巧放縮，妙證數(shù)列不等式

管文娟

證明數(shù)列不等式問(wèn)題常以壓軸題的形式出現(xiàn)在各類試卷中，此類問(wèn)題的難度往往較大，且具有較強(qiáng)的綜合性.解答此類問(wèn)題的常用方法是放縮法，解題的關(guān)鍵在于對(duì)不等式進(jìn)行合理的放縮.下面結(jié)合實(shí)例，重點(diǎn)探討一下如何對(duì)不等式進(jìn)行巧妙的放縮，從而證明數(shù)列不等式.

一、通過(guò)構(gòu)造等差數(shù)列放縮不等式

等差數(shù)列是我們熟悉的常規(guī)數(shù)列之一.對(duì)于等差數(shù)列問(wèn)題，我們通?？梢赃\(yùn)用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、前 n 項(xiàng)和公式以及性質(zhì)來(lái)求解.因此，對(duì)于較為復(fù)雜的數(shù)列不等式問(wèn)題，為了便于化簡(jiǎn)不等式，證明結(jié)論，有時(shí)可考慮將數(shù)列中的各項(xiàng)進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆趴s，以構(gòu)造出等差數(shù)列，這樣便可將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列問(wèn)題，從而使原不等式得以證明.

例 1.求證：n（n + 1） 2 < 1?2 + 2?3 +…+ n（n + 1） < （n + 1） 2 2 .

所要求證的數(shù)列不等式中的部分項(xiàng)， ，…， 可構(gòu)成一個(gè)數(shù)列，其通項(xiàng)公式為 ，而所要求證的不等式左右兩邊的式子分別是兩個(gè)等差數(shù)列的和，于是想到將 n（n + 1） 進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆趴s，即 n < n（n + 1） < n + 1，從而把原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求等差數(shù) 列 {n}、{n + 1} 的和問(wèn)題，運(yùn)用等差數(shù)列的前 n 項(xiàng)和公 式進(jìn)行求解，即可證明原數(shù)列不等式.

二、通過(guò)構(gòu)造等比數(shù)列來(lái)放縮不等式

等比數(shù)列也是我們熟悉的常規(guī)數(shù)列之一.在證明 數(shù)列不等式時(shí)，可考慮將這個(gè)數(shù)列的遞推關(guān)系式或通 項(xiàng)公式進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆趴s，把數(shù)列構(gòu)造成等比數(shù)列，這 樣便可根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式及其 性質(zhì)來(lái)化簡(jiǎn)所要求證的數(shù)列不等式，從而證明結(jié)論.

例 2. 數(shù)列 {an} 滿足 an + 1 = an 2 - nan + 1 （n∈ N+ ），且 an ≥ n + 2. 求證： 1 1 + a1 + 1 1 + a2 +…+ 1 1 + an < 1 2 .

首先將 an + 1 = an 2 - nan + 1 進(jìn)行放縮，即可構(gòu)造出 等比數(shù)列{ } 1 2n ；再根據(jù)等比數(shù)列的前 n 項(xiàng)和公式進(jìn)行 求解，就能順利證明所要求證的不等式.

例3.求證： 1 21 - 1 + 1 22 - 1 + 1 23 - 1 +…+ 1 2n - 1 < 5 3 .

所要求證的不等式中含有 2n ，于是將通項(xiàng)公式 an 放縮成等比數(shù)列，再利用等比數(shù)列的前 n 項(xiàng)和公式 進(jìn)行求和，最后將所得的結(jié)果再次放縮，便可證明原 數(shù)列不等式成立.有時(shí)要經(jīng)過(guò)多次放縮，才能證明數(shù)列 不等式.

例4.已知 an = 2 3 [2n - 2 +（- 1） n - 1 ] ，證明：對(duì)任意的整 數(shù) m > 4，有 1 a4 + 1 a5 +…+ 1 am < 7 8 .

數(shù)列的通項(xiàng)公式中出現(xiàn)了 （-1） n ，于是將數(shù)列的相 鄰兩項(xiàng)看作一個(gè)整體，進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃?、放縮，構(gòu)造出 等比數(shù)列 { } 1 2m - 2 ，即可使原問(wèn)題得解.有時(shí)放縮數(shù)列 中的一些項(xiàng)也無(wú)法求得數(shù)列的和，此時(shí)需考慮將相鄰 兩項(xiàng)看成一個(gè)整體，將其進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆趴s，使其構(gòu)成等比數(shù)列，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求等比數(shù)列的和問(wèn)題.

三、通過(guò)裂項(xiàng)放縮不等式

有些數(shù)列的通項(xiàng)公式可以裂為兩項(xiàng)之差的形式， 此時(shí)便可通過(guò)裂項(xiàng)放縮，將不等式轉(zhuǎn)化為前后兩項(xiàng)互 為相反數(shù)的數(shù)列不等式，通過(guò)簡(jiǎn)單的運(yùn)算即可求得數(shù) 列的和，從而證明數(shù)列不等式成立.常見的裂項(xiàng)放縮方 式有：（1）1 n2 < 1 （n - 1）n = 1 n - 1 - 1 n （n ≥ 2）；（2）1 n2 > 1 n（n + 1） = 1 n - 1 n + 1 ；（3） 1 n2 = 4 4n2 < 4 4n2 - 1 = 2? è ? ? 1 2n - 1 - 1 2n + 1 ； （4） 1 n 2（- n + n + 1）；（6） 1 2n - 1 < 1 2n - 1 - 1 - 1 2n - 1 （n ≥ 2） .

例5.求證：1 + 2 22 + 3 32 +…+ n n2 < 3 .

我們先將數(shù)列的通項(xiàng)公式進(jìn)行裂項(xiàng)放縮，即 n n2 < 2（ 1 n - 1 - 1 n ） ，即可得到1 - 1 2 + 1 2 - 1 3 +… + 1 n - 1 - 1 n .在求和時(shí)，- 1 2 與 1 2 、- 1 3 與 1 3 …… - 1 n - 1 與 1 n - 1 相互抵消，便可快速求得數(shù)列的和， 證明數(shù)列不等式成立.

從上述分析可以看出，利用放縮法證明數(shù)列不等 式，是一個(gè)“技術(shù)活”，解題者必須仔細(xì)分析題目中數(shù) 列的特點(diǎn)，選擇恰當(dāng)?shù)拇鷶?shù)式，對(duì)其進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆趴s， 才能順利破解難題.對(duì)于如何進(jìn)行放縮，同學(xué)們需結(jié)合 典型題目進(jìn)行深入的探討，反復(fù)琢磨，積累解題經(jīng)驗(yàn)， 才能做到運(yùn)用自如.

（作者單位：江蘇省淮安市楚州中學(xué)）