多孔格柵均勻化模型平壓仿真分析

盛亞鵬， 段玥晨， 謝 鑫

(鄭州大學(xué) 機(jī)械與動(dòng)力工程學(xué)院，鄭州 450001)

1 引 言

格柵是一種輕型周期性結(jié)構(gòu)，具有隔熱、吸能和可設(shè)計(jì)性強(qiáng)等特點(diǎn)，在航空航天及高鐵和汽車等領(lǐng)域有著廣泛應(yīng)用。王世勛等[1]對格柵的制備工藝、分析設(shè)計(jì)、性能測試及工程應(yīng)用做了概述。李旌豪[2]對不同材料格柵結(jié)構(gòu)進(jìn)行了大量平壓實(shí)驗(yàn)，探究了格柵夾芯板面內(nèi)和面外的抗壓性能。

在格柵力學(xué)性能研究中，常見的分析方法有實(shí)驗(yàn)分析和仿真分析兩種。實(shí)驗(yàn)分析方法更加切合實(shí)際情況，但對某些大體積多層級(jí)格柵部件，實(shí)驗(yàn)分析難度大且成本高，往往需建立力學(xué)模型進(jìn)行仿真分析[3]。對周期性格柵結(jié)構(gòu)進(jìn)行力學(xué)仿真分析時(shí)，為了減少運(yùn)算量，可以從格柵周期性單胞尺度出發(fā)，推導(dǎo)其宏觀性能[4,5]?，F(xiàn)階段的普遍方式是在單胞邊界面建立綁定約束[6，7]，但采用該方法會(huì)形成邊界過約束。代表體元法(RVE)是一種在周期性結(jié)構(gòu)中選取能代表整體特征的體積單元進(jìn)行研究的方法。該方法過程簡潔，但受限于宏觀結(jié)構(gòu)行為約束[8]。Whitcomb等[9]在研究織物性能時(shí)，提出了周期性邊界理論。沿用該理論，張潔皓等[10]對復(fù)合材料編織板進(jìn)行了多尺度性能研究。20世紀(jì)70年代，Bensousson等[11]提出了均勻化方法，該方法可將非均勻材料用一種等效的均勻材料來代替[12]，馬曉龍等[13]采用均勻化方法對平紋機(jī)織復(fù)合材料進(jìn)行等效處理，并將均勻化模型損傷過程與試驗(yàn)結(jié)果對比，驗(yàn)證了該方法在機(jī)織材料仿真分析中的可靠性。

為此，本文以ABAQUS有限元軟件作為分析平臺(tái)，將周期性邊界條件應(yīng)用于多孔格柵周期性單胞，從單胞尺度建立格柵均勻化模型。通過不同模型的平壓仿真結(jié)果，來分析該均勻化模型在格柵準(zhǔn)靜態(tài)力學(xué)性能仿真分析中的精度和效率。

2 多孔格柵周期性邊界條件

2.1 三維周期性邊界條件建立

本文研究的格柵結(jié)構(gòu)是一種通過3D打印得到的新型三維周期性多孔格柵結(jié)構(gòu)，該結(jié)構(gòu)可作為夾芯層應(yīng)用于輕型構(gòu)件中。其沿坐標(biāo)軸方向?qū)ΨQ，格柵單胞面心處均有一方形通孔，圖1展示了該格柵結(jié)構(gòu)形態(tài)。M，N和K是沿坐標(biāo)軸方向的單胞數(shù)量。周期性單胞長度為l，格柵單胞各分段長度為a和b，各方向壁厚均為t，材料是激光熔融的316L不銹鋼。

圖1 格柵形態(tài)及周期性單胞參數(shù)

首先對格柵單胞建立周期性邊界約束。為滿足三維格柵邊界條件的建立，本文將編織板二維周期性邊界條件[14]進(jìn)行了拓展，探究了一種通用型的三維周期性格柵單胞邊界約束方法。

本文圍繞格柵單胞邊界上的點(diǎn)、線和面分別建立節(jié)點(diǎn)型約束。首先將單胞外圍虛擬出一個(gè)六面體外框，在外框頂部建立8個(gè)參考點(diǎn)A，B，C，D，E，F(xiàn)，G和H來虛擬單胞頂點(diǎn)位置。然后再對12條棱內(nèi)的單胞節(jié)點(diǎn)和6個(gè)面所對應(yīng)的單胞節(jié)點(diǎn)建立節(jié)點(diǎn)集L1～L12和F1～F6。其中L1～L4是與y軸平行的四條棱內(nèi)節(jié)點(diǎn)，L5～L8是上表面四條棱內(nèi)節(jié)點(diǎn)，L9～L12是下表面四條棱內(nèi)節(jié)點(diǎn)；F1是單胞上表面不包含棱的面內(nèi)節(jié)點(diǎn)，F(xiàn)2是單胞下表面不包含棱的面內(nèi)節(jié)點(diǎn)，F(xiàn)3～F6是單胞側(cè)面不包含棱的面內(nèi)節(jié)點(diǎn)。

圖2 單胞六面體外框各參數(shù)

格柵六面體外框的8個(gè)頂點(diǎn)不在圖2所示周期性單胞上，所以對于復(fù)合材料編織板常采用的頂點(diǎn)約束方式不適用該類型單胞。本文采用面約束的方式，其約束方程可表示為

(1)

式中λ，ξ和ν分別為坐標(biāo)系x，y和z三個(gè)方向的位移，下標(biāo)為對應(yīng)的面。

以式(1)的面F5，F(xiàn)2和F3作為主面，棱L4，L11和L12作為主棱，參考點(diǎn)A,C，D和H作為主頂點(diǎn)。單胞的其他邊界面內(nèi)節(jié)點(diǎn)和棱內(nèi)節(jié)點(diǎn)以此為基礎(chǔ)進(jìn)行三維周期邊界約束方程的建立。

面內(nèi)節(jié)點(diǎn)的約束方程為

WF 1-WF 2-WH=0

(2)

WF 4-WF 3-WH=0

(3)

WF 6-WF 5-WC=0

(4)

式中W為節(jié)點(diǎn)位移，下標(biāo)是對應(yīng)的面內(nèi)節(jié)點(diǎn)和主頂點(diǎn)。

式(2～4)建立了單胞六個(gè)外表面節(jié)點(diǎn)之間的約束關(guān)系，該約束方程保證了單胞相對邊界面內(nèi)節(jié)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的一致性。由于需保證節(jié)點(diǎn)位移沿坐標(biāo)軸三個(gè)方向上均一致，所以W=λ，ξ，ν。

對于一個(gè)六面體來說，棱是兩個(gè)面的交集。如果將12條棱包含在6個(gè)面內(nèi)一起建立約束，就會(huì)產(chǎn)生過約束。所以需要將單胞外圍12條棱單獨(dú)建立約束。其棱內(nèi)節(jié)點(diǎn)約束方程為式(5～13)。

對于棱L1，L3，L7，L8，L9和L10內(nèi)節(jié)點(diǎn)，只需一個(gè)主頂點(diǎn)與其對應(yīng)建立節(jié)點(diǎn)位移約束方程，就可實(shí)現(xiàn)其棱內(nèi)節(jié)點(diǎn)約束。

WL 1-WL 4-WA=0

(5)

WL 9-WL 11-WA=0

(6)

WL 10-WL 12-WC=0

(7)

WL 3-WL 4-WC=0

(8)

WL 8-WL 12-WH=0

(9)

WL 7-WL 11-WH=0

(10)

棱L2，L5和L6與主棱不相鄰，分別與主棱L4，L11和L12沿對角線共面，需兩個(gè)主頂點(diǎn)位移約束才能使方程位移差為0。

WL 2-WL 4-WA-WC=0

(11)

WL 5-WL 11-WA-WH=0

(12)

WL 6-WL 12-WH-WC=0

(13)

參考點(diǎn)之間約束關(guān)系可表示為

WB-WA-WC=0

(14)

WG-WC-WH=0

(15)

WE-WH-WA=0

(16)

WF-WH-WA-WC=0

(17)

將式(2～17)通過編程輸入ABAQUS中，可建立任意三維對稱模型的周期性邊界條件。

2.2 三維周期邊界條件可靠性驗(yàn)證

對格柵單胞做準(zhǔn)靜態(tài)平壓分析，并與文獻(xiàn)實(shí)驗(yàn)結(jié)果[15]對比來驗(yàn)證所建立的周期性邊界條件是否可靠。在面F4內(nèi)任一節(jié)點(diǎn)處施加集中力Fz來求z方向位移變化量ΔL，通過式(18)進(jìn)行名義應(yīng)力和名義應(yīng)變數(shù)值轉(zhuǎn)換。

(18)

式中SA B F E是指參考點(diǎn)ABFE圍成的面積，LD A是DA之間的距離。

圖3 三類單胞的應(yīng)力應(yīng)變曲線

表1 三類單胞平壓數(shù)據(jù)對比

3 均勻化模型建立及驗(yàn)證

3.1 彈性階段數(shù)值分析

本文將格柵單胞的等效力學(xué)性能分為彈性和塑性兩部分研究，均勻化模型的建立過程圍繞這兩個(gè)階段進(jìn)行。其彈性階段的工程彈性常數(shù)可用格柵柔度矩陣(19)表示。

(19)

式中E為彈性模量，μ為泊松比，G為剪切模量。1，2和3對應(yīng)x，y和z軸的方向。該格柵單胞是各向同性結(jié)構(gòu)，其沿坐標(biāo)軸各方向的等效彈性模量、泊松比和剪切模量數(shù)值相等。對單胞y方向進(jìn)行剪切分析，對z方向進(jìn)行平壓分析，施加載荷均為20 N,其結(jié)果如圖4所示。

圖4 周期性邊界條件下的單胞準(zhǔn)靜態(tài)位移云圖

利用變形量和施加載荷之間的關(guān)系[14]可得到格柵α的等效彈性參數(shù)。采用同樣的方法分析格柵單胞β和γ，三個(gè)模型的等效彈性參數(shù)列入表2。

表2 三類格柵等效彈性參數(shù)

3.2 塑性階段數(shù)值分析及結(jié)果驗(yàn)證

塑性階段應(yīng)力應(yīng)變數(shù)值通過式(20)求得。將圖3應(yīng)力應(yīng)變數(shù)據(jù)代入，可得到均勻化模型塑性階段應(yīng)力應(yīng)變值。

(20)

式中σm為塑性階段應(yīng)力值，σn為彈性階段應(yīng)力值，σt為模型總應(yīng)力值。

將等效彈性參數(shù)輸入ABAQUS建立的六面體均勻化模型的彈性欄，將塑性參數(shù)以樣本點(diǎn)的形式輸入塑性欄。再將格柵密度通過式(21)做等效處理。即為本文求得的均勻化模型。

(21)

采用式(1～17)對均勻化模型建立周期性邊界約束，并對均勻化模型平壓，可得到圖5所示的力位移曲線。對比格柵單胞模型和單胞層面的均勻化模型的平壓仿真結(jié)果，兩種分析方法的曲線近乎重疊，表明該方法在單胞尺度具有良好的準(zhǔn)確性。

圖5 格柵單胞與均勻化模型力位移曲線

4 均勻化模型平壓性能分析

均勻化模型的建立過程是從格柵單胞出發(fā)，然后由單胞尺度向宏觀層面延伸。這一過程會(huì)有誤差產(chǎn)生。為避免模型誤差對后文結(jié)論造成影響，首先對宏觀層面的格柵均勻化模型精確度進(jìn)行判定。

選用格柵β作為精細(xì)模型，單胞數(shù)M*N*K設(shè)定為3*5*3。將均勻化模型在尺寸上拓展，保證與精細(xì)模型外輪廓尺寸一致。采用準(zhǔn)靜態(tài)平壓對兩類模型均勻下壓10 mm，將平壓過程中壓板對模型的作用力和模型變形量通過式(18)轉(zhuǎn)換成名義應(yīng)力和名義應(yīng)變，可得到圖6所示曲線。對比發(fā)現(xiàn)，兩種模型的名義應(yīng)力和名義應(yīng)變曲線表現(xiàn)出一致性，兩類模型最大誤差不到2.8%。說明本文所建的均勻化模型精確度較高，不會(huì)因模型初始誤差對后文推導(dǎo)出的結(jié)論產(chǎn)生較大影響。

圖6 均勻化模型和精細(xì)模型應(yīng)力對比

同條件下對兩類格柵模型下壓10 mm，得到圖7所示的精細(xì)模型和均勻化模型Mises應(yīng)力云圖。由于格柵均勻化模型的結(jié)構(gòu)和材料屬性在均勻化處理之后均發(fā)生了改變，所以圖示均勻化模型反映的應(yīng)力情況和精細(xì)模型所展示的實(shí)際內(nèi)部應(yīng)力情況不符。說明本文所建的均勻化模型不適用于研究模型內(nèi)部應(yīng)力情況。

圖7 精細(xì)模型與均勻化模型應(yīng)力結(jié)果對比

本文著重對比分析不同格柵層數(shù)下精細(xì)模型和均勻化模型的外部受力和整體吸能情況。同樣選用格柵β進(jìn)行準(zhǔn)靜態(tài)平壓分析，單胞數(shù)M*K設(shè)為定值3*3，格柵層數(shù)N分別設(shè)為1層、3層、5層和7層，平壓位移和層數(shù)對應(yīng)，分別為1 mm，3 mm，5 mm和7 mm。記錄模型受力情況和開始分析到分析結(jié)束所消耗的時(shí)間。

格柵精細(xì)模型和均勻化模型平壓受力情況如圖8所示，兩種模型在3*1*3芯層時(shí)的平壓分析誤差為24.8%，說明該均勻化模型處理1層格柵芯層時(shí)效果偏差。到3*3*3時(shí)誤差迅速降低至3.1%，層數(shù)繼續(xù)增加，兩種分析方法計(jì)算結(jié)果趨于一致。這說明均勻化模型對多層級(jí)格柵，尤其是芯層達(dá)到5層以后的格柵結(jié)構(gòu)，整體受力分析時(shí)的效果很理想。

圖8 均勻化模型和精細(xì)模型平壓受力對比

模型分析時(shí)間如圖9所示。隨著格柵層數(shù)不斷增加，模型分析時(shí)間也不斷遞增。M*N*K從 3*1*3到3*7*3，精細(xì)模型分析時(shí)間分別是均勻化模型的0.67倍，2.5倍，4.29倍和5.37倍，并且這種趨勢在擴(kuò)大。這表明格柵層數(shù)越多，均勻化模型比精細(xì)模型處理得越快，相比精細(xì)模型，均勻化模型計(jì)算優(yōu)勢會(huì)隨芯層數(shù)增加而越發(fā)明顯。

圖9 均勻化模型和精細(xì)模型平壓分析時(shí)間對比

均勻化模型和精細(xì)模型的吸能情況列入表3。表中，S表示平壓位移，Dm表示格柵精細(xì)模型吸能值，Hm表示格柵均勻化模型吸能值。格柵選用3*3*3，3*5*3和3*7*3三種類別，均從 1 mm 平壓到7 mm，對比不同芯層和不同平壓位移下的吸能值，發(fā)現(xiàn)均勻化模型吸能值和精細(xì)模型吸能值最大誤差均未超過6%。說明本文建立的均勻化模型可很好地代替精細(xì)模型進(jìn)行吸能性能分析。

表3 精細(xì)模型和均勻化模型吸能對比Tab.3 Comparison of energy absorption between detailed model and homogenization model

5 結(jié) 論

本文針對多孔格柵結(jié)構(gòu)，開展了格柵周期性邊界條件與均勻化模型的研究工作。通過有限元方法，對周期性邊界條件下的格柵單胞彈塑性性能進(jìn)行仿真分析，建立了具有等效彈塑性性能的格柵均勻化模型。將格柵均勻化模型與精細(xì)模型平壓性能對比，得出以下結(jié)論。

(1) 格柵層數(shù)增加，精細(xì)模型的計(jì)算時(shí)間隨之成倍增加，而均勻化模型的計(jì)算成本低，所以不會(huì)隨格柵層數(shù)增加而消耗大量計(jì)算時(shí)間。且層數(shù)越多，均勻化模型相比精細(xì)模型的計(jì)算速率越高。

(2) 格柵均勻化模型可替代精細(xì)模型進(jìn)行平壓整體受力和吸能分析。

(3) 均勻化方法可作為周期性結(jié)構(gòu)仿真分析時(shí)節(jié)省計(jì)算量而采取的一種手段。