選用合適的方法，快速求得數(shù)列的通項公式

江露維

數(shù)列是高中數(shù)學(xué)中的重要內(nèi)容，常呈現(xiàn)的題目有求數(shù)列前 n 項的和、求數(shù)列的通項公式、求數(shù)列的最大（?。╉棥⑶髷?shù)列的某一項等.其中，求數(shù)列的通項公式比較常見.此類問題的難度雖不大，但解法靈活，解題的關(guān)鍵在于根據(jù)遞推式和已知條件，選用合適的方法.本文主要談一談求數(shù)列通項公式的幾種方法.

一、公式法

運用公式法求數(shù)列的通項公式，主要是利用等比公式 an =a1+（n -1）d（n ∈ N*）.有時可運用其變形式，如an =dn +a1-d（n ∈ N*）、an = 求數(shù)列的通項公式時，只需根據(jù)題意和數(shù)列的性質(zhì)，求得數(shù)列的首項、公比、公差、項數(shù)，即可利用等比數(shù)列或等差數(shù)列的通項公式求得問題的答案.

例1.已知數(shù)列{an}滿足 an +1=2an +3×2n ，a1=2，求數(shù)列{an}的通項公式.

解：在 an +1=2an +3×2n 的兩邊同時乘以 ，得 = + ，則 - = ，

當(dāng) n =1時，=1，根據(jù)等差數(shù)列定義可知，數(shù)列是以1為首項、以 為公差的等差數(shù)列，

由等差數(shù)列的通項公式可得：=1+ （n -1），故數(shù)列{an}的通項公式為 an = n - ?（?）·2n .

將已知的遞推式變形后，可得到 - = ，便可根據(jù)等差數(shù)列的定義判定為等差數(shù)列，其公差為 ，求得該數(shù)列的首項，便可利用公式法，根據(jù)等差數(shù)列的通項公式解題.

二、累加法

若題干給出的遞推式形如 an +1=an +f（n），便可采用累加法來求該數(shù)列的通項公式.由an +1-an =f（n）（n ≥2）， 可得 a2-a1=f（1），a3-a2=f（2）， … ，an +1-an =f（n），那么（ak +1-ak）=an +1-a1= f（k）， 化簡該式即可求得 an +1的表達(dá)式，進而求得數(shù)列{an}的通項公式.

例2.已知數(shù)列{an}滿足 an +1=an +2×3n +1，a1=3， 求數(shù)列{an}的通項公式.

本題中數(shù)列的遞推式形如 an + 1 = an + f （n） ，可采用 累加法，分別令 n=1，2，3，…，n-1，然后將這些式子累 加，即可求得數(shù)列 {an} 的通項公式.

三、累乘法

若題干中給出的遞推式形如 an + 1 = f （n）an ，便可采 用累乘法來求數(shù)列的通項公式.由 an + 1 an = f （n）（an ≠ 0） ， 可 得 a2 a1 = f （1）， a3 a2 = f （2），…， an + 1 an = f （n） ，所 以 ∏k = 1 n ak + 1 ak = an + 1 a1 =∏k = 1 n f （k）. 化簡該式即可求得 an + 1 的表達(dá)式，進 而求得數(shù)列 {an} 的通項公式.

例3.已知數(shù)列 {an} 滿足 an + 1 = 2（n + 1）5n an，a1 = 3，求 數(shù)列 {an} 的通項公式.

本題中數(shù)列的遞推式形如 an + 1 = f （n）an ，采用累乘 法，分別令n=1，2，3，…，n-1，然后將這些式子累乘，即 可求得數(shù)列 {an} 的通項公式.

相比較而言，公式法比較常用，且較為簡單，適用范 圍較廣.累乘法和累積法的適用范圍較窄，運用這兩種方 法解題，需仔細(xì)觀察和明確遞推式的結(jié)構(gòu)特征，將其進 行合理的變形，使其形如 an + 1 = an + f （n）、an + 1 = f （n）an .同 學(xué)們在解題時，要根據(jù)解題需求和遞推式的結(jié)構(gòu)特征， 選用合適的方法，這樣才能有效地提升解題的效率.

（作者單位：江西省臨川第二中學(xué)）