(diào)用有限元模型的次數(shù)相較于傳統(tǒng)的有限元方法大幅減少， 優(yōu)化效率得到了明顯的提升； 同時相較于現(xiàn)有的代理模型序列迭代優(yōu)化方法， 所提方法的優(yōu)化精度更高且穩(wěn)定性更好， 優(yōu)化效率也有一定提高. 除此之外， 本文將所提方法應用于活塞優(yōu)化設計這一耗時的工程實際問題中， 對該方法在實際應用中的可行性與有效性進行了驗證. 優(yōu)化結果表明：SO-ASM方法的優(yōu)化結果與直接優(yōu)化結果相比， 誤差僅為 0.16%， 在滿足約束條件的前體下實現(xiàn)了活塞減重的目標， 且相較于直接優(yōu)化， 該方法優(yōu)化過程所消耗的時間大幅降低， 優(yōu)化效率顯著提高.

5. 2 展 望

為了進一步提升代理模型優(yōu)化技術的適用性與優(yōu)化精度等性能， 未來還需對以下幾個方面進行深入研究：

1) 本文所提出的SO-ASM方法的有效性是通過單目標優(yōu)化問題進行驗證的. 但是， 現(xiàn)代工程優(yōu)化設計問題很大一部分是多目標優(yōu)化問題， 如何利用本文所提出的SO-ASM方法有效解決多目標優(yōu)化問題是未來需要進一步研究的重點.

2) 本活塞優(yōu)化實例的主要目的是驗證所提方法的可行性與優(yōu)越性， 因此， 只在熱-機耦合基礎上對其進行了靜態(tài)優(yōu)化， 然而活塞在實際工作狀態(tài)下的載荷是隨時間變化的， 因此， 通過代理模型技術對結構的動態(tài)響應優(yōu)化進行研究有很大的發(fā)展空間.