基于模態(tài)參數(shù)靈敏度的損傷方程組求解正則化方法研究

孫健敏， 李 丹*， 顏王吉

(1.合肥工業(yè)大學(xué) 土木與水利工程學(xué)院，合肥 230009;2.澳門大學(xué) 智慧城市物聯(lián)網(wǎng)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，澳門 999078)

1 引 言

損傷識(shí)別是結(jié)構(gòu)健康監(jiān)測(cè)的關(guān)鍵問題之一，近年來，基于振動(dòng)的結(jié)構(gòu)損傷識(shí)別一直受到廣泛的關(guān)注[1-3]。由于頻率和振型測(cè)試簡(jiǎn)單便捷，基于模態(tài)參數(shù)的損傷識(shí)別方法應(yīng)用最為普遍。這些方法按照是否需要有限元模型可以分為無模型和基于模型的結(jié)構(gòu)損傷識(shí)別方法。無模型的損傷識(shí)別方法通過結(jié)構(gòu)損傷前后不同狀態(tài)下的模態(tài)參數(shù)或相關(guān)衍生量構(gòu)造損傷指標(biāo)，進(jìn)行損傷識(shí)別[4,5]。這類方法通常只能確定結(jié)構(gòu)是否發(fā)生損傷和損傷位置，不能用于結(jié)構(gòu)損傷程度量化。

基于模型的結(jié)構(gòu)損傷識(shí)別方法，往往需要基于模態(tài)參數(shù)及其衍生量靈敏度建立結(jié)構(gòu)損傷方程組，通過求解損傷方程組識(shí)別結(jié)構(gòu)損傷位置和損傷程度[6,7]。由于實(shí)際工程中模態(tài)參數(shù)不完備性和噪聲的影響，結(jié)構(gòu)損傷方程易出現(xiàn)病態(tài)問題，對(duì)這一問題直接求解可能產(chǎn)生錯(cuò)誤的結(jié)果[8]。為了解決這一問題，正則化方法引入到結(jié)構(gòu)損傷方程組的求解過程，以確保識(shí)別結(jié)果的正確性。Ren[9]提出了基于模態(tài)參數(shù)的損傷方程組求解的奇異值截?cái)嗨惴?，并用?jiǎn)支梁進(jìn)行了驗(yàn)證。Weber等[10]將Tikhonov正則化(或稱L2范數(shù)正則化)方法用于兩層框架結(jié)構(gòu)的損傷識(shí)別中，證明了該方法可以有效地解決結(jié)構(gòu)損傷識(shí)別中的病態(tài)問題。這一方法在無噪聲或噪聲很小時(shí)才能達(dá)到較好的效果。為了進(jìn)一步提高抗噪能力，Li等[11]在此基礎(chǔ)上對(duì)Tikhonov正則化方法進(jìn)行改進(jìn)，驗(yàn)證了不同噪聲水平下的結(jié)構(gòu)損傷識(shí)別結(jié)果優(yōu)于Weber的方法。正則化參數(shù)控制了正則化問題的數(shù)據(jù)保真度與解之間的平衡，對(duì)識(shí)別結(jié)果具有重要影響。一些學(xué)者提出了偏差準(zhǔn)則、L曲線和廣義交叉驗(yàn)證(GCV)等方法[12]，這些方法依據(jù)窮舉思想，計(jì)算耗時(shí)且難以選擇最優(yōu)參數(shù)。近年來，Bayes系統(tǒng)識(shí)別理論框架受到了廣泛關(guān)注[13]。Jin等[14,15]基于分層貝葉斯推理提出了自適應(yīng)確定正則化參數(shù)的貝葉斯正則化方法，并證明該方法與Tikhonov方法引入了相同的正則化項(xiàng)。Chen等[16]將貝葉斯正則化方法用于結(jié)構(gòu)模型修正中，對(duì)基于模態(tài)參數(shù)的結(jié)構(gòu)損傷方程組進(jìn)行了求解，結(jié)果表明，該方法具有較高的計(jì)算效率和較好的魯棒性。

Tikhonov正則化方法傾向于產(chǎn)生超光滑解，導(dǎo)致?lián)p傷識(shí)別結(jié)果分布在許多結(jié)構(gòu)單元上。實(shí)際工程結(jié)構(gòu)的損傷通常只發(fā)生在幾個(gè)單元或構(gòu)件上，即損傷具有稀疏性。周述美等[17]提出了使用L1范數(shù)正則化方法求解結(jié)構(gòu)損傷方程組，利用頻率和振型數(shù)據(jù)對(duì)空間桁架結(jié)構(gòu)進(jìn)行了有效的損傷識(shí)別。駱紫薇等[18]對(duì)靈敏度矩陣各列進(jìn)行范數(shù)歸一化，進(jìn)一步提高了L1范數(shù)正則化求解結(jié)構(gòu)損傷方程組的計(jì)算效率和魯棒性。然而，由于沒有閉合解，L1正則化參數(shù)的選擇十分受限。針對(duì)該問題，一些學(xué)者對(duì)L1正則化參數(shù)的選擇進(jìn)行了相關(guān)研究，提出了結(jié)合L曲線與偏差原理的方法[19]和摩擦模型啟發(fā)式方法[20]。除以上常用方法外，Sarmad等[21]提出用LSMR-Tikhonov混合方法求解基于柔度靈敏度的損傷識(shí)別問題，該方法在迭代過程中選擇一個(gè)最優(yōu)正則化參數(shù)，而不需要先驗(yàn)參數(shù)。文獻(xiàn)[22，23]對(duì)稀疏貝葉斯學(xué)習(xí)在損傷識(shí)別中的應(yīng)用進(jìn)行了詳細(xì)的研究，證明了該方法在求解損傷識(shí)別反問題中的優(yōu)勢(shì)。此外，還有列主元QR分解[24]，L1/2范數(shù)正則化[25]和改進(jìn)的加權(quán)跡稀疏正則化[26]等方法均用于結(jié)構(gòu)損傷識(shí)別。

雖然各種正則化方法在結(jié)構(gòu)損傷識(shí)別中得到廣泛應(yīng)用，但是其原理、區(qū)別和聯(lián)系及其在結(jié)構(gòu)損傷識(shí)別中的適用性沒有系統(tǒng)的研究和對(duì)比。本文從基于模態(tài)參數(shù)靈敏度的損傷方程組出發(fā)，梳理奇異值截?cái)嗨惴?、L2范數(shù)正則化、貝葉斯正則化及L1范數(shù)正則化方法的基本原理、區(qū)別和聯(lián)系。通過連續(xù)梁和框架結(jié)構(gòu)數(shù)值算例，討論損傷程度、噪聲水平和測(cè)點(diǎn)數(shù)目對(duì)幾類方法識(shí)別結(jié)果的影響，對(duì)比幾類正則化方法在結(jié)構(gòu)損傷識(shí)別應(yīng)用中的適用性。

2 基于模態(tài)參數(shù)的結(jié)構(gòu)損傷方程組

對(duì)于一個(gè)具有N個(gè)單元的無阻尼線性系統(tǒng)，其結(jié)構(gòu)特征方程可以表示為

KΦr=λrMΦr

(1)

在實(shí)際工程中，通常假定結(jié)構(gòu)發(fā)生損傷時(shí)質(zhì)量矩陣不發(fā)生變化，即損傷僅引起結(jié)構(gòu)剛度變化。基于結(jié)構(gòu)有限元模型，損傷結(jié)構(gòu)的剛度矩陣可表示為

(2)

式中Kd為結(jié)構(gòu)損傷后的整體剛度矩陣，Ki為i單元對(duì)整體剛度矩陣的貢獻(xiàn)，Δαi為單元損傷指數(shù)，表征i單元的剛度損失。

根據(jù)特征靈敏度的代數(shù)表達(dá)式[27]，不考慮質(zhì)量變化時(shí)，特征值和振型關(guān)于設(shè)計(jì)參數(shù)pi的靈敏度為

(3)

由一階泰勒級(jí)數(shù)展開，可得第r階特征值和振型的改變量為

(4)

(5)

使用結(jié)構(gòu)的m階特征值和振型進(jìn)行計(jì)算，可將式(5)寫成矩陣形式

SΔα=ΔR

(6)

3 正則化方法理論基礎(chǔ)

3.1 奇異值截?cái)嗨惴?/h3>

奇異值截?cái)嗨惴梢詼p少式(6)的參數(shù)空間，使結(jié)構(gòu)損傷方程組變得數(shù)值穩(wěn)定。根據(jù)矩陣的奇異值分解，靈敏度矩陣S可以分解成兩個(gè)正交矩陣U，V和奇異值矩陣Σ的乘積，

(7)

(8)

由式(7，8)可以看出，小奇異值對(duì)靈敏度矩陣S貢獻(xiàn)較小，而對(duì)最小二乘解Δα影響較大。因此，可以去除小奇異值，從而提高解的穩(wěn)定性。截去第k個(gè)奇異值得到方程的解，

(9)

3.2 L2范數(shù)正則化方法

正則化技術(shù)可以通過在反問題中引入先驗(yàn)信息，對(duì)病態(tài)問題進(jìn)行魯棒逼近。這一方法通過添加解的范數(shù)項(xiàng)引入先驗(yàn)信息，L2范數(shù)正則化方法通過懲罰項(xiàng)(或稱為正則化項(xiàng))對(duì)目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行限制,

(10)

式中第一項(xiàng)表示殘差范數(shù)，第二項(xiàng)表示解的范數(shù)。γ為正則化參數(shù)，用于控制殘差范數(shù)和解的范數(shù)之間的平衡。當(dāng)γ=0時(shí)，上述問題即為最小二乘問題。該最小化問題具有解析解，

Δα=(SST+γI)-1STΔR

(11)

式中I為單位矩陣。根據(jù)靈敏度矩陣的奇異值分解，將式(7)代入式(11)可得

Δα=V(Σ2+γI)-1ΣUTΔR=

(12)

3.3 貝葉斯正則化方法

L2范數(shù)正則化參數(shù)的選擇通常采用GCV和L曲線等方法，計(jì)算耗時(shí)且難以選擇最優(yōu)參數(shù)。為了避免正則化參數(shù)選擇的問題，基于分層貝葉斯思想提出了貝葉斯正則化。對(duì)于本文線性方程組求解問題，假設(shè)噪聲誤差為ε，即ΔR=SΔα+ε，引入分層貝葉斯推理,

(13)

(14)

(15)

式中Ns為用于計(jì)算的每階振型元素個(gè)數(shù)。

(16)

(17)

(18)

(19)

圖1 貝葉斯正則化流程

3.4 L1范數(shù)正則化方法

L2范數(shù)正則化方法對(duì)不適定問題的求解往往過于平滑，這意味著預(yù)測(cè)的損傷通?？赡芊植荚诟浇慕Y(jié)構(gòu)單元上，與實(shí)際的結(jié)構(gòu)損傷情況不相符。因此，對(duì)解加入具有稀疏性的限制更符合損傷識(shí)別的應(yīng)用，式(10)的最小化問題可以轉(zhuǎn)化為

(20)

當(dāng)0≤p≤1，這類問題的解具有稀疏性質(zhì)。當(dāng)p=0時(shí)，L0范數(shù)表示非零解的個(gè)數(shù)，這保證了問題的稀疏性。然而，L0范數(shù)是不連續(xù)的，求解該問題需要進(jìn)行大規(guī)模的組合搜索，通常在計(jì)算上不可行[28]。當(dāng)0≤p<1時(shí)，這類問題是非凸問題，而p=1時(shí)，該問題可以轉(zhuǎn)化為凸優(yōu)化問題，因此在引入稀疏性的應(yīng)用中最為廣泛。這一方法稱為L(zhǎng)1范數(shù)正則化方法，其形式為

(21)

3.5 幾類正則化方法的聯(lián)系與區(qū)別

對(duì)比式(9,12)可知，奇異值截?cái)嗨惴ㄅcL2范數(shù)正則化方法在本質(zhì)上是統(tǒng)一的，其采取了不同的措施以減少靈敏度矩陣的小奇異值對(duì)應(yīng)項(xiàng)對(duì)病態(tài)方程組解的影響。奇異值截?cái)喾ㄍ耆诵∑娈愔祵?duì)應(yīng)項(xiàng)對(duì)解的影響，而L2范數(shù)正則化將奇異值對(duì)應(yīng)項(xiàng)乘以小于1的系數(shù)，對(duì)小奇異值項(xiàng)的影響進(jìn)行較大程度的折減。由式(10,16)可知，L2范數(shù)正則化和貝葉斯正則化對(duì)解的限制在本質(zhì)上都是加入L2范數(shù)正則化項(xiàng)，但貝葉斯正則化可以通過迭代自適應(yīng)求解正則化參數(shù)，避免了傳統(tǒng)正則化參數(shù)選擇方法耗時(shí)和易產(chǎn)生局部最優(yōu)的問題。

L2和L1范數(shù)正則化加入不同形式的正則項(xiàng)，L1范數(shù)正則化能產(chǎn)生更稀疏的解，可以從幾何角度解釋。如圖2所示，假設(shè)Δα含有兩個(gè)分量，即Δα1和Δα2，式(20)第一項(xiàng)的解集是在(Δα1,Δα2)空間上的一組等值線，如圖中陰影區(qū)域所示。第二項(xiàng)為加入的L2范數(shù)或L1范數(shù)約束集，分別為圖2圓形和菱形等值線。式(20)的解需要在殘差范數(shù)項(xiàng)和正則項(xiàng)之間平衡，即解出現(xiàn)在兩項(xiàng)的等值線相交處，交點(diǎn)的位置通過正則化參數(shù)γ控制。采用L2范數(shù)時(shí)，圖2中兩項(xiàng)等值線的交點(diǎn)通常在某個(gè)象限內(nèi)，即Δα1和Δα2均非零，而采用L1范數(shù)時(shí)，兩者的交點(diǎn)通常在坐標(biāo)軸上，即Δα1或Δα2為零，這就導(dǎo)致L1范數(shù)正則化相比于L2范數(shù)正則化易產(chǎn)生更稀疏的解。另外，L1和L2范數(shù)正則化易方法可以嵌入貝葉斯框架，即在進(jìn)行最大后驗(yàn)概率估計(jì)時(shí)，L1范數(shù)正則化假設(shè)未知參數(shù)Δα服從拉普拉斯先驗(yàn)分布[29]，而L2范數(shù)正則化假設(shè)其服從高斯先驗(yàn)分布。在零值點(diǎn)，拉普拉斯分布曲線更陡，而高斯分布更平坦。因此，L1范數(shù)正則化期望許多解為零，而L2范數(shù)正則化假設(shè)解隨機(jī)分布在零左右[30]。

圖2 L2和L1正則化原理

4 數(shù)值模擬及對(duì)比研究

4.1 連續(xù)梁

4.1.1 模型簡(jiǎn)介

圖3 連續(xù)梁有限元模型

4.1.2 無噪聲損傷識(shí)別結(jié)果

取連續(xù)梁的前三階豎向振動(dòng)頻率和振型對(duì)不同損傷工況進(jìn)行識(shí)別，無噪聲的損傷識(shí)別結(jié)果如 圖4 所示?？梢钥闯?，在無噪聲條件下，幾類正則化方法均能準(zhǔn)確地識(shí)別結(jié)構(gòu)損傷位置，L2范數(shù)正則化和貝葉斯正則化在損傷識(shí)別中易產(chǎn)生假陽性單元，奇異值截?cái)嗨惴ù沃?，而L1范數(shù)正則化僅產(chǎn)生少量假陽性單元(指實(shí)際無損傷卻判斷為發(fā)生損傷的單元)。隨著損傷單元的增加，幾類方法識(shí)別的假陽性單元數(shù)量增加，且程度增大。

4.1.3 噪聲的影響

為了分析噪聲對(duì)結(jié)構(gòu)損傷識(shí)別的影響，本文將參與計(jì)算的頻率和振型按如下方式添加噪聲[18]，

(22)

圖4 無噪聲條件下連續(xù)梁損傷識(shí)別結(jié)果

本文考慮了5%,10%和15%噪聲水平的影響，不同噪聲水平下，工況3的損傷識(shí)別結(jié)果如 圖5 所示。隨著噪聲的增加，幾類方法識(shí)別結(jié)果中出現(xiàn)的假陽性單元數(shù)量和損傷程度增加。噪聲水平達(dá)到15%時(shí)，L2范數(shù)正則化識(shí)別結(jié)果中出現(xiàn)超過實(shí)際損傷的假陽性單元，其他幾類方法仍能準(zhǔn)確識(shí)別損傷位置。

為了衡量幾類方法對(duì)損傷程度識(shí)別效果的優(yōu)劣，引入以下相對(duì)誤差,

(23)

為了避免僅根據(jù)一組加噪后的觀測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行識(shí)別的隨機(jī)性，在每一噪聲水平下對(duì)工況3采用50組加噪數(shù)據(jù)分別進(jìn)行損傷程度識(shí)別，取其最大相對(duì)誤差的均值，結(jié)果如圖6所示?？梢钥闯觯娈愔到?cái)嗨惴?、L2范數(shù)正則化和貝葉斯正則化識(shí)別結(jié)果誤差均隨噪聲水平的增加而增大，其中L2范數(shù)正則化增大最快，貝葉斯正則化次之，奇異值截?cái)嗨惴ㄏ鄬?duì)較慢，而L1范數(shù)正則化方法識(shí)別結(jié)果最大相對(duì)誤差變化不大，具有更好的魯棒性。需要指出的是，本文魯棒性是指正則化方法在噪聲變化和測(cè)點(diǎn)數(shù)目改變等影響下識(shí)別損傷能力的好壞，通過識(shí)別損傷位置的偏差、產(chǎn)生假陽性單元的數(shù)量和損傷程度的誤差大小進(jìn)行評(píng)價(jià)。

圖5 噪聲影響下連續(xù)梁工況3的損傷識(shí)別結(jié)果

4.1.4 測(cè)點(diǎn)數(shù)目的影響

實(shí)際工程結(jié)構(gòu)通常受到傳感器數(shù)目的限制，測(cè)試的自由度不完整，為了研究測(cè)點(diǎn)數(shù)目對(duì)識(shí)別結(jié)果的影響，對(duì)連續(xù)梁選擇不同的測(cè)點(diǎn)數(shù)目[28,26,…,10]進(jìn)行損傷識(shí)別。在28個(gè)測(cè)點(diǎn)的基礎(chǔ)上，每次在連續(xù)梁的兩跨上對(duì)稱位置減少2個(gè)測(cè)點(diǎn)，由支座向跨中位置依次間隔1個(gè)測(cè)點(diǎn)進(jìn)行減少。首先在連續(xù)梁(圖3)上除支座外的28個(gè)節(jié)點(diǎn)(節(jié)點(diǎn)2～節(jié)點(diǎn)15和節(jié)點(diǎn)17～節(jié)點(diǎn)30)上布置測(cè)點(diǎn)，在此基礎(chǔ)上減少對(duì)稱的2個(gè)測(cè)點(diǎn)(節(jié)點(diǎn)15和節(jié)點(diǎn)17)，得到26個(gè)測(cè)點(diǎn)，繼續(xù)去除節(jié)點(diǎn)2和節(jié)點(diǎn)30得到24個(gè)測(cè)點(diǎn)。依此類推，得到22個(gè)測(cè)點(diǎn)(去除節(jié)點(diǎn)13和節(jié)點(diǎn)19)和20個(gè)測(cè)點(diǎn)(去除節(jié)點(diǎn)4和28)等測(cè)點(diǎn)布置情況。無噪聲條件下，幾類方法在不同測(cè)點(diǎn)數(shù)目下識(shí)別結(jié)果的最大相對(duì)誤差如圖7所示?？梢钥闯觯?dāng)測(cè)點(diǎn)數(shù)目減少時(shí)，L1范數(shù)正則化識(shí)別結(jié)果的最大相對(duì)誤差穩(wěn)定在20%左右，L2范數(shù)正則化和貝葉斯正則化識(shí)別結(jié)果的最大相對(duì)誤差逐漸增大并出現(xiàn)錯(cuò)誤。而本文選取奇異值截?cái)嗟拈撝禐棣襥/σmax=0.005，奇異值截?cái)嗨惴ㄊ芙財(cái)嗾`差限取值影響較大，魯棒性最差。

圖6 連續(xù)梁工況3識(shí)別結(jié)果最大相對(duì)誤差

圖7 測(cè)點(diǎn)數(shù)目對(duì)連續(xù)梁識(shí)別結(jié)果的影響(工況3)

4.2 平面剛架

4.2.1 模型簡(jiǎn)介

為了進(jìn)一步對(duì)比正則化方法在不同結(jié)構(gòu)中損傷識(shí)別應(yīng)用的效果，模擬如圖8所示的平面剛架結(jié)構(gòu)。每層剛架高1.5 m,寬3 m，共劃分45個(gè)單元，其參數(shù)列入表2。假設(shè)該剛架單元8、單元32和單元43分別發(fā)生10%，15%和20%的損傷，取前六階彎曲模態(tài)頻率和振型作為輸入進(jìn)行損傷識(shí)別。

圖8 平面剛架有限元模型

表2 平面剛架參數(shù)

4.2.2 損傷方程歸一化的影響

由于頻率和各階振型的量級(jí)范圍不同，直接采用式(6)進(jìn)行求解，可能使得頻率和各階振型所占權(quán)重差別過大，從而影響識(shí)別結(jié)果。為了平衡計(jì)算過程中頻率與各階振型的權(quán)重，可以對(duì)結(jié)構(gòu)損傷方程進(jìn)行歸一化處理，

(24)

圖9給出了平面剛架結(jié)構(gòu)歸一化前后采用幾類正則化方法的識(shí)別結(jié)果?？梢钥闯?，各方法求解未歸一的損傷方程出現(xiàn)了明顯的識(shí)別錯(cuò)誤，而經(jīng)過歸一化處理的方程識(shí)別結(jié)果有了明顯的改善。因此，對(duì)損傷方程進(jìn)行歸一化處理能夠有效地提高損傷識(shí)別的準(zhǔn)確性。此外，歸一化處理能夠有效地提高貝葉斯正則化和L1范數(shù)正則化方法的計(jì)算效率。這一處理對(duì)連續(xù)梁結(jié)構(gòu)同樣適用。

圖9 歸一化前后平面剛架損傷識(shí)別結(jié)果

4.2.3 損傷識(shí)別結(jié)果

不同噪聲水平下，剛架結(jié)構(gòu)的損傷識(shí)別結(jié)果如圖10所示。無噪聲條件下，幾類正則化方法能夠準(zhǔn)確識(shí)別損傷的位置，但L2范數(shù)正則化對(duì)損傷程度的識(shí)別效果稍差。隨著噪聲的增加，各方法識(shí)別的假陽性單元逐漸增多。當(dāng)噪聲水平達(dá)到5%時(shí)，奇異值截?cái)嗨惴▽?duì)損傷位置的識(shí)別出現(xiàn)錯(cuò)誤；噪聲水平達(dá)到10%時(shí)，L2范數(shù)正則化識(shí)別結(jié)果出現(xiàn)超過實(shí)際損傷的假陽性單元，貝葉斯正則化識(shí)別結(jié)果也出現(xiàn)較多接近實(shí)際損傷的假陽性單元。當(dāng)噪聲水平達(dá)到15%時(shí)，幾類方法都出現(xiàn)了不同程度的識(shí)別錯(cuò)誤，損傷程度較小的單元難以得到識(shí)別。

圖10 平面剛架損傷識(shí)別結(jié)果

無噪聲條件下改變測(cè)點(diǎn)數(shù)目，對(duì)平面剛架結(jié)構(gòu)進(jìn)行損傷識(shí)別，發(fā)現(xiàn)奇異值截?cái)嗨惴ㄊ紫瘸霈F(xiàn)識(shí)別錯(cuò)誤，L2范數(shù)正則化和貝葉斯正則化方法隨著測(cè)點(diǎn)減少誤差逐漸增大，而L1范數(shù)正則化方法在測(cè)點(diǎn)數(shù)目較少時(shí)，識(shí)別誤差也穩(wěn)定在20%以下，這與連續(xù)梁的結(jié)果一致。綜合連續(xù)梁和平面剛架結(jié)構(gòu)在噪聲水平和測(cè)點(diǎn)數(shù)目變化等方面的分析，可得幾類方法的對(duì)比結(jié)果(表3)。

表3 幾類正則化方法的對(duì)比結(jié)果Tab.3 Comparison of several regularization methods

5 結(jié) 論

本文系統(tǒng)地梳理了幾類正則化方法的原理、區(qū)別和聯(lián)系，利用連續(xù)梁和平面剛架結(jié)構(gòu)數(shù)值算例對(duì)幾類方法在基于模態(tài)參數(shù)靈敏度的損傷方程組求解中的適用性進(jìn)行了對(duì)比分析。主要結(jié)論包括：

(1) 無噪聲條件下，L2范數(shù)正則化和貝葉斯正則化在損傷識(shí)別中易產(chǎn)生假陽性單元。隨著損傷單元的增加，幾類方法識(shí)別的假陽性單元數(shù)量增加、程度增大。

(2) 隨著噪聲水平的增加，幾類方法識(shí)別結(jié)果產(chǎn)生的假陽性單元數(shù)目和程度增加；奇異值截?cái)嗨惴ê蚅2范數(shù)正則化方法易出現(xiàn)識(shí)別錯(cuò)誤，而貝葉斯正則化稍好，L1范數(shù)正則化在噪聲水平較高時(shí)仍能夠準(zhǔn)確地識(shí)別損傷位置，且產(chǎn)生少量假陽性單元，抗噪效果最好。

(3) 隨著測(cè)點(diǎn)數(shù)目的減少，L1范數(shù)正則化能夠較準(zhǔn)確地識(shí)別損傷位置和程度，貝葉斯正則化次之，而L2范數(shù)正則化較早出現(xiàn)明顯的誤差，奇異值截?cái)嗨惴ㄊ芙財(cái)嗾`差限的影響最易出現(xiàn)識(shí)別錯(cuò)誤，魯棒性最差。

(4) 損傷方程的歸一化處理能夠有效地改善頻率和各階振型所占權(quán)重不同對(duì)識(shí)別結(jié)果的影響，提高損傷識(shí)別的準(zhǔn)確性。