數(shù)學(xué)“轉(zhuǎn)化思想”的教學(xué)

摘 要：在當(dāng)前的課程改革中，基于培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng)，對學(xué)生的學(xué)習(xí)能力要求越來越高. 授之以魚，不如授之以漁.讓學(xué)生認(rèn)識、理解數(shù)學(xué)思想方法是新課程的任務(wù)，讓學(xué)生學(xué)會使用這些思想方法是我們教學(xué)的一項重要目標(biāo).本文從以下三個方面論述了轉(zhuǎn)化思想的教學(xué)：（1）正確理解轉(zhuǎn)化思想的內(nèi)涵是有效使用轉(zhuǎn)化思想的基礎(chǔ);（2）明晰轉(zhuǎn)化思想的使用原則是有效使用轉(zhuǎn)化思想進(jìn)行解題的有效保證;（3）明晰轉(zhuǎn)化思想的形式內(nèi)容是準(zhǔn)確運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想的重要條件.

關(guān)鍵詞：轉(zhuǎn)化思想;新課程改革;數(shù)學(xué)思想方法

中圖分類號：G632 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1008-0333（2022）02-0002-03

作者簡介：張麗敏（1983.9-），女，福建省建寧縣人，本科，中學(xué)一級教師，從事中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)研究.

在當(dāng)前的課程改革中，基于培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng)，對學(xué)生的學(xué)習(xí)能力要求越來越高. 授之以魚，不如授之以漁.讓學(xué)生認(rèn)識、理解數(shù)學(xué)思想方法是新課程的任務(wù)，讓學(xué)生學(xué)會使用這些思想方法是我們教學(xué)的一項重要目標(biāo).

數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想是初中階段學(xué)生需要學(xué)習(xí)的最重要、最基本、同時也是應(yīng)用最普遍的數(shù)學(xué)思想之一.那么，在初中階段，應(yīng)當(dāng)怎樣實(shí)施“轉(zhuǎn)化思想”的教學(xué)任務(wù)呢？

1 準(zhǔn)確理解轉(zhuǎn)化思想的內(nèi)涵是有效運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想的根本

轉(zhuǎn)化思想源于普通的數(shù)學(xué)知識，但是又凌駕于普通的數(shù)學(xué)知識之上，所以，在教學(xué)時應(yīng)該注意滲透知識蘊(yùn)含的思想方法，并且在掌握了必要知識的前提下，對相應(yīng)的思想方法做出恰當(dāng)?shù)臍w納.包括：（1）由繁雜到簡單;（2）由困難到容易;（3）由未知到已知.即把一個陌生的、不熟悉的、相對繁雜的、需要處理的新問題，經(jīng)過恰當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)換，化歸為一個熟諳的、簡單的或已經(jīng)處理了的舊問題，這就是轉(zhuǎn)化思想. 所以，我們也稱轉(zhuǎn)化思想為化歸思想.

2 明晰轉(zhuǎn)化思想的使用原則是有效使用轉(zhuǎn)化思想進(jìn)行解題的保證

2.1 將隱蔽性的條件轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)語言并清楚地表述出來

例如：在分析應(yīng)用題中的銷售問題時，往往要用到這樣的等量關(guān)系：利潤=收入-成本、收入=銷售量×售價、單件利潤=售價-進(jìn)價等等，而這些等量關(guān)系一般不會在題中直接體現(xiàn)，這時候就需要自己明晰這些隱藏的關(guān)系.在幾何題中也時常會碰到必須轉(zhuǎn)化隱藏條件的情況，如：已知等腰△ABC兩條邊分別為4cm和9厘米，求△ABC的周長.本來按分類討論的思想第三邊為4cm或9cm，但圖形為三角形，應(yīng)考慮隱藏條件：任意兩邊之和大于第三邊，若第三邊長為4cm，則不滿足三邊關(guān)系，所以第三邊只能為9cm，周長22cm.又如對頂角、公共角、公共邊，均屬于隱藏條件，通過觀察圖像，推出角相等或邊相等，用符號表述.

2.2 盡可能地直觀、形象

把信息盡可能轉(zhuǎn)化成圖形、示意圖，并用醒目的符號進(jìn)行標(biāo)記，使已知、未知及其之間的關(guān)系一目了然，從而使思維更加簡捷、直觀.

比如求證：等腰三角形兩條腰上的高相等. 結(jié)合已知條件“一個三角形是等腰三角形，兩條腰上各有一條高”，畫出一個等腰△ ABC及腰AB、AC上的高CD、BE，并結(jié)合圖形寫出已知： 在等腰 △ABC中，CD⊥AB交AB于點(diǎn)D、BE⊥AC交AC于點(diǎn)E.求證： CD=BE.又如線段或角的和差倍數(shù)求解，按要求畫出圖形，結(jié)合條件在相應(yīng)圖形上做出長度或角度的標(biāo)記，就便于觀察、進(jìn)行直觀判斷.尤其涉及幾何綜合題，面對復(fù)雜多變的條件，將條件在圖形中進(jìn)行標(biāo)記就更有必要了.

2.3 善于聯(lián)想

根據(jù)題目所給的條件，首先想起（1）與題目有關(guān)聯(lián)的概念、定理、性質(zhì)、規(guī)律等基礎(chǔ)知識和基本解法;（2）猜到或許要用的解題策略;（3）想到已經(jīng)解過的題型;（4）想到與題目相似的、甚至是相反的信息，達(dá)到將新問題轉(zhuǎn)化為已經(jīng)解決過的舊問題的目的.其次進(jìn)行類比的手法，采用特殊化或者一般化等途徑分析新問題，從而得到處理新問題的要領(lǐng)，以解決新問題.

例如2019年福建省中考數(shù)學(xué)試題第24題：如圖1，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，AB=AC，點(diǎn)F在BD的延長線上，DF=DC，AC⊥BD，垂足為E，連接AF、CF，AF=10，BC=4.

（1）求證：∠BAC=2∠CAD;

（2）求tan∠BAD的值;

綜合2.1;2.2，使用思維導(dǎo)圖對本題涉及的基本知識、解法、解題方向、題型等展開聯(lián)想：

學(xué)生對題目理解困難的重要原因之一就在于不會整理信息并展開聯(lián)想，第（1）小題，以建立方程為解題方向，結(jié)合思維導(dǎo)圖，觀察角的隱藏條件，如同弧所對圓周角相等，三角形內(nèi)角和180度并在圖形中標(biāo)記，綜合聯(lián)想到的有關(guān)角互余和等弦等角或等腰三角形兩底角相等的結(jié)論，確定角之間的和差倍數(shù)關(guān)系，列出方程，進(jìn)行化簡即得兩角的二倍關(guān)系;第（2）小題，根據(jù)條件及圖形判斷∠BAD沒有在直角三角形中出現(xiàn)，已知的直角三角形中也沒有和它相等的角，所以必須構(gòu)造∠BAD所在的直角三角形，于是引出輔助線：過D點(diǎn)作DG⊥AB于點(diǎn)G，構(gòu)造直角三角形AGD，運(yùn)用相交弦得比例式或面積法列方程求解相關(guān)線段長度，最后根據(jù)正切函數(shù)的定義求值.

所以，聯(lián)想是突破思維瓶頸的有效方式，根據(jù)聯(lián)想的內(nèi)容進(jìn)行整合，綜合把握可以有效突破難題.

2.4 爭取化繁為簡

如果題目給的條件或結(jié)論中出現(xiàn)結(jié)構(gòu)比較復(fù)雜的內(nèi)容，就要先用簡便形式體現(xiàn)，再用簡潔的語言展示出來，使條件或結(jié)論簡化.

如銷售問題，由于涉及大量數(shù)據(jù)，如果不能簡化信息，閱讀時會存在一定的困難甚至出錯，用表格形式整理信息就很有必要.列舉出不同物品的進(jìn)價、標(biāo)價、售價、銷售量、利潤，使數(shù)據(jù)按類別排列，達(dá)到化繁為簡的目的，量與量之間的關(guān)系在表中也一目了然，再結(jié)合

2.1中提到的運(yùn)用隱藏的等量關(guān)系，易得方程.又如運(yùn)輸問題：某公司在甲、乙兩倉庫分別存放一種原料240噸和210噸.（1）如果運(yùn)出甲倉庫所存原料的60%，乙倉庫所存原料的40%，求從甲乙兩倉庫共運(yùn)出原料多少噸;（2）公司需要將甲、乙兩倉庫共300噸原料運(yùn)往工廠，其中甲倉庫運(yùn)出m噸，從甲、乙兩倉庫到工廠的運(yùn)價分別為120元/噸和100元/噸.求總運(yùn)費(fèi)（用含m的代數(shù)式表示）.（1）相對簡單，（2）條件不進(jìn)行簡化整理則不易理清條件關(guān)系，以（2）為例簡化如下表：

2.5 重視解后研究

歸納解答一道題目的經(jīng)驗，思考該題是不是可以拓廣，解法是否可以推廣？能運(yùn)用在其他題目上嗎？若能，拓廣出的新內(nèi)容則又轉(zhuǎn)化成了新的結(jié)論，也加強(qiáng)了學(xué)生對轉(zhuǎn)化思想的了解、促進(jìn)了使用轉(zhuǎn)化思想的能力提升，進(jìn)一步達(dá)到解一題通一類的目的.例如在2.3善于聯(lián)想中提到2019福建省中考數(shù)學(xué)試題第24題，通過進(jìn)一步思考，可以歸納出：圓或多邊形的問題通常通過添加輔助線，轉(zhuǎn)化為特殊四邊形或三角形，而求解線段或角度的問題就是構(gòu)建方程，達(dá)到解決這一類問題的目的.也正是因為之前對相應(yīng)類型題的解后研究，提供該題的思路.

3 明晰轉(zhuǎn)化思想的形式內(nèi)容是準(zhǔn)確運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想的重要條件

3.1 局部轉(zhuǎn)化

即將題目中的條件或結(jié)論進(jìn)行逐步轉(zhuǎn)化，一般分為順推轉(zhuǎn)化和逆推轉(zhuǎn)化.

順推轉(zhuǎn)化即轉(zhuǎn)化已知條件，推出結(jié)論.例如求證：對角線互相垂直的平行四邊形是菱形.證明思路即是通過將“對角線互相垂直”的條件推導(dǎo)轉(zhuǎn)化為“一組鄰邊相等”，從而利用菱形的定義證出該命題成立.

逆推轉(zhuǎn)化即轉(zhuǎn)化結(jié)論為新問題，通過解新問題得出最終結(jié)論.例如已知x+y=7，xy=2，1x+1y的值是多少？從問題出發(fā)，將原式進(jìn)行通分，化為分母是xy，分子是x+y的分式，再將對應(yīng)值整體代入即得.如果題目比較復(fù)雜，也可以兩種方式結(jié)合使用.

3.2 整體轉(zhuǎn)化

將舊問題細(xì)化為若干個新的問題，只要將這些新問題解決了，原來的舊問題也就解決了.例如：在平面直角坐標(biāo)系中，已知△ABC的三個頂點(diǎn)坐標(biāo)A（3，6）、B（1，2）、C（6，5），求△ABC的面積.

條件是各個頂點(diǎn)的坐標(biāo)，要求是三角形的面積.如果直接求解，容易使用勾股定理求出各條邊的具體長度，但是難以求出邊上的高，所以不易直接求出面積，這時候怎么辦呢？轉(zhuǎn)換思路：在△ABC的外部構(gòu)造矩形DBEF，將條件中三個頂點(diǎn)坐標(biāo)轉(zhuǎn)化成矩形的長、寬及Rt△ADB、Rt△BEC、Rt△AFC中直角邊的長度，將要求的問題△ABC的面積轉(zhuǎn)化成求矩形DBEF、Rt△ADB、Rt△BEC、Rt△AFC的面積，再用矩形DBEF的面積減去三個直角三角形的面積和即得△ABC的面積.

轉(zhuǎn)化的過程可以表現(xiàn)在不同的層次上，也可以表現(xiàn)在不同內(nèi)容之間，比如代數(shù)與幾何之間，有的就出現(xiàn)在解決某個具體問題的過程中.

總之，轉(zhuǎn)化思想方法（也稱化歸思想方法）幾乎時時刻刻存在于每個問題當(dāng)中.數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想的教學(xué)也不是一時半刻就能完成的，需要教師們結(jié)合教材的具體內(nèi)容反復(fù)進(jìn)行教學(xué)指導(dǎo)，需要學(xué)生不斷努力學(xué)習(xí)才能真正掌握.

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[責(zé)任編輯：李 璟]

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