求解空間角問題的兩種思路

王其文

空間角主要有異面直線所成的角、直線與平面所成的角、二面角.空間角問題對同學(xué)們的邏輯推理和空間想象能力有較高的要求.求空間角的大小，一般采用定義法和向量法.下面，結(jié)合實(shí)例來探討一下如何運(yùn)用定義法和向量法求空間角的大小.

一、采用定義法

運(yùn)用定義法求空間角的大小，主要是利用異面直線所成的角、直線和平面所成的角及二面角的定義進(jìn)行求解.運(yùn)用定義法求異面直線所成的角的大小，需作一條直線的平行線，使其與另一條直線相交，求得其夾角的大小即可.運(yùn)用定義法求直線和平面所成的角的大小，需在平面內(nèi)找到平面外直線的射影，求得該直線與其射影的夾角.運(yùn)用定義法求二面角的大小，需根據(jù)其平面角的定義進(jìn)行求解，過二面角棱上的一點(diǎn)在兩個半平面內(nèi)作兩條垂直于棱的直線，求得其夾角的大小.運(yùn)用定義法求空間角的大小，關(guān)鍵在于根據(jù)異面直線所成的角、直線和平面所成的角及二面角的定義作出平面角，將空間角問題轉(zhuǎn)化為平面角的問題，再利用平面幾何知識，如勾股定理、正余弦定理、三角形的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)來求得角的大小.

例1.如圖1，在四棱錐 P - ABCD 中，底面 ABCD是正方形，側(cè)棱 PD⊥底面 ABCD ，PD = DC ，E 是 PC的中點(diǎn).

（1）證明：PA ∥平面EBD .

（2）求 EB 與底面 ABCD 所成的角的正切值.

通過觀察與分析，可發(fā)現(xiàn) EF ⊥ 底面ABCD ，就能快速確定 EB 在底面 ABCD 內(nèi)的射影 BF ，這樣就可 以直接利用定義法，根據(jù)直線與平面所成角的定義， 確定直線 EB 與底面 ABCD 所成的角，即 ∠EBF .

二、運(yùn)用向量法

向量法是指根據(jù)已知條件建立空間直角坐標(biāo)系， 將空間角問題轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)運(yùn)算問題來求解.在建立合 適的空間直角坐標(biāo)系后，要先分別設(shè)出或求出各個相 關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，求得所求線段的方向向量、平面的法向 量；然后根據(jù)空間向量的數(shù)量積公式求空間角的大小.

例 2. 如 圖 2，在 四 棱 錐 P - ABCD 中，底面 ABCD 為菱形， PA ⊥ 底面ABCD，AC = 2 2，PA= 2， E 是 PC 上的一點(diǎn)， PE = 2EC ，設(shè) 二面角 A - PB - C 為 90° ，求 PD 與平面 PBC 所成角的大小.

建立空間直角坐標(biāo)系的方法往往有多種，如本題 中，可設(shè) AC與BD 的交點(diǎn) O 為原點(diǎn)，以 OC 為 x 軸，OD 為 y 軸建立空間直角坐標(biāo)系；也可以點(diǎn) A 為原點(diǎn)，AC 為 x 軸，AP 為 y 軸建立空間直角坐標(biāo)系.建立不同的 坐標(biāo)系，求得的點(diǎn)的坐標(biāo)不相同，解題的步驟也有所 不同，但是空間角的大小卻是一樣的.

空間角問題，既可以用定義法求解，也可以運(yùn)用 向量法求解.在面對不同的題目條件時，要選擇最合 適、簡便的一種方法求解，這樣才能有效地提升解題 的效率.

（作者單位：江蘇省射陽縣高級中學(xué)）