考慮斑塊間染病者數(shù)量影響疾病傳染率的SIS模型性態(tài)分析 *

羅 航， 李桂花

(中北大學(xué) 理學(xué)院， 山西 太原 030051)

0 引 言

傳染病一直以來(lái)都威脅著人們的生命， 每次傳染病的爆發(fā)都造成了大量的人口死亡和經(jīng)濟(jì)損失， 如甲型 H1N1， 禽流感 H7N9， 艾滋病 HIV/AIDS， 以及正在世界多個(gè)國(guó)家蔓延的新冠肺炎 (COVID-19)， 都嚴(yán)重影響了人類的生存和發(fā)展. 在新媒體時(shí)代， 公共衛(wèi)生部門可以憑借互聯(lián)網(wǎng)通過(guò)電腦、 電視、 手機(jī)等各種渠道及時(shí)地發(fā)布疫情的進(jìn)展情況并宣傳防范措施， 從而有效地提高人們的防控意識(shí)， 降低疾病傳播的速度[1]. 因此， 媒體報(bào)道對(duì)于傳染病的防控非常重要.

中國(guó)的新冠疫情防控工作一直都很有效. 2021年年初， 河北省石家莊市突然爆發(fā)新型冠狀病毒肺炎疫情， 不斷增加的感染人數(shù)迅速引起社會(huì)的關(guān)注和重視. 山西省太原市緊鄰河北省石家莊市， 感染人數(shù)的迅速增加及感染者的行動(dòng)軌跡引起山西省政府的高度重視，迅速采取了措施， 避免了疾病在山西省內(nèi)的傳播. 從此例可以看出， 如果一個(gè)地區(qū)的感染人數(shù)較少， 其相鄰地區(qū)人們的警覺(jué)性就會(huì)降低， 如果感染人數(shù)較多，臨近地區(qū)人們的警覺(jué)性就會(huì)迅速提高， 客觀上會(huì)減少臨近地區(qū)疾病的傳染率. 因此， 一個(gè)地區(qū)感染疾病的人數(shù)對(duì)其它地區(qū)的疾病感染率有很大的影響. 若把不同的地區(qū)看成是不同的斑塊， 則兩個(gè)地區(qū)之間人口的往來(lái)可以看成是兩個(gè)斑塊之間人口的流動(dòng). 本文將建立考慮一個(gè)斑塊的感染人數(shù)對(duì)另一斑塊的感染率影響的斑塊傳染病倉(cāng)室模型， 并進(jìn)行動(dòng)力學(xué)性態(tài)分析.

考慮媒體報(bào)道的傳染病模型的研究已有很多[2-6]. 文獻(xiàn)[2-3]建立了一個(gè)具有非線性發(fā)生率的SIR模型來(lái)描述媒體報(bào)道對(duì)于傳染病的影響； 文獻(xiàn)[4] 建立了一類受媒體報(bào)道影響的具有Logistic人口變化的SIRS傳染病模型； 文獻(xiàn)[5]建立了一類受媒體報(bào)道影響的SIM時(shí)滯傳染病模型； 文獻(xiàn)[6]建立了一種包含媒體報(bào)道的SIS斑塊傳染病模型 . 雖然這方面的文獻(xiàn)還有很多， 但是都沒(méi)有考慮到一個(gè)斑塊的感染者數(shù)量對(duì)另一個(gè)斑塊傳染率的影響. 本文將建立考慮媒體報(bào)道及一個(gè)斑塊的感染者數(shù)量對(duì)其它斑塊種群影響的傳染率函數(shù)的兩個(gè)斑塊傳染病倉(cāng)室模型. 傳染率函數(shù)βi(I1,I2)=ai-bih(I1,I2)， 其中，ai是斑塊i中易感者與染病者之間的最大感染率，bi是斑塊i中存在染病者時(shí)由于媒體報(bào)道而導(dǎo)致的最大感染率的降低率，h(I1,I2)是一個(gè)地區(qū)染病者數(shù)量對(duì)另一地區(qū)感染率的影響函數(shù)， 假設(shè)ai≥bi， 并且h(I1,I2) 滿足下面3個(gè)條件：

H1)h(0,I2)=0,h(I1,0)=0,h(0,0)=0；

假設(shè)易感人群和感染者的出行率是相同的， 即該疾病并不嚴(yán)重， 不足以阻礙出行. 建立模型如下：

(1)

式中：Ai表示第i斑塊中j類人群人口的輸入；mij表示第i個(gè)斑塊向第j個(gè)斑塊的遷移率；γi表示恢復(fù)率；di表示斑塊中的自然死亡率. 由于適合SIS模型框架的大多數(shù)疾病都是良性的， 因此忽略了由疾病引起的死亡. 斑塊i中的人數(shù)以Ni=Si+Ii表示， 總?cè)藬?shù)為N=N1+N2.

1 平衡點(diǎn)的存在性

1.1 無(wú)病平衡點(diǎn)

系統(tǒng)(1)的可行域?yàn)?/p>

Ω={(S1,I1,S2,I2)|S1,I1,S2,I2≥0,

S1+I1+S2+I2≤A1+A2}.

(2)

當(dāng)斑塊之間不存在遷移時(shí)， 斑塊1， 斑塊2的基本再生數(shù)分別為

當(dāng)斑塊之間存在遷移時(shí)， 斑塊1, 斑塊2的基本再生數(shù)分別為

(3)

1.2 地方病平衡點(diǎn)

當(dāng)一個(gè)地區(qū)感染者人數(shù)很多時(shí)， 當(dāng)?shù)貢?huì)采取封閉措施， 即只進(jìn)不出， 因此， 斑塊之間的遷移就變成單向遷移. 本節(jié)討論不存在媒體報(bào)道時(shí)單向遷移下正平衡點(diǎn)的存在情況. 系統(tǒng)(1)中， 假設(shè)第1個(gè)斑塊向第2個(gè)斑塊遷移， 而第2個(gè)斑塊不向第1個(gè)斑塊遷移， 也即m21=0， m12≠0， 則系統(tǒng)(1) 變?yōu)?/p>

(4)

在第1個(gè)斑塊中，平衡點(diǎn)滿足方程組

求解可得

方程(5)與方程(6)相加得

(7)

將方程(7)代入方程(5)得

(8)

將方程(8)代入方程(6)得

故平衡點(diǎn)滿足的方程為

(9)

很容易判別

2 平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性

2.1 無(wú)病平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性

定理2當(dāng)R0<1時(shí)， 無(wú)病平衡點(diǎn)E0是局部漸近穩(wěn)定的； 當(dāng)R0>1時(shí)， 無(wú)病平衡點(diǎn)E0不穩(wěn)定.

證明系統(tǒng)在E0的Jacobian矩陣為

J0的特征方程為

P(λ)=(λ2+p1λ+q1)(λ2+p2λ+q2)=0,

其中，

p1=d1+d2+2m12>0,

m12(d1+d2)+d2d1>0,

p2=-a1-a2+d1+d2+γ1+γ2+m12+m21=

q2=(-a2+d2+γ2)m12+(a2-γ2-d2-

m21)(a1-d1-γ1)=m12(d2+γ2)(1-R2)+

由于p1>0,q1>0， 方程λ2+p1λ+q1=0有兩個(gè)負(fù)實(shí)部特征根. 下面判別方程λ2+p2λ+q2=0根的正實(shí)部的符號(hào).

定理3當(dāng)R0<1時(shí)，無(wú)病平衡點(diǎn)E0是全局漸近穩(wěn)定的.

(10)

用不等式(10)的右邊定義輔助線性系統(tǒng)得

(11)

寫為矩陣形式得

其中

F的特征多項(xiàng)式為

P1(λ)=λ2+p3λ+q3,

其中,p3=(d1+γ1-a1)+(d2+γ2-a2)+m12+m21=(d1+γ1)(1-R1)+(d2+γ2)(1-R2)+m12+m21,q3=(d2+γ2-a2)m12+(d1+γ1-a1)m21+(d1+γ1-a1)(d2+γ2-a2)=m12(d2+γ2)(1-R2)+m21(d1+γ1)(1-R1)+(d1+γ1)(d2+γ2)(1-R1)(1-R2).

由于t→∞時(shí)Ii趨于零， 因此系統(tǒng)(1)的極限系統(tǒng)(見(jiàn)文獻(xiàn)[8]中的定理2.5)為

(12)

令系統(tǒng)(12)右邊等于0， 得

2.2 地方病平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性

證明系統(tǒng)在E*處的Jacobian矩陣為

其中

J*的特征多項(xiàng)式為

P*(λ)=(λ+d2)(λ+d1+m12)(λ+d1+γ1+

m12+c1-c2)(λ+d2+γ2+c3-c4).

顯然，P*(λ)=0的4個(gè)根分別為

λ1=-d2<0,

λ2=-(d1+m12)<0,

λ3=c4-c3-(d2+γ2)=

(d2+γ2)=(d2+γ2)-(d2+γ2)=0,

λ4=c2-c1-(d1+γ1+m12)=

2(d1+γ1+m12)-a1-(d1+γ1+m12)=

3 數(shù)值模擬及討論