高中數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的實(shí)踐探索

王巧紅

數(shù)學(xué)素養(yǎng)是一個(gè)抽象的概念，它是受過(guò)數(shù)學(xué)熏陶的人所具有的一種素養(yǎng)，包括數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)、邏輯推理素養(yǎng)、直觀想象素養(yǎng)、數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)、數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)、數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)等。本文擬就思維的嚴(yán)謹(jǐn)性、深刻性和數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)談幾點(diǎn)粗淺看法。

一、數(shù)學(xué)思維嚴(yán)謹(jǐn)性、深刻性的培養(yǎng)

嚴(yán)謹(jǐn)性是數(shù)學(xué)思維的優(yōu)秀品質(zhì)。具有了嚴(yán)謹(jǐn)性思維，在推理論證以及數(shù)學(xué)運(yùn)算中會(huì)更加注重邏輯性、嚴(yán)密性，既“滴水不漏”又“沒(méi)有廢話(huà)”。基礎(chǔ)知識(shí)的學(xué)習(xí)與數(shù)學(xué)思維的嚴(yán)謹(jǐn)性密不可分，在概念的形成、命題的推理論證、運(yùn)算求解、知識(shí)體系的形成中都要求具備嚴(yán)謹(jǐn)性思維。例如：在函數(shù)奇偶性的定義中，有一個(gè)隱含的條件是函數(shù)的定義域區(qū)間必須關(guān)于O對(duì)稱(chēng)，在判斷時(shí)學(xué)生卻往往忽略這一點(diǎn)。那么，在教學(xué)中對(duì)這種忽略的糾正過(guò)程，就是對(duì)學(xué)生“思維漏洞”的補(bǔ)漏過(guò)程，也是對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)思維嚴(yán)謹(jǐn)性的培養(yǎng)過(guò)程。

思維嚴(yán)謹(jǐn)性的培養(yǎng)不僅可以在基礎(chǔ)知識(shí)的學(xué)習(xí)中進(jìn)行，也可以在解決數(shù)學(xué)綜合問(wèn)題時(shí)進(jìn)行，并且后者是對(duì)思維嚴(yán)謹(jǐn)性的強(qiáng)化訓(xùn)練。比如：橢圓是中心在坐標(biāo)原點(diǎn)、焦點(diǎn)在橫坐標(biāo)軸上的橢圓，左焦點(diǎn)F1、右焦點(diǎn)F2，過(guò)左焦點(diǎn)的直線l與橢圓交于A、B兩點(diǎn)，橢圓的實(shí)半軸長(zhǎng)，虛半軸長(zhǎng)為1，求向量F2A和向量F2B數(shù)量積的最大值。解決這個(gè)問(wèn)題時(shí)，要考慮直線l與橫坐標(biāo)軸垂直和不垂直兩種情況，當(dāng)垂直時(shí)計(jì)算得到所求數(shù)量積是;當(dāng)不垂直時(shí)，經(jīng)過(guò)計(jì)算得到數(shù)量積的取值范圍是左閉右開(kāi)區(qū)間[-1，]。在解題過(guò)程中，學(xué)生容易出現(xiàn)的錯(cuò)誤是直接設(shè)出l的點(diǎn)斜式方程，考慮不到l垂直于橫坐標(biāo)軸的情況，從而計(jì)算出數(shù)量積的取值范圍是左閉右開(kāi)區(qū)間[-1，]，出現(xiàn)這樣的結(jié)果后就“傻眼”了，原因是它無(wú)最大值，明顯是錯(cuò)誤的;通常情況下，不會(huì)出沒(méi)有最大值而要求計(jì)算最大值的題目。出錯(cuò)的根源是思維不嚴(yán)謹(jǐn)，沒(méi)有考慮到垂直于橫坐標(biāo)軸的情況，而數(shù)量積的最大值恰巧就在這種“疏忽”掉的情況下取得，以至于出現(xiàn)了無(wú)最大值的局面。解題過(guò)程中這種“傻眼”情形能對(duì)學(xué)生的思維起到震撼并激活的作用，留下的印象難以磨滅，所以，這種“陷阱”式的錯(cuò)誤是對(duì)學(xué)生思維嚴(yán)謹(jǐn)性的強(qiáng)化訓(xùn)練。

思維嚴(yán)謹(jǐn)性的培養(yǎng)貫穿于整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中，無(wú)論是基礎(chǔ)知識(shí)的學(xué)習(xí)還是綜合問(wèn)題的解決，都是培養(yǎng)嚴(yán)謹(jǐn)性思維的路徑，只要堅(jiān)持訓(xùn)練，久而久之，學(xué)生的思維嚴(yán)謹(jǐn)性會(huì)逐步形成。

思維的深刻性也是數(shù)學(xué)思維的優(yōu)秀品質(zhì)。思維具有了深刻性，對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的理解會(huì)更加準(zhǔn)確，對(duì)問(wèn)題的分析會(huì)更加透徹，能夠直截了當(dāng)?shù)刈プ?wèn)題的本質(zhì)，針對(duì)問(wèn)題的本質(zhì)內(nèi)容展開(kāi)思考，使問(wèn)題得到徹底的解決。

在基礎(chǔ)知識(shí)的學(xué)習(xí)和基本技能的掌握中，能夠培養(yǎng)學(xué)生思維的深刻性是毫無(wú)疑問(wèn)的。比如：已知A、B兩點(diǎn)關(guān)于直線l對(duì)稱(chēng)，本質(zhì)意思是線段AB的中點(diǎn)在l上，并且直線AB和直線l是垂直關(guān)系。

分析解決數(shù)學(xué)綜合問(wèn)題，更能培養(yǎng)訓(xùn)練學(xué)生思維的深刻性，并且是一種強(qiáng)化訓(xùn)練。比如：解決立體幾何綜合問(wèn)題時(shí)，首先要分析幾何體中的各種位置關(guān)系及數(shù)量關(guān)系，根據(jù)這些關(guān)系選擇適當(dāng)?shù)姆椒ń鉀Q問(wèn)題，可選擇純粹的立體幾何法，而在能夠建立空間直角坐標(biāo)系時(shí)也可以選擇空間向量法，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化成空間向量的計(jì)算問(wèn)題，因?yàn)樵S多立體幾何問(wèn)題用空間向量的計(jì)算方法解決更為方便，可以計(jì)算點(diǎn)到直線或平面間的距離、異面直線間的距離、兩條直線所成角的大小、直線與平面所成角以及二面角的大小等。這種分析和轉(zhuǎn)化的過(guò)程就是對(duì)思維深刻性的培養(yǎng)。

在基礎(chǔ)知識(shí)和基本概念的學(xué)習(xí)中，引導(dǎo)學(xué)生養(yǎng)成準(zhǔn)確理解問(wèn)題的好習(xí)慣，在數(shù)學(xué)綜合問(wèn)題訓(xùn)練中，引導(dǎo)學(xué)生養(yǎng)成抓本質(zhì)、抓關(guān)鍵的習(xí)慣，如此日積月累、循序漸進(jìn)，學(xué)生思維的深刻性水平定會(huì)得到大大提高。

二、數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中離不開(kāi)數(shù)學(xué)抽象，無(wú)論是對(duì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)的學(xué)習(xí)，還是對(duì)問(wèn)題的分析以及解決問(wèn)題時(shí)的推理論證、運(yùn)算過(guò)程，對(duì)平面圖形以及空間圖形的直觀想象等都離不開(kāi)數(shù)學(xué)抽象，特別是在解決應(yīng)用問(wèn)題時(shí)，可以說(shuō)具有數(shù)學(xué)抽象能力是解決問(wèn)題所需要的第一項(xiàng)能力，因此數(shù)學(xué)抽象能力的培養(yǎng)至關(guān)重要。

培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象能力需要一定的載體。數(shù)學(xué)源于生活又用于生活，無(wú)論是基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能的學(xué)習(xí)，還是綜合問(wèn)題的解決都離不開(kāi)抽象思維，這些都是培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象能力的載體。特別是以綜合問(wèn)題為載體，會(huì)使學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象能力得到強(qiáng)化訓(xùn)練。高中數(shù)學(xué)中三角函數(shù)與三角形綜合問(wèn)題、概率與統(tǒng)計(jì)的綜合問(wèn)題、立體幾何綜合問(wèn)題、數(shù)列綜合問(wèn)題、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)綜合問(wèn)題、解析幾何綜合問(wèn)題都是非常重要的綜合問(wèn)題，以它們?yōu)檩d體進(jìn)行訓(xùn)練，會(huì)培養(yǎng)出學(xué)生很強(qiáng)的數(shù)學(xué)抽象能力，大幅度提高其數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng);同時(shí)，學(xué)生的數(shù)形結(jié)合、方程、分類(lèi)討論、化歸與轉(zhuǎn)化的思想方法也會(huì)得到有效訓(xùn)練，從而大幅度提高學(xué)生的數(shù)形結(jié)合能力、分析轉(zhuǎn)化能力、數(shù)學(xué)建模能力、創(chuàng)新能力、空間想象能力、作圖能力、綜合應(yīng)用能力。

邏輯推理素養(yǎng)是根據(jù)已知的條件或命題，進(jìn)行合理的、有根有據(jù)的推理的素養(yǎng)。要提高學(xué)生的邏輯推理素養(yǎng)，就要提高其邏輯推理能力，要提高其邏輯推理能力，就要提高其邏輯思維能力，最根本的是要針對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)邏輯思維能力進(jìn)行嚴(yán)格的訓(xùn)練。

培養(yǎng)邏輯思維也需要一定的載體。數(shù)學(xué)中所開(kāi)展的思維活動(dòng)都是有根有據(jù)的、合理的，所以其思維活動(dòng)都是邏輯思維活動(dòng)。比如定理、推論的證明過(guò)程中，每一步都有根有據(jù);解決問(wèn)題的表達(dá)過(guò)程中，除保持思維的嚴(yán)謹(jǐn)性即“不多說(shuō)一句，也不少說(shuō)一句”外，還要每一步都要有根有據(jù)，這就是邏輯思維的訓(xùn)練。另外，數(shù)學(xué)運(yùn)算過(guò)程、分析問(wèn)題的過(guò)程、識(shí)圖用圖過(guò)程等，這些過(guò)程中展開(kāi)的思維也是邏輯思維。這些都是訓(xùn)練學(xué)生邏輯思維的載體，在這些方面對(duì)其進(jìn)行嚴(yán)格的訓(xùn)練，經(jīng)過(guò)持之以恒的努力，能夠培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力，提高邏輯推理能力和素養(yǎng)。

直觀想象素養(yǎng)是借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態(tài)與變化的素養(yǎng)。同樣地，直觀想象素養(yǎng)和直觀想象能力成正比例關(guān)系。下面僅以立體幾何和解析幾何為載體談?wù)勥@種能力的培養(yǎng)。

首先，以立體幾何為載體。立體幾何是培養(yǎng)直觀想象能力的重要載體，特別是柱、錐、臺(tái)、球、簡(jiǎn)單組合體以及它們的三視圖，翻折圖形、幾何體割補(bǔ)后的幾何體，在這幾類(lèi)幾何體中三棱柱、直三棱柱、長(zhǎng)方體、三棱錐、四棱錐、球面、球體、三視圖、翻折圖形、幾何體割補(bǔ)后的幾何體尤其重要。在教學(xué)中，開(kāi)始接觸時(shí)可以用模型或通過(guò)多媒體展示讓學(xué)生直觀地認(rèn)識(shí)這些幾何體，再進(jìn)一步細(xì)致觀察幾何體中的點(diǎn)、線、面以及相互間的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，讓學(xué)生全方位熟悉這些幾何體，對(duì)這些幾何體形成足夠的認(rèn)識(shí)。這些認(rèn)識(shí)是依賴(lài)于幾何體的模型或多媒體展示而形成的，其后的學(xué)習(xí)中，還要使學(xué)生脫離這種依賴(lài)，讓學(xué)生在沒(méi)有依賴(lài)的情況下想象出幾何體，以及其中的點(diǎn)、線、面之間的關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，想象出由這些關(guān)系所能推出的關(guān)系。對(duì)多種幾何體反復(fù)進(jìn)行這樣的訓(xùn)練，并保持這種思維方式;在三視圖教學(xué)中，把幾何體的三視圖還原成原幾何體，再通過(guò)幾何體想象出它的三視圖，對(duì)多種幾何體也反復(fù)進(jìn)行這樣的訓(xùn)練，也保持這樣的思維方式;在翻折問(wèn)題和割補(bǔ)前后的幾何體的教學(xué)中，首先掌握翻折前或割補(bǔ)前的圖形及其性質(zhì)，再看清楚翻折后或割補(bǔ)后的圖形中，哪些是變化了的，哪些是沒(méi)有變化的，變化了的變成了什么狀態(tài)，把變化了的以及沒(méi)有變化的點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系想象透徹，同樣對(duì)多種翻折問(wèn)題和割補(bǔ)問(wèn)題反復(fù)進(jìn)行這樣的訓(xùn)練，保持這樣的思維方式，假以時(shí)日就能夠達(dá)到“玩熟”空間圖形的效果，學(xué)生也就具有了一定的直觀想象能力，提高了直觀想象素養(yǎng)。

其次，以解析幾何為載體。解析幾何也是培養(yǎng)直觀想象能力的重要載體，特別是直線與圓交匯、直線與圓錐曲線交匯、圓錐曲線與圓錐曲線的交匯問(wèn)題是更為重要的載體。對(duì)其中的直線、圓、圓錐曲線間的相互關(guān)系以及數(shù)量關(guān)系，要分析清楚、了如指掌。既要能直觀想象出圖形中已有的，也要能想象出根據(jù)條件求出的圖形在原圖形中的位置情況。對(duì)此類(lèi)交匯問(wèn)題，進(jìn)行如前面所述的分析和直觀想象的訓(xùn)練，只要堅(jiān)持不懈就能培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象能力，提高其直觀想象素養(yǎng)，也為進(jìn)一步解決解析幾何綜合問(wèn)題提供有力支持。

數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)是運(yùn)用數(shù)學(xué)運(yùn)算法則解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的素養(yǎng)。數(shù)學(xué)運(yùn)算是隨著數(shù)學(xué)的產(chǎn)生而產(chǎn)生的，數(shù)學(xué)中每個(gè)問(wèn)題的解決都離不開(kāi)它，通過(guò)準(zhǔn)確的運(yùn)算推理得到正確答案，是數(shù)學(xué)基本功。

數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)是在運(yùn)算中形成的。形成運(yùn)算能力既要有毅力和耐力，對(duì)每道題不僅能分析出解題方法，還要能準(zhǔn)確快速地運(yùn)算出結(jié)果。解題時(shí)運(yùn)算這一步不能省略，因?yàn)樗切纬蛇\(yùn)算基本功的過(guò)程，如果將其省略看似加快了解題速度，實(shí)際上卻得不償失，數(shù)學(xué)運(yùn)算的基本功將會(huì)無(wú)法形成;反之，如果認(rèn)真運(yùn)算并注意算法的特點(diǎn)，則形成“快、準(zhǔn)、狠”的運(yùn)算能力并非難事，這樣就培養(yǎng)了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，提高了數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)。

對(duì)實(shí)際應(yīng)用中收集到的大量數(shù)據(jù)，運(yùn)用統(tǒng)計(jì)方法進(jìn)行匯總推理、分析研究，總結(jié)出符合實(shí)際情境的有用信息的過(guò)程就是數(shù)據(jù)分析，這種能力就是數(shù)據(jù)分析能力，這種素養(yǎng)就是數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)。在實(shí)際問(wèn)題的解決過(guò)程中，首先要抽象出數(shù)學(xué)模型，經(jīng)過(guò)運(yùn)算得到結(jié)果數(shù)據(jù)，對(duì)結(jié)果數(shù)據(jù)進(jìn)行數(shù)據(jù)分析，然后做出對(duì)實(shí)際問(wèn)題的判斷。

數(shù)據(jù)分析被廣泛應(yīng)用于實(shí)際問(wèn)題中，比如對(duì)本季度的銷(xiāo)售數(shù)據(jù)進(jìn)行分析后，估計(jì)出下季度的銷(xiāo)售數(shù)據(jù);對(duì)某個(gè)時(shí)間段某地區(qū)人民的收入數(shù)據(jù)進(jìn)行分析后，估計(jì)出該地區(qū)人民的收入水平;在購(gòu)買(mǎi)某類(lèi)險(xiǎn)種的保險(xiǎn)時(shí)，投保人對(duì)上年度的相關(guān)數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，并對(duì)這些數(shù)據(jù)進(jìn)行數(shù)學(xué)建模，對(duì)運(yùn)算后的結(jié)果進(jìn)行數(shù)據(jù)分析，可以作出本年度對(duì)這類(lèi)險(xiǎn)種投保與否的決定;對(duì)比賽中的某人，根據(jù)條件算出這個(gè)人勝出的概率，對(duì)這個(gè)概率進(jìn)行數(shù)據(jù)分析，做出這個(gè)人能否勝出的推斷;對(duì)某地在一段年份內(nèi)的雨量和植被覆蓋面積的數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)后，建立線性模型，算出線性相關(guān)系數(shù)，通過(guò)對(duì)線性相關(guān)系數(shù)這個(gè)數(shù)據(jù)的分析，對(duì)植被面積受雨量的影響情況作出推斷。諸如此類(lèi)問(wèn)題不勝枚舉。

從以上分析可以看出，數(shù)據(jù)分析在解決實(shí)際問(wèn)題中起著關(guān)鍵性作用，教學(xué)中要努力培養(yǎng)學(xué)生的這種能力。數(shù)據(jù)分析能力的提高需要抽象概括能力、數(shù)學(xué)建模能力、邏輯推理能力、運(yùn)算求解能力的支持。

綜上所述，數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)與其相應(yīng)的能力成正比例關(guān)系，要培養(yǎng)數(shù)學(xué)素養(yǎng)就要從培養(yǎng)相應(yīng)的能力著手，而能力的培養(yǎng)是慢功夫。因此，立足于教學(xué)的各個(gè)環(huán)節(jié)，把培養(yǎng)數(shù)學(xué)能力當(dāng)作教學(xué)的重要目標(biāo)進(jìn)行強(qiáng)化訓(xùn)練，不急不躁、穩(wěn)扎穩(wěn)打，就能夠培養(yǎng)出學(xué)生的數(shù)學(xué)能力，從而提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。