由一道三角形最值問(wèn)題引發(fā)的思考

單文勇

在學(xué)習(xí)中，我們經(jīng)常會(huì)遇到有關(guān)三角形的最值問(wèn)題.三角形最值問(wèn)題常與三角函數(shù)、平面幾何相結(jié)合，側(cè)重于考查正余弦定理以及三角函數(shù)的定義、性質(zhì)、圖象的應(yīng)用.本文以2020年全國(guó)II卷理科數(shù)學(xué)第17題為例，談一談解答三角形最值問(wèn)題的思路.

題目：在ΔABC中，sin2 A - sin2 B - sin2 C = sin B sin C. （1）求 A ；（2）若 BC = 3 ，求 ΔABC 周長(zhǎng)的最大值.

本題中的第一個(gè)問(wèn)題比較簡(jiǎn)單，著重考查考生對(duì) 正弦定理、余弦定理的綜合應(yīng)用.根據(jù)正弦定理及 sin2 A - sin2 B - sin2 C = sin B sin C 可得 b 2 + c 2 - a2 = -bc ， 再根據(jù)余弦定理得 cosA = b 2 + c 2 - a2 2bc = - 1 2 .又因?yàn)?0 < A < π ，所以 A = 2π 3 .第二個(gè)問(wèn)題側(cè)重考查三角形的 最值（或取值范圍）.需靈活運(yùn)用解三角形、基本不等 式、三角函數(shù)、三角形的周長(zhǎng)公式等解題.下面重點(diǎn)討 論一下第二個(gè)問(wèn)題的求解思路.

思路1：利用基本不等式求解

在處理與二元變量有關(guān)的最值問(wèn)題時(shí)，通常會(huì)想 到基本不等式：若 a > 0，b > 0 ，則 a + b 2 ≥ ab .基本不 等 式 的 常 見(jiàn) 變 形 式 有 ：（1） a + b ≥ 2 ab ；（2） ab ≤（ a + b 2 ） 2 ；（3）a + b + c ≥ 3 abc 3 .運(yùn)用基本不等式解 題需確保三個(gè)條件“一正”“二定”“三相等”同時(shí)成立. 對(duì)于本題，我們可先根據(jù)余弦定理建立三角形三邊之 間的關(guān)系，再運(yùn)用基本不等式求得 b + c 的最值，這樣 便能根據(jù)三角形的周長(zhǎng)公式求得三角形周長(zhǎng)的最值.

思路2：利用三角函數(shù)的有界性求解

在解答三角形最值問(wèn)題時(shí)，我們可利用正余弦定 理將三角形的三邊之間的關(guān)系轉(zhuǎn)化三角之間的關(guān)系，建立關(guān)于角的三角函數(shù)式，這樣便將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三角 函數(shù)最值問(wèn)題，利用三角函數(shù)的有界性即可求得最值.

該解法中運(yùn)用了正弦定理以及正弦函數(shù)的有界 性.將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求 3 + 2 3sin（B + π 3 ） 的最值，根據(jù)角 B的取值范圍，便可根據(jù)正弦函數(shù)的有界性求得三角 形周長(zhǎng)的最值.在解題時(shí)，需注意挖掘“三角形內(nèi)角和 為180° ”這一隱含條件.

變式題：在 ΔABC 中，內(nèi)角 A，B，C 所對(duì)的邊分別 為 a，b，c ，若 c = 3 ，C = π 3 ，求 ΔABC 的周長(zhǎng) l 的取值 范圍.

解法1主要運(yùn)用了三角函數(shù)的有界性；解法2主 要運(yùn)用了基本不等式.這兩個(gè)解法都先靈活運(yùn)用了正 余弦定理，分別將邊化為角、將角化為邊，以便運(yùn)用基 本不等式和三角函數(shù)的有界性求得最值.

該解法靈活運(yùn)用了同名三角函數(shù)和差化積公式： sin α + sin β = 2 sin α + β 2 cos α - β 2 以及余弦函數(shù)的有界 性.相對(duì)于解法1而言，該解法更加簡(jiǎn)便.

變式題：在 ΔABC 中，內(nèi)角 A，B，C 所對(duì)的邊分別 為 a，b，c ，若 c = 3 ，C = π 3 ，求 ΔABC 的周長(zhǎng) l 的取值 范圍.

解法1主要運(yùn)用了三角函數(shù)的有界性；解法2主要運(yùn)用了基本不等式.這兩個(gè)解法都先靈活運(yùn)用了正余弦定理，分別將邊化為角、將角化為邊，以便運(yùn)用基本不等式和三角函數(shù)的有界性求得最值.

相比較而言，運(yùn)用基本不等式解答三角形最值問(wèn)題更加簡(jiǎn)便一些，解題過(guò)程要相對(duì)簡(jiǎn)單一些；運(yùn)用三角函數(shù)的有界性求解，一般運(yùn)算量較大，且易出錯(cuò).總之，解答有關(guān)三角形的最值（或取值范圍）問(wèn)題需注意兩點(diǎn)：（1）靈活運(yùn)用正余弦定理將邊、角互化；（2）關(guān)注角的取值范圍；（3）關(guān)注與三角形相關(guān)的隱含性質(zhì)、定理，為解題創(chuàng)造更多有利條件.

（作者單位：江蘇省如皋市第二中學(xué)）