左R-模上Riesz空間的相關性質研究

崔曉宇，周璞鉉，湯建鋼*，孫銳娟，王金萌，劉曉芳

（1.伊犁師范大學數(shù)學與統(tǒng)計學院，新疆伊寧 835000；2.伊犁師范大學應用數(shù)學研究所，新疆伊寧 835000）

0 引言

在20世紀二三十年代，F(xiàn).Riesz等人分別將格序結構引入到向量空間，形成了Riesz空間的一些基礎理論．由于它把具體的分析問題抽象在一種更加純粹的代數(shù)、拓撲和序結構中進行研究，由此發(fā)展出的概念、定理和方法的應用也就更為廣泛，更為深刻．文獻［2］中提出Riesz空間是有代數(shù)結構的序結構．文獻［6-8］中將格序結構引入到群、環(huán)中，得到了格序群、格序環(huán)，以及它們的一些基本性質．模是域上線性空間概念的推廣．由于環(huán)的不一定可換，所以有了左模與右模之分．模的概念是19世紀提出來的，但到20世紀40年代才引起重視；到70年代，人們認識到模是當代最重要的代數(shù)結構之一，其重要性超過了線性空間．因此將格序結構引入到模的概念中，將Riesz空間推廣到模很有必要．

本文在?-群、?-環(huán)和線性空間上的Riesz空間概念的基礎上，引入左R-模上Riesz空間的概念，基于對具有代數(shù)結構序對象Riesz空間及其性質的研究，討論了左R-模上Riesz空間的相關性質，進一步研究了序理想、帶和投影．

1 預備知識

定義1.1設(L,≤)是非空偏序集.若對任意a,b∈L,a∧b,a∨b都存在，則稱偏序集(L,≤)是一個格，也記作(L,∧,∨),簡稱?-格.

定義1.2設(G,+)是一個Abelian群，≤是群G上的一個偏序關系，滿足?a,b,c∈G,a≤b?a+c≤b+c，則稱(G,+,≤)是一個Abelian偏序群．

定義1.3設(G,+,≤)是一個Abelian偏序群，如果偏序集(G,≤)是一個格，則稱(G,+,≤)是一個Abelian格序群，簡稱為Abelian?-群．

定義1.4設(R,+,·)是一個具單位元的環(huán)，≤是環(huán)R上的一個偏序關系，滿足?r,s,t∈R,(1)r≤s?t+r≤t+s，(2)0≤r,0≤s?0≤rs，則稱(R,+,·,≤)是一個偏序環(huán)．

注1.1：記R+={r∈R|r≥0}，則定義1.4中的條件(2)等價于R+R+?R+．

定義1.5設(R,+,·,≤)是一個偏序環(huán)，如果偏序集(R,≤)是一個格，則稱(R,+,·,≤)是一個格序環(huán)，簡稱為?-環(huán)．

定義1.6設M為左R-模，(R,+,·,≤)是具單位元的偏序環(huán)，(M,+,≤)是Abelian偏序群.滿足?m,n,p∈M,?r∈R(r≥0)，都有m≤n，則m+p≤n+p,rm≤rn，則稱(M,+,≤)為左R-模上的偏序模，簡稱為po-模．

注1.2：記M+={m∈M|m≥0}，則定義1.6中的條件對?m,n∈M,?r∈R(r≥0)，若m≤n，r≥0，則rm≤rn等價于條件?m∈M,?r∈R，若m≥0,r≥0，則等價于條件R+M+?M+.

定義1.7設(M,+,≤)為左R-模上的偏序模，如果(R,+,·,≤)是具單位元的?-環(huán)，(M,+,≤)是Abelian?-群，則稱(M,+,≤)是左R-模上Riesz空間，也稱為格序左R-模，簡稱為?-R-模．

2 基本性質

定理2.1設(M,+,≤)是左R-模上Riesz空間，則有以下性質：

（1）?m,n∈M,若m≤n,則0≥m-n,-m≥-n；

（2）?m,n∈M,若0≤m,0≤n,則0≤m+n；

（3）?mλ∈M(λ∈Γ),若n=sup{-mλ}存在，則-n=inf{mλ}也存在；

（4）?n∈M,n+sup{mλ}=sup{n+mλ};?r≥0,rsup{mλ}=sup{rmλ};?r≥0,rinf{mλ}=rsup{rmλ},這里r∈R；

（5）?m,n,p∈M,m∧n=-[(-m)∨(-n)],p+[(m-p)∨0]=m∨p,(m∨n)+(m∧n)=m+n．

證明：（1）（2）顯然成立．

（3）因為n=sup{-mλ}存在，可知對?λ∈Γ,有n≥-mλ或-n≤mλ,-n是下確界.假設p∈M使得對?λ∈Γ，有p≤mλ,p是{mλ}的一個下界，那么對?λ∈Γ,有-mλ≤-p.于是sup{-mλ}≤-p,即n≤-p,則p≤-n.因此-n=inf{mλ}存在．

（4）首先我們證明sup{n+mλ}存在.如果p=sup{mλ}，那么對?λ∈Γ，有n+p≥n+mλ.如果u是{n+mλ}的另一個上界，那么對?λ，有u-n≥mλ.從而可以推得u-n≥sup{mλ}，即u-n≥p.于是u≥n+p.因此n+p是{n+mλ}的最小上界.由此可得n+p=n+sup{mλ}=sup{n+mλ}.同理可證，?r≥0,rsup{mλ}=sup{rmλ}；?r≥0,rsup{mλ}=inf{rmλ}，這里r∈R．

（5）利用?m,n,p∈M,m∧n=-[(-m)∨(-n)],p+[(m-p)∨0]=m∨p顯然成立.一方面可得，(m∨n)+[(-n)∨(-m)]=(m+n+(-n))∨(m+n+(-m))=m∨n；另一方面可得，(m∨n)+[(-n)∨(-m)]=(m+n)-(m∧n).因此，(m∨n)+(m∧n)=m+n．

設(M,+,≤)是左R-模上Riesz空間，對m∈M，若m≥0，稱m是一個正元素，m≤0，稱m是一個負元素.自然地定義m的正部分是m+=m∨0，m的負部分是m-=(-m)∨0，M的絕對值是|m|=m++m-.從而可以寫成兩個正元素的減法形式m=m+-m-，此時-|m|≤m≤|m|.

左R-模上Riesz空間里的正負元素及元素的絕對值具有如下性質：

定理2.2（1）?n,p∈M,n,p≥0,如果m=n-p,那么m+≤n和m-≤p；

（2）?m,n∈M,(m+n)+=m++n+,(m+n)-=m-+n-；

（3）對于?r∈R,m,n∈M,|m+n|≤|m|+|n|,|rm|=|r||m|；

（4）?r≥0,(rm)+=rm+,(rm)-=rm-;?r≤0,(rm)-=-rm-,(rm)-=-rm+,這里r∈R.

證明：（1）由m=n-p可得，n=m+p≥m.一方面，n=n∨0≥m∨0=m+.另一方面，p=n-m≥-m.因此p=p∨0≥(-m)∨0=m-.

（2）顯然地，m+≥m和n+≥n，于是m++n+≥m+n.因此m++n+=(m++n+)∨0≥(m+n)∨0=(m+n)+.再用-m,-n分別代替m,n，可以得到(-m)++(-n)+=[(-m)∨0]+[(-n)∨0]=m-+n-≥(-m-n)+=[-(m+n)]∨0=(m+n)-．

（3）?m,n∈M,|m+n|≤(m+n)++(m+n)-≤m++n++m-+n-=|m|+|n|．

定理2.3?mλ∈M(λ∈Γ),如果n=sup{mλ}存在，那么

（1）m+=sup{mλ+},m-=sup{mλ-}；

（2）?n∈M,n∧sup{mλ}=sup{n∧mλ},n∨inf{mλ}=inf{n∨mλ}.

證明：（1）先證明m-=sup{mλ-}：因為m≥mλ，對于?λ，有m-≤m+.于是，m-是{mλ-}的一個下界.如果n是{mλ-}的另一個下界，那么n≤mλ-，并且對于?λ，有mλ+-n≥mλ+-mλ-=mλ.可以推出sup{mλ+-n}≥sup{mλ}=m，并且sup{mλ+-n}=sup{mλ+}-n=m+-n，于是m+-n≥m.因此m+-m≥n，可得m-≥n.即證明了m-是{mλ-}的下確界.m+=sup{mλ+}同理可證．

（2）先證明n∧sup{mλ}=sup{n∧mλ}：對于?n∈M，由定理2.1，2.2可得，m-n=sup{mλ}-n=sup{mλ-n};(m-n)-=inf{(mλ-n)-}.可以推出-(m-n)-=-sup{-(mλ-n-)}=sup{-(-(mλ-n)∨0)}，這等價于-(-(m-n)∨0)=sup{-(-(mλ-n)∨0)}.現(xiàn)在我們對此等式兩邊添加-n可得，-(-m∨-n)=sup{-((-mλ)∨-n)}.故對于?n∈M，有n∧sup{mλ}={n∧mλ}.再證明n∨inf{mλ}=inf{n∨mλ}：設m=inf{mλ}，由定理2.1（3）（5）知，-m=-inf{mλ}=sup{-mλ};-n∧-m=sup{(-n)∧(-mλ)}.兩邊同時取負可得n∨m=n∨inf{mλ}=inf{n∨mλ}．

引理2.1設(L,∧,∨)是一個格，如果對任意x,y∈A,有x∧y∈A和x∨y∈A，可知對任意m,n,p∈M，滿足分配律，n∧(m∨p)=(n∧m)∨(n∧p),n∨(m∧p)=(n∨m)∧(n∨p)，故?-格是分配格.

定義2.1對于左R-模上Riesz空間中任意的元素m,n,如果|m|∧|n|=0.則稱這兩個元素是正交的，記作m⊥n.對于子集E,F?M，如果?m∈E,?n∈F,m⊥n，則稱這兩個子集是正交的，記作E⊥F．

如果m∈M,m的絕對值與自身是正交的，即|m|⊥m,那么|m|=|m|∧|m|=0.而|m|=m++m-，所以都是0，于是m=m++m-=0，這說明M里與自身正交的元素只有零元.同時，左R-模上Riesz空間中元素的正部分和負部分是正交的，即?m∈M，m+⊥m-.左R-模上Riesz空間的元素如果可以表示成m=n-p，其中n,p≥0，如果n∧p=0，那么n=m+，p=m-.

定理2.4左R-模上Riesz空間(M,+,≤)中的“二重”分解定理：

（1）?m∈M,m=n+p，其中n,p≥0；

（2）?m∈M,如果m=n+p,m=m1+m2+…+mn，并且?i=1,2,…,n，有mi=ni+pi，那么n=n1+

n2+…+nn,p=p1+p2+…+pn.

證明：用歸納法證明.假設n=2時，結論成立，即滿足（1）m=n+p，這里n,p≥0；（2）m=m1+m2．

下證mi=ni+pi，ni≥0，pi≥0，這里i=1,2，并且n=n1+n2，p=p1+p2；令n2=m2∧n，那么有n2≥0，m1=m-m2≥(n-m2)∨0=n+[(-m2)∨(-n)]=n-(m2∧n)=n-n2≥0.現(xiàn)在令n1=n-n2，p1=m1-n1≥0.因此m1=n1+p1.于是有m2=n2+p2．

假設對于i=n時，定理成立.下證i=n+1時，定理成立：令m'=m1+m2+…+mn，那么m=m'+mn+1=n+p．由前邊的證明，有m'=n'+p'，mn+1=n''+p''，n=n'+n''，p=p'+p''，這里n',n'',p',p''≥0，從而m'=m1+m2+…+mn=n'+p'.已知mi=ni+pi，ni≥0，pi≥0，這里i=1,2,…,n，而n'=n1+n2+…+nn，p'=p1+p2+…+pn.因此，如果m=m1+m2+…+mn+mn+1=m+n，那么m=m'+mn+1=n'+p'+n''+p''=(n'+n'')+(p'+p'')=n+p，這里n=n'+n''=n1+n2+…+nn+n''，p=p'+p''=p1+p2+…+pn+p''即證．

定理2.5設(M,+,≤)是左R-模上Riesz空間，則

（1）?m,n,p∈M,m,n,p≥0時，m∧(n+p)≤(m∧n)+(m∧p)；

（2）?i=1,2,…,n,mi≥0,mi⊥mj時，m1+m2+…+mn=m1∨m2∨…∨mn；

（3）當m⊥n時，(m+n)+=m++n+,(m+n)-=m-+n-,|m+n|=|m|+|n|；

（4）?mλ≥0(λ∈Γ)，?n∈M，mλ⊥n，如果m=sup{mλ}或m=inf{mλ}，那么m⊥n．

證明：（1）令u=m∧(n+p)，那么0≤u≤(n+p).應用定理2.4，令m1=u和m2=(n+p)-u=(n+p)-m1.從而m1+m2=n+p，我們可以表示m1=u=v+w，這里0≤v≤n和0≤w≤p，也有0≤v≤u≤m，0≤w≤u≤m.因此，有0≤v≤m∧n和0≤w≤m∧p.于是，有0≤v+w≤(m∧n)+(m∧p).故0≤u≤(m∧n)+(m∧p)，即m∧(n+p)≤(m∧n)+(m∧p)．

（2）用歸納法證明.當n=2時，m1+m2=m1∨m2+(m1∧m2)=m1∨m2+0=m1∨m2.假設對于i=n，結論成立，即m1+m2+…+mn=m1∨m2∨…∨mn，那么對于i=n+1，我們要證m1+m2+…+mn+mn+1=m1∨m2∨…∨mn∨mn+1.令m=m1+m2+…+mn，則有m⊥mn+1.因此m+mn+1=m∨mn+1，即m1+m2+…+mn+mn+1=m1∨m2∨…∨mn∨mn+1.從而有m1+m2+…+mn=m1∨m2∨…∨mn．

（3）因為|m|∧|n|=0，則有m+∧n+=0和m+∧n-=m-∧n+=0，從而有(m++n+)⊥(m-+n-).又由于m+n=(m+n)+-(m-n)-且m+n=m+-m-+n+-n-=(m+n)+-(m+n)-.故有(m+n)+=m++n+和(m+n)-=m-+n-．

（4）如果m=sup{mλ}，那么m-m1≥0.由定理2.1的(4)和定理2.2的(4)得，0≤m-m1=sup{mλ-m1}，那么0≤m-m1=sup{(mλ-m1)+}，從而對于?λ，有n⊥(mλ-m1)．因此，有n⊥(m-m1).又由于n⊥m1，從而有n⊥m．

3 序理想、帶、投影

定義3.1設(M,+,≤)是一個左R-模上Riesz空間，(N,+)是(M,+)的子模，如果(N,≤)是(M,+)的一個子格，并且R+N+?N+,則稱(N,+,≤)是(M,+,≤)的一個子?-R-模．

定義3.2設(M,+,≤)是一個左R-模上Riesz空間，N是(M,+,≤)的子模，如果N滿足正規(guī)性條件，即?m∈M,?n∈N,若|m|≤|n|時，則m∈N,稱(N,+,≤)是(M,+,≤)的一個（序）理想．

注3.1當p≤|n|,n∈N時，則p∈N一般不成立．

注3.2因為N是理想，當n∈N時，有|n|∈N.進而知，當n∈N時，有0≤n+≤|n|,所以n+∈N.同理n-∈N.

定理3.1設(M,+,≤)是一個左R-模上Riesz空間，則M里每一個序理想N也是M的子格．

證明：令m,n∈N,想證明m∨n∈N,m∧n∈N，令p=m∨n，那么有p+=m+∨n+和p-=m-∨n-，并且|p|=p++p-=(m+∨n+)+(m-∧n-)≤m++n++m-+n-=|m|+|n|.因為N是一個子模并且|m|∈N，|n|∈N，因此|m|+|n|∈N.由理想的定義，有p∈N.

如果令l=m∧n，那么-l=(-m)∨(-n).因為-m∈N,-n∈N，所以有-l∈N.因此l∈N，那么N是M的一個子格．

定理3.2設N是左R-模上Riesz空間(M,+,≤)的一個子模，如果N+是M的理想，那么N是(M,+,≤)的一個子?-R-模．

證明：?r∈R,n∈N,則rn∈N,即RN?N.所以R+N+?N+.

定理3.3設(M,+,≤)是一個左R-模上Riesz空間，如果mλ∈M，其中λ∈Γ,Γ是指標集，且存在m=sup{mλ∈M}∈N,那么m也是M的上確界．

證明：令n∈M使得?λ,有n≥m（λ注意我們不能知道n≥m!或m≥n）．定義p=m∧n．那么m≥p，并且?λ,有p≥mλ.因此m≥p≥mλ，有m+≥p+和m-λ≥p-，因此易得|m|+|mλ|≥|p|.現(xiàn)有|m|+|mλ|∈N，因此p∈N.又因為?λ,有p≥mλ，所以p≥m.因此m=p.這意味著n≥m?m也是M里的{mλ}的上確界．

定義3.3設N是左R-模上Riesz空間(M,+,≤)的一個理想，如果M中任意一族元素的集合{mλ|λ∈Γ}，Γ是指標，在M中存在上確界(或下確界）m，那么m=sup{mλ}∈N(或inf{mλ}∈N),則稱N是?-R-模(M,+,≤)的一個帶．

定理3.4設N是左R-模上Riesz空間(M,+,≤)的子模，N的正交補N⊥是一個帶．

注3.3由于N⊥⊥是包含N的最小的帶，所以可稱N⊥⊥是由N生成的帶.特別地，令p∈M,{p}⊥⊥是一個帶，并且p∈{p}⊥⊥，稱帶{p}⊥⊥是由元素p生成的帶，記作Mp.

注3.4設N1,N2是M的子模，且N1是一個帶時，有N1=N1⊥⊥.當N1⊥N2時，N1⊥⊥⊥N2⊥⊥.

定義3.4設(M,+,≤)是左R-模上Riesz空間，N是(M,+,≤)的一個帶，如果有0≤m∈M，那么N中的一個小于等于m的最大元素，稱為m在帶N上的投影，記作PrNm，即PrNm=sup{n∈N|n≤m}∈N.對于?m∈M，我們定義PrNm=PrNm++PrNm-.

定理3.5設PrNm是帶N上的m的投影，則有以下性質：

（1）對于0≤m∈M,0≤PrNm≤m；

（2）對于?m∈M,|PrNm|=PrNm++PrNm-≤|m|；

（3）?m∈M,m=PrNm+PrN⊥m.

證明：（1）顯然成立．

（2）由（1）得，0≤PrNm+≤m+,0≤PrNm-≤m-，并且m++m-=0，有PrNm+∧PrNm-=0,則有|PrNm|=PrNm++PrNm-≤m++m-=|m|．

（3）假設m≥0，由定理3.4可知N⊥是一個帶，PrNm，PrN⊥m都存在.令n=PrNm，那么n∈N并且m≥n≥0.令z=m-n≥0.我們要證z⊥N，因此z∈N⊥.假設w∈N和p=z∧|w|，那么z≥p≥0和|w|≥p≥0.因為N是一個帶，有p∈N.因此n+p∈N和0≤n+p≤n+z=m.但n是(＜m)在N里的最大的元素，因此n+p≤n?p≤0.因此0=p=z∧|w|.即證明了z直交于N里的每一個元素w.因此z∈N⊥．

緊接著我們證z=PrN⊥m.現(xiàn)在證明z是N⊥里的最大的小于m的元素.假設t∈N⊥和0≤t≤m.現(xiàn)有t⊥n，故t=t∧m≤t∧(n+z)≤(t∧n)+(t∧z)≤0+(t∧z)≤z，即證z是N⊥里的最大的小于m的元素.因此z=PrN⊥m.因此m=n+z=PrNm+PrN⊥m.

定義3.5設1是左R-模上Riesz空間(M,+,≤)的一個正元素，如果?m∈M，且m∧1≥0，則稱1為左R-模上Riesz空間的一個單位．

定理3.6設N是(M,+,≤)的一個帶，則有如下性質：

（1）u=PrN1是N里的一個單位；

（2）u=supλ{1∧λu},λ是自然數(shù)；

（3）?m∈M,PrNm=supλ{m∧λu},λ是自然數(shù)．

證明：（1）根據(jù)投影的定義，知u=PrN1是比1小的且在N里最大的元素.現(xiàn)在證明u也是N里的一個單位.令0≤p∈N，定義n=p∧1＞0，那么0＜n≤1且0＜n≤p.因此n∈N.這意味著0＜n≤u和0＜n=n∧p≤u∧p，即證u=PrN1是N里的一個單位．

（2）因為u∈N和λu∈N，于是對?λ,1∧λu∈N,顯然supλ{1∧λu}≤1.由ProjN1的定義知，supλ{1∧λu}≤u.令0＜n∈N，使得0＜n≤1．又因u是N的一個單位，有n=supλ{n∧λu}≤supλ{1∧λu}.因此supλ{1∧λu}是小于1的N里的最大的元素，由此得出u=PrN1=supλ{1∧λu}．

（3）類似地可證?m∈M,PrNm=supλ{1∧λu}.

定理3.7設N是左R-模上Riesz空間(M,+,≤)的一個帶，則每一個帶N都是由投影PrN1生成的，即u=PrN1，那么N=Nu．

證明：因為{u}?N，有{u}⊥?N⊥，需要證明{u}⊥=N⊥，令m∈{u}⊥，那么|m|∧u=0.現(xiàn)要證m∈N⊥．如果存在一些元素n∈N，使得p=|m|∧|n|＞0，那么|n|≥p≥0.因為N是一個理想，所以p∈N．又u是N的一個單位，那么0≤p∧u=|m|∧|n|∧u=|m|∧u∧|n|=0∧|n|=0，這是矛盾的.因此，對于n∈N有|m|∧|n|=0.于是對于m∈N⊥，有{u}⊥=N⊥，進而{u}⊥⊥=N⊥⊥.因為N是一個帶，由定理3.4知，N=N⊥⊥，因此N={u}⊥⊥=Nu．

定義3.6設(M,+,≤)是一個左R-模上Riesz空間，如果e∈M，有e∧(1-e)=0，則稱e為單位1的一個分支．

注3.5單位1的所有分支構成的集合，稱為Riesz空間的基底，記做B(M)．

定理3.8設N是左R-模上Riesz空間(M,+,≤)的一個帶，則u=PrN1是一個分支，即u=PrN1∈B(M).反之，任意一個分支都是單位1在某個帶上的投影．

證明：令u=PrN1，m=1，n=u，那么對?n1∈N,p=m-n=(1-u)⊥，因為u∈N，所以(1-u)⊥u或(1-u)∧u=0.因此u=PrN1∈B(M).反之，令e∈B(M)，有1=e+(1-e)和e∧(1-e)=0，所以{e}⊥是一個帶，{e}⊥={e}⊥⊥⊥.考慮Ne={e}⊥⊥，因為e∈{e}⊥⊥,1-e∈{e}⊥={e}⊥⊥⊥，{e}⊥⊥和{e}⊥⊥⊥是兩個正交集.令0≤n1≤1，令n1∈{e}⊥⊥，有n1=n1∧1=n1∧(e+(1-e))≤(n1∧e)+(n1∧(1-e))=n1∧e+0=n1∧e≤e≤1，即證e是{e}⊥⊥中小于1的最大的元素．因此e=PrN e1．

令N1-e={1-e}⊥⊥，知1-e是N1-e里小于1的最大元素，則1-e=PrN1-e1.從而得到1=PrN e1+PrN1-e1．