求解三項展開式系數(shù)問題的幾種思路

朱兵

三項展開式系數(shù)問題側重于考查二項式定理、組合數(shù)定義的應用，且解答此類問題過程中的計算量較大.本文將結合幾個例題介紹求解三項展開式系數(shù)問題的幾種思路.

一、采用分組法

分組法是指將三項式進行適當?shù)牟鸱郑杨}中給出的三項式分為兩組，兩次運用二項式定理將三項式展開，即可求得各項的系數(shù).在分組時，可將前兩項并為一組，也可將后兩項并為一組.

例1.求（x+ -3）6的展開式中 x2的系數(shù).

首先利用加法的結合律，將（x+ -3）6分為兩個部分；然后運用二項式定理得出第一個通項公式；再求該二項式的通項公式；最后通過合并同類項、加法運算，就可以得到三項展開式中 x2的系數(shù).

二、利用組合的定義

一般地，（ax + by + cz）可看作 n 個三項式ax + byn +cz 相乘，那么展開式中的每一項由 d 個 ax、e 個 by、f個 cz 的乘積構成，其中 e + d +f= n，即從 n 個三項式中選取 d 個 ax、e 個 by、f個 cz，則展開式中 xm 的系數(shù)為 C n（d）?Cn（e）- d ?Cn（f）- d - e? adbecf.在解題時，需根據(jù)組合數(shù)的定義求得展開式的系數(shù)，然后通過運算求得問題的答案.

例2.求（x -1+ ）5的展開式中含有 x 的項.

運用組合數(shù)的定義解題，需要明確要求的項或項 的系數(shù)，然后一一列舉出所有可能的情況，最后再相 加，即可得出需要求的項及其系數(shù).

三、賦值

有些三項式較為復雜，此時可先將三項式進行適 當?shù)淖冃?；再代入具體的數(shù)字，對表達式進行賦值；最 后通過加減運算，即可解題.但要注意，運用此種方法， 一定要選取合適的數(shù)值進行賦值，以便于計算.

例 3 .已知 （1 + x - 2x ） 2 5 = a10 x 10 + a9 x 9 +…+ a2 x 2 + a1x + a0，其中 a10，a9，…，a2，a1，a0 均為實數(shù)，（1）求∑n = 1 10 an 的值；（2）求∑n = 1 10 nan 的值.

解答本題主要運用了賦值法，分別令 x = 1、0，消 去展開式中的變量x，得到兩個關于 a10，a9，…，a2，a1，a0 的方程組，再通過整體變換求得問題的答案.

相比較而言，第一個途徑比較常用，但解題過程 中的運算量較大，第二種途徑較為復雜，第三種途徑 較為簡單，但適用范圍較窄.

（作者單位：江蘇省徐州經(jīng)濟技術開發(fā)區(qū)高級中學）