具有奇異項(xiàng)的臨界重調(diào)和方程的多重正解 *

李春平， 桑彥彬

(中北大學(xué) 理學(xué)院， 山西 太原 030051)

0 引 言

重調(diào)和方程產(chǎn)生于研究懸橋周期振動(dòng)中的行波問題和研究靜態(tài)偏轉(zhuǎn)的彈性板問題. 近年來， 學(xué)者們對(duì)重調(diào)和方程進(jìn)行了廣泛的研究， 如文獻(xiàn)[1] 研究了一類四階半線性橢圓邊值問題的多個(gè)非平凡解的存在性； 文獻(xiàn)[2-5]獲得了具有臨界Sobolev指數(shù)的雙拉普拉氏算子問題解的存在性結(jié)果； 文獻(xiàn)[6-8]證明了一類Kirchhoff型四階半線性橢圓邊值問題解的存在性； Chen和Li在文獻(xiàn) [9]中討論了一類四階橢圓方程， 并獲得了解的存在性和多解性的結(jié)果. 眾所周知， 奇異項(xiàng)的加入使得方程所對(duì)應(yīng)的能量泛函不可微， 導(dǎo)致問題變得困難. 值得注意的是Gaston等在文獻(xiàn)[10]中研究了以下奇異重調(diào)和方程

(1)

證明了方程(1)存在唯一的一個(gè)正解. 進(jìn)一步， 由文獻(xiàn)[11]的定理1.2， 可得存在唯一的wλ是方程的正解， 且wλ≥cφ1， 其中φ1>0是問題Δφ+λφ=0,φ|?Ω=0的最小特征值λ1對(duì)應(yīng)的特征函數(shù). 而且不難證明

(2)

(3)

在本文中， 考慮以下方程

(4)

注記1若取g(x)=ex2， 事實(shí)上,其滿足條件(G).

方程(4)所對(duì)應(yīng)的能量泛函為

為了研究方程(4)， 定義f:Ω×R→[0,+∞)為

故將研究方程(4)轉(zhuǎn)化為考慮以下問題

方程(5)所對(duì)應(yīng)的泛函為

為了克服方程(4)奇異項(xiàng)帶來的奇異性， 首先構(gòu)造了一輔助函數(shù)(5)， 將奇異問題轉(zhuǎn)化為非奇異問題. 然后， 采用Nehari流形的分解和 Ekeland 變分原理， 通過序列收斂問題得到原問題的解. 本文的創(chuàng)新之處在于對(duì)于參數(shù)所處區(qū)間的上確界進(jìn)行了精確估計(jì)， 便于應(yīng)用.

1 預(yù)備知識(shí)和定理(引理)

記

定理1當(dāng)參數(shù)λ∈(0,Λ1)， 且g(x)滿足條件G時(shí)， 方程(4)至少存在兩個(gè)正解.

引理1對(duì)于任意的u∈H，Iλ∈C2(H)， 以下結(jié)論成立：

1) 若u是Iλ的一個(gè)臨界點(diǎn)， 則u≥wλ在Ω中幾乎處處成立.

2) 若u是Iλ的一個(gè)臨界點(diǎn)， 則u是方程(4)的一個(gè)正解.

證明由于Iλ∈C2(H)， 則對(duì)于任意的φ∈H，

1) 設(shè)u是Iλ的一個(gè)臨界點(diǎn).選取(u-wλ)-作為試探函數(shù)， 則有

(6)

由wλ的定義可知

(7)

由式(6)減式(7)可得

2) 同理可證成立.

基于引理1， 定義H中的閉正錐集合P為

P={u|u∈H,u(x)≥wλ(x), a.e.x∈Ω}，

則P是完備空間.

定義Nehari流形為

定義hu:t→Iλ(tu)，t>0.若u∈P， 有

容易得到

其中

令η′(t)=0， 可得

通過計(jì)算可知，η(t)在[0,t0]單調(diào)遞增， [t0,+∞)單調(diào)遞減；η(t)在t0處達(dá)到最大值.將t0代入η(t)， 同時(shí)利用H?lder不等式和Sobolev不等式， 以及以下關(guān)系式

可得

同時(shí)由于λ<Λ0， 從而得到

(8)

此外， 由于u∈Nλ， 利用Sobolev不等式可知，

(9)

由文獻(xiàn)[12]的引理2.3和引理2.4， 同理可得以下引理.

引理3當(dāng)參數(shù)λ∈(0,Λ0)時(shí)， 如果u是Iλ在Nλ上的一個(gè)臨界點(diǎn)， 那么u是Iλ的一個(gè)臨界點(diǎn).

引理4泛函Iλ在Nλ上是強(qiáng)制且下方有界的.

由文獻(xiàn)[12]的引理2.5， 引理2.6以及引理2.7， 同理可得以下引理.

引理7存在一個(gè)Iλ的極小化序列{un}?Nλ， 對(duì)于任意的φ∈H， 使得

vn→v在H和L2**(Ω)中.

(10)

顯然， 此極小序列在H中是有界的， 因此， 存在一個(gè)子列， 不妨仍記為{vn}， 使得當(dāng)n→∞時(shí)，

令式(10)的n→∞時(shí)， 對(duì)于任意的φ∈H，

(11)

令式(11)中的試探函數(shù)φ=v， 則可得

(12)

由Brezis-Lieb’s引理(參見文獻(xiàn)[13])可知

將φ=vn代入式(10)可得

(13)

由式(12)和式(13)， 再利用Sobolev不等式

即有

即得到矛盾， 由此可得l=0， 這意味著vn→v在H中， 從而當(dāng)n→∞時(shí)， 有

2 定理1的證明

本節(jié)對(duì)本文主要結(jié)果定理1進(jìn)行證明， 它是下面的引理10和定理2及定理3的直接結(jié)果.

定理2若g(x)滿足條件G， 方程(4)至少存在一個(gè)正基態(tài)解.

證明由引理4可知， 存在一個(gè)Iλ的極小序列{un}?Nλ使得， 當(dāng)n→∞時(shí)

下證uλ是方程(4)的一個(gè)基態(tài)解. 由引理8可得

更進(jìn)一步，

(14)

θλ

再由引理3可知，uλ是方程(4)的一個(gè)正基態(tài)解， 則證畢.

Vε,z(x)=ηzUε,z(x).

當(dāng)ε→0時(shí)， 對(duì)于z∈M有

(15)

由文獻(xiàn)[13]的引理3.1以及文獻(xiàn)[14]可得， 對(duì)于z∈M， 以下估計(jì)成立

(16)

引理9對(duì)于z∈M， 有

證明由于

(17)

又由于uλ是方程(4)的一個(gè)正解， 將式(15)～式(17)代入可知， 對(duì)于任意的t≥0

而且， 可以推出存在與ε，λ無關(guān)的正常數(shù)t1,t2， 使得

證畢.

由文獻(xiàn)[12]的引理3.3和定理3.4， 同理可得以下引理和定理.