基于坐標(biāo)映射的類周期電磁金屬陣列布局設(shè)計的靈敏度分析方法

王 奇， 袁 坷， 高仁璟， 劉書田

(大連理工大學(xué) 工業(yè)裝備結(jié)構(gòu)分析國家重點實驗室，大連 116024)

1 引 言

類周期電磁金屬陣列已成功應(yīng)用于多種類型的電磁器件中，以實現(xiàn)其電磁輻射或散射性能的提升設(shè)計，如電磁超表面、反射板天線和光學(xué)透鏡等[1-4]。類周期電磁金屬陣列可描述為由多個相似形狀的電磁金屬單元按照特定的布局參數(shù)排列組成。布局參數(shù)通常包括各單元的尺寸、轉(zhuǎn)角以及布置位置。對于類周期陣列，其布局參數(shù)往往規(guī)模較大且相互獨立。根據(jù)特定的功能需求，如何設(shè)計和發(fā)現(xiàn)滿足性能要求的類周期電磁金屬陣列布局形式是關(guān)鍵。典型的例子是異質(zhì)電磁超表面的設(shè)計問題，其基本思想是通過優(yōu)化設(shè)計類周期電磁金屬陣列的布局形式，使其等效阻抗特性隨空間位置合理變化，進而實現(xiàn)表面波抑制、場傳輸或電磁輻射性能的進一步提升[5]。與周期性電磁金屬陣列相比，類周期陣列不再局限于周期性布局形式的限制，設(shè)計自由度大幅增加，但也導(dǎo)致用以描述類周期陣列布局形式的參數(shù)規(guī)模更大，優(yōu)化設(shè)計問題的求解更為復(fù)雜。

利用進化類算法可以優(yōu)化類周期電磁金屬陣列的布局形式[6,7]，但是這種方法沒有用到優(yōu)化問題的靈敏度信息，需要耗費較大的計算成本[8]。另一種設(shè)計方法是基于均勻化思想，將類周期電磁金屬陣列等效為阻抗?jié)u變的超表面，但這種等效僅適用于陣列單元尺寸遠(yuǎn)小于入射電磁波長的情況[9]。并且，由于趨膚效應(yīng)導(dǎo)致的電磁金屬結(jié)構(gòu)的邊界敏感性問題[10]，等效后優(yōu)化結(jié)果的性能與實際物理結(jié)構(gòu)的性能存在偏差，仍然需要借助電磁場全波分析方法對優(yōu)化結(jié)果的物理布局形式進行再次修正設(shè)計，而這種設(shè)計同樣受制于計算成本問題[11]。

通常，認(rèn)為優(yōu)化問題的靈敏度信息是高效優(yōu)化算法的基礎(chǔ)。有限差分法是求解靈敏度信息的最直接方法。雖然這種方法易于實現(xiàn)，但它有兩個缺點。首先，有限差分法在處理大規(guī)模問題時需要耗費相當(dāng)大的計算成本。即若要計算目標(biāo)函數(shù)對m個獨立設(shè)計變量的靈敏度，至少需要進行m+1次電磁場全波分析。這一問題對于類周期電磁金屬陣列布局設(shè)計問題來說尤為嚴(yán)重。另一個問題是，利用差分法計算得到的靈敏度依賴于在各設(shè)計變量中設(shè)置的微小擾動值。王奇等[12]提出了一種基于陣列單元轉(zhuǎn)角設(shè)計的強耦合陣列天線布局優(yōu)化設(shè)計方法。該方法以電磁場全波矩量法為基礎(chǔ)[13]，通過構(gòu)造合理的坐標(biāo)變換形式，利用伴隨法解析推導(dǎo)了陣列域電磁輻射場對于陣列單元的轉(zhuǎn)角變量的靈敏度信息。劉書田等[14]提出了一種面向類周期復(fù)合材料單元尺寸設(shè)計的靈敏度分析的映射方法，盡管這種映射方法最初是針對彈性力學(xué)均勻化問題而發(fā)展的，但它在處理類周期電磁金屬陣列方面也表現(xiàn)出了應(yīng)用潛力。

本文針對類周期電磁金屬陣列的布局設(shè)計問題，提出一種基于坐標(biāo)映射的靈敏度分析方法。通過構(gòu)造基于坐標(biāo)映射的電流場基函數(shù)模型，由虛擬的陣列單元映射出參數(shù)化的類周期電磁金屬陣列布局形式，將陣列域的電磁性能變換為在虛擬的單元域內(nèi)進行求解，以實現(xiàn)類周期電磁金屬陣列的快速參數(shù)化建模及陣列布局設(shè)計的靈敏度分析。數(shù)值算例結(jié)果表明，該方法能夠?qū)崿F(xiàn)準(zhǔn)確且快速的靈敏度信息求解計算。

2 參數(shù)化模型

2.1 映射變換

(1a)

(1b)

圖1 坐標(biāo)映射法示意圖

2.2 參數(shù)化控制方程

基于矩量法體系框架[13]，根據(jù)映射變換，構(gòu)建參數(shù)化的電場積分方程,

(2)

(3)

基于伽遼金方法[15]，結(jié)合理想電邊界條件，N元類周期電磁金屬陣列的參數(shù)化控制方程可用矩陣形式表示為

(4a)

(4b)

(5a)

(5b)

(5c)

文獻(xiàn)[16]表明，采用插值法能夠有效計算相似形狀單元域內(nèi)各點之間的距離，此處本文仍然將其表示為向量形式，以便于后續(xù)的靈敏度推導(dǎo)。采用式(5)計算出Zi i ′和Vi后，通過求解式(4)就可以得到類周期電磁金屬陣列的未知表面電流J。

2.3 計算輻射電磁場

(6)

(7a)

(7b)

(7c)

式中Nl為虛擬單元域內(nèi)的邊元總數(shù)。值得注意的是，對于遠(yuǎn)場輻射問題，式(7)可以根據(jù)遠(yuǎn)場假設(shè)進行簡化以加速求解[13]。

3 靈敏度分析

鑒于雷達(dá)散射面積σ是類周期電磁金屬陣列布局設(shè)計的重要指標(biāo)，以該指標(biāo)作為目標(biāo)函數(shù)對布局參數(shù)的靈敏度進行推導(dǎo)。

(8)

根據(jù)鏈?zhǔn)椒▌t，σ相對于μ={λ,θ,p}的導(dǎo)數(shù)為

(9)

采用伴隨法[18]進行靈敏度分析，有

(10a)

Z?γ=-(?σ/?J)?

(10b)

式中?為共軛轉(zhuǎn)置算子，γ定義為待求解的伴隨向量。?σ/?μ和?σ/?J計算如下,

(11)

根據(jù)式(6,7)定義的E和Ji ,n之間的線性關(guān)系，?E/?J可簡化為

?Ei ,n/?Ji ,n=Ei ,n/Ji ,n

(12)

計算出?E/?J后，可通過求解式(10b)的伴隨方程得到伴隨向量γ。

至此，還需要推導(dǎo)出?E/?μ，?Z/?μ和?V/?μ以完成靈敏度分析。根據(jù)式(6，7)，有

(13)

(14a)

(14b)

(14c)

(14d)

(14e)

(14f)

式中diag(*)定義為以向量*為對角元的矩陣，I為單位矩陣，0為零矩陣。對于二維問題,

(15)

提出的基于坐標(biāo)映射的類周期電磁金屬陣列布局設(shè)計的靈敏度分析的求解步驟總結(jié)如下。

(1) 定義虛擬單元域，并對其進行網(wǎng)格剖分。

(2) 定義式(1)的映射變換矩陣。

(4) 集成參數(shù)化控制方程(4)，求解得到J。

(5) 根據(jù)式(6，7)計算輻射電磁場。

(6) 根據(jù)式(8)計算目標(biāo)函數(shù)。

(7) 根據(jù)式(10b)求解伴隨向量γ。

(9) 計算由式(10a)定義的靈敏度信息。

4 數(shù)值結(jié)果

圖2 類周期電磁金屬陣列布局形式

分別采用提出的映射法和差分法對類周期陣列的布局參數(shù)進行靈敏度分析，對比結(jié)果如圖3所示。結(jié)果表明，采用兩種方法得到的結(jié)果具有很好的一致性。在計算成本方面，差分法需要進行m+1次全波分析以完成靈敏度分析計算，其中m為布局參數(shù)數(shù)目(對于此數(shù)值算例m=500)。而所提出的方法僅需要兩次全波分析，一次用于求解控制方程，另一次用于求解伴隨方程。差分法計算所需時間為140.32 min，而映射法僅需要2.52 min。驗證了所提出的方法比差分法更加有效，尤其是對于具有大規(guī)模獨立設(shè)計變量的類周期陣列布局設(shè)計問題。

圖3 映射法與差分法靈敏度分析數(shù)據(jù)對比

5 結(jié) 論

本文提出了一種基于坐標(biāo)映射的類周期電磁金屬陣列布局設(shè)計的靈敏度分析方法。通過構(gòu)建合理的坐標(biāo)映射模型，將陣列域的電磁性能變換為在虛擬的單元域內(nèi)進行求解，實現(xiàn)了類周期電磁金屬陣列的快速參數(shù)化建模及陣列布局設(shè)計的靈敏度分析。數(shù)值結(jié)果表明，與差分法相比，所提出的方法能夠得到準(zhǔn)確的靈敏度分析結(jié)果，且計算成本大幅降低。該方法可應(yīng)用于求解類周期電磁金屬陣列布局設(shè)計問題，以提升優(yōu)化問題的求解效率。