談談求數(shù)列通項公式的“妙招”

左亞秋

研究數(shù)列，歸根到底是研究數(shù)列的通項公式，因此教會學生如何求數(shù)列的通項公式，是教學的重要任務之一.筆者在教學中發(fā)現(xiàn)，由于數(shù)列的通項公式的求法具有一定的系統(tǒng)性與靈活性，許多學生還是不能完全掌握，如2022年數(shù)學高考新課標 I 卷中的第17題：為 的等差數(shù)列.（1）求數(shù)列an 的通項公式；（2）證明：+ +…+ <2.據(jù)不完全統(tǒng)計，近四成的考生因求不出數(shù)列的通項公式而痛失分數(shù).那么，求數(shù)列的通項公式有哪些“妙招”？現(xiàn)總結如下.

一、利用觀察法

有些選擇題或填空題的題干中只給出數(shù)列的前幾項，要求從前幾項的特征中歸納出數(shù)列的通項公式.這類問題屬于簡單題，主要考查考生的觀察和歸納推理能力.對于此類問題，需運用觀察法求解.首先仔細觀察與分析數(shù)列的前幾項的特征，明確數(shù)列的每一項與項數(shù)之間的關系；然后歸納出關于項數(shù)的表達式，即可求得數(shù)列的通項公式.

例1.數(shù)列-1，3， -5，7， -9，…，的一個通項公式為（? ） .

A. an =2n -1????????? B. an =（-1）（1n -2n）

C. an =（-1）（2nn -1）????? D. an =（-1）n +1（2n -1）

解：由數(shù)列an 的各項分別為-1， 3， -5， 7， -9， … ， 可知各項的絕對值構成一個以1為首項，2為公差的等差數(shù)列，

所以|an |=2n -1.

又數(shù)列的奇數(shù)項為負值，偶數(shù)項為正值，所以數(shù)列的通項公式為 an =（-1）（2nn -1）.故本題選 C 項.

采用觀察法求數(shù)列的通項公式，要注意關注兩點：（1）各項的符號；（2）各項與項數(shù) n 之間的關系.

例2.已知數(shù)列an 的前4項分別為 ，， ， ，則它的一個通項公式為（? ） .

通過觀察，可發(fā)現(xiàn)數(shù)列的分子1，3，5，7，…是首項為1，公差為2的等差數(shù)列，數(shù)列的分母2，4，6，8，…是首項為1，公比為2的等比數(shù)列，列出關于 n 的表達式，即可解題.

二、運用公式法

公式法是指運用等差數(shù)列的通項公式an = a1+（n -1）d （n ∈ N ）* ，等比數(shù)列的通項公式 an = a1qn -1（n ∈ N ）解題*.若一個數(shù)列是等差數(shù)列或等比數(shù)列時，只需確定該數(shù)列中的某一項的值、首項、公差或公比，就可以直接根據(jù)等差、等比數(shù)列的通項公式寫出該數(shù)列的通項公式.

例3.已知等差數(shù)列an 的各項均為正數(shù)，其前 n 項和Sn 滿足 = ，則其通項公式 an =_____.

解答本題，需先由已知關系式求得數(shù)列的公差和首項，再根據(jù)等差數(shù)列的通項公式求得數(shù)列的通項公式。

例4.已知等比數(shù)列an 的前 n 項和 Sn =5n + c ，若 bn = a n（2）+ c ，則數(shù)列bn 的通項公式為______.

當已知數(shù)列是等差數(shù)列或等比數(shù)列時，通過解方程求得數(shù)列的首項和公差或公比，這不失為一種有效的方法.

三、利用數(shù)列前 n 項和 Sn 與通項公式 an 之間的關系

數(shù)列的前 n 項和Sn 與通項公式an 之間的關系為含有Sn 與an （即Sn =f（an）），此時就需利用數(shù)列前 n 項和 Sn 與通項公式 an 之間的關系求解，將 Sn 、Sn -1作差即可.

例5.若數(shù)列{an }的前 n 項和為 Sn = ，則其通項公式為_____.

利用數(shù)列前 n 項和Sn 與通項公式an 之間的關系求數(shù)列的通項公式雖然簡單，但需注意所求的通項公式是否滿足 n=1時的情形，若滿足，則可用一個式子表示，若不滿足就需分段表示.

四、累加

當題目給出的遞推關系式可以轉化為an +1- an =f（n）的形式時，則需利用累加法（逐差相加法）求解.分別令 n=1，2，3，…，n-1，再將這 n-1個式子相加，通過累加，消除中間互為相反數(shù)的項，從而求得an 的表達式，求得數(shù)列的通項公式.

例6.已知在數(shù)列{an }中，a1=1， an +1= an + ，則 a5=_____.

利用累加法求數(shù)列的通項公式時，必須注意兩點：（1）檢驗首項是否滿足所求得的通項公式；（2）在累加求和時，一般采用裂項相消法.

五、采用累乘法

當題設給出的遞推關系式可轉化為 =f（n）的形式時，可利用累乘法（逐商相乘法）求數(shù)列的通項公式.分別令 n=1，2，3，…，n-1，再將這 n-1個式子相乘，通過累乘，將中間互為倒數(shù)的項抵消，從而求得 an 的表達式，求得到數(shù)列的通項公式.

例7.已知數(shù)列{an }的首項為1，前 n 項和為 Sn ，且 nSn +1=（n +2）Sn ，則數(shù)列{an }的通項公式 an =_____.

利用累乘法求數(shù)列的通項公式時，一定要關注在累乘后，余下的項是否對稱.一般來說，留下的分子通常是最小的，分母是最大的，或留下的分子是最大的，分母是最小的.

六、構造輔助數(shù)列

運用構造法求數(shù)列的通項公式，需通過湊系數(shù)、取倒數(shù)、分離整式等方式，把數(shù)列的遞推關系式轉化為形如等比數(shù)列或等差數(shù)列通項公式的式子；再根據(jù)等比數(shù)列或等差數(shù)列的通項公式，求新構造數(shù)列的通項公式，即可求得原數(shù)列的通項公式.

該數(shù)列的遞推關系式較為復雜，需在其左右同時 除以 2n + 1 ，構造出數(shù)列 { } an 2n 的前后兩項之差的式子； 再根據(jù)等差數(shù)列的定義，判定新數(shù)列為等差數(shù)列，便 可根據(jù)等差數(shù)列的通項公式進行求解.

例9.已知首項為1的數(shù)列{an} 的前 n 項和為 Sn ， 且 Sn + 1 = Sn + 12an + 5 ，求數(shù)列{an} 的通項公式.

利用構造法求數(shù)列的通項公式，關鍵是將已知的遞 推關系式進行合理的變形，有時需用到待定系數(shù)法，如， 形如 an + 1 = pan + q （其中p，q均為常數(shù)，且 pq（p - 1） ≠ 0 ） 的遞推關系式，需在等式的兩邊加上一個常數(shù)，構造 出等比數(shù)列.對于同時含有 an、an - 1 、an + 1 的遞推關系 式，都可以采用構造法求數(shù)列的通項公式.

掌握以上六種求數(shù)列通項公式的常用方法，便能 應對一些常見的求數(shù)列的通項公式問題.但在解題時， 學生要善于變通，有時可靈活運用兩種以上的方法， 求得問題的答案.

（作者單位：吉林省磐石市第一中學）