基于拓撲優(yōu)化的新型熱沉翅片結構設計

季曉彤　解立垚　王坤　閔春華

文章編號：1007-2373（2022）01-0061-08

摘要 采用基于變密度法的拓撲優(yōu)化方法對強制對流空氣熱沉結構進行優(yōu)化設計，以最小壓降作為優(yōu)化目標，傳熱性能為約束條件，采用二維雙層模型代替?zhèn)鹘y(tǒng)三維模型進行優(yōu)化設計。采用在優(yōu)化過程中改變插值參數(shù)方法，有效避免優(yōu)化結果中阻塞結構的形成。將拓撲結構與直翅片結構進行對比，在入口速度為1.2 m/s時，拓撲結構熱沉的平均溫度比直翅片熱沉降低了約5.4%，努塞爾數(shù)增加了約為94.1%，拓撲結構熱沉有效地增強了換熱效果。研究結果發(fā)現(xiàn)拓撲結構熱沉翅片在入口和出口處分別存在局部高速區(qū)域，能夠迅速帶走熱量，有利于翅片散熱。

關 鍵 詞 拓撲優(yōu)化;二維雙層模型;插值公式;傳熱性能;變密度法

中圖分類號 TK124? ? ?文獻標志碼 A

Topology optimization of heat sink structure based on variable density method

JI Xiaotong， XIE Liyao， WANG Kun， MIN Chunhua

（School of Energy and Environmental Engineering， Hebei University of Technology， Tianjin 300401， China）

Abstract The topology optimization method based on the variable density method is used to optimize the structure of the forced convection air heat sink. The minimum pressure drop is used as the optimization goal， the heat transfer performance is the constraint condition， and the two-dimensional double-layer model is used to replace the traditional three-dimensional model for optimization design. This paper adopts the method of changing the interpolation parameters in the optimization process to avoid the blocking structure formation in the optimization results. The comparison of the topological structure with the straight fin structure shows as follow： when the inlet velocity is 1.2 m/s， the average temperature of the topological heat sink is about 5.4% lower than that of the straight fin heat sink， and the Nusselt number increases by about 94.1% ， The topological structure heat sink effectively enhances the heat transfer effect. It is found that the topological structure heat sink fins have local high-speed areas at the entrance and exit respectively， which can quickly take away the heat and facilitate the heat dissipation of the fins.

Key words topology optimization; two-dimensional two-layer model; interpolation formula; heat transfer performance; variable density method

0 引言

隨著微電子技術的發(fā)展，電子芯片的熱流密度越來越大，從而散熱問題變得越來越突出，給熱管理帶來了很大挑戰(zhàn)。傳統(tǒng)的熱沉結構設計通常是通過熱力學計算進行，可是傳統(tǒng)方法優(yōu)化周期過長、自由度較低且無法進行復雜傳熱結構的優(yōu)化設計問題。目前新興的設計方法為拓撲優(yōu)化設計，此方法具有設計自由度大、靈活性高等特點，因此被廣泛應用到熱沉結構優(yōu)化設計中。

結構拓撲優(yōu)化是以材料分布為優(yōu)化對象，尋求設計空間內材料分布的最佳方案，得到結構某種性能的最優(yōu)解。其主要應用包括體積約束下的最小柔度問題、柔性機構拓撲優(yōu)化設計問題和多物理場拓撲優(yōu)化設計問題等。在拓撲優(yōu)化方法中，較為成熟且具有一定工程應用的方法主要有變密度法、均勻化方法及Level Set方法等。近年來這些方法已經應用到傳熱結構優(yōu)化設計中。如Yamada等[1]以Level Set方法為基礎建立了以熱擴散為目標的傳熱拓撲優(yōu)化數(shù)學模型，在熱力耦合情況下考慮熱擴散效果，研究了結構剛度最大化問題。Gersborg-Hansen等[2]提出了在有限體積法基礎上的傳熱結構拓撲優(yōu)化方法。Yoon等[3]在強制對流的換熱器結構設計中考慮了傳熱和壓降2個物理場，并且得到流體熱傳導與對流之間的平衡是結構設計核心問題的結論。裴元帥等[4]利用變密度法，以流體輸入功率恒定時的最大化散熱為目標進行拓撲優(yōu)化。發(fā)現(xiàn)雷諾數(shù)和無量綱化產熱系數(shù)越大，流道越復雜，散熱效果越好;如果出現(xiàn)雷諾數(shù)過小，無量綱化產熱系數(shù)過大則會出現(xiàn)熱量富集。游吟等[5]建立了二維相變儲熱系統(tǒng)模型，對儲熱系統(tǒng)模型的傳熱能力進行了研究，討論了不同肋片設計對于傳熱能力的影響。李昊等[6]以換熱量最大為目標進行不同進出口布置的液冷通道分布優(yōu)化設計。并以最高溫度為評價指標，對比各進口布置的拓撲優(yōu)化通道與傳統(tǒng)直通道的散熱性能。安麗[7]進行了流固耦合傳熱結構拓撲優(yōu)化設計。尤灝等[8]進行了二維低雷諾數(shù)對流強化換熱拓撲優(yōu)化研究。吳璇等[9]基于火積耗散極值原理進行了二維自然對流熱沉拓撲優(yōu)化設計。張暉等[10]根據(jù)熱源隨結構形式變化的熱傳導拓撲優(yōu)化問題，提出以溫度方差為目標函數(shù)的優(yōu)化設計，并通過數(shù)值算例驗證了方法的合理性與有效性。喬赫廷等[11]將幾何平均溫度作為近似最高溫度引入到散熱結構拓撲優(yōu)化中，建立了新的散熱結構拓撲優(yōu)化模型，并通過對比最高溫度、最大溫度梯度等散熱性能指標，研究了新優(yōu)化模型與傳統(tǒng)優(yōu)化模型在熱傳導拓撲優(yōu)化設計中的差異及適用范圍。趙青海等[12-13]進行了熱傳導拓撲優(yōu)化研究，對二維和三維條件下拓撲相關熱載荷與周期性多材料結構的拓撲優(yōu)化設計。魏嘯等[14]討論了不同目標函數(shù)對傳熱結構拓撲優(yōu)化結果的影響，研究發(fā)現(xiàn)以平均溫度梯度最小化為目標得出的優(yōu)化結構具有較好的散熱效果。但上述學者或未考慮熱對流條件下結論是否依舊適用，又或僅進行了二維條件下拓撲優(yōu)化研究，未拓展到三維條件下進行研究。

本文的研究內容是基于拓撲優(yōu)化進行強制對流熱沉結構優(yōu)化設計，并與傳統(tǒng)直翅片進行對比。為了降低計算成本，將三維耦合傳熱模型簡化為二維模型。同時，對插值參數(shù)進行分段處理，減少可能出現(xiàn)的堵塞結構，使模型更加合理化。最后，基于三維數(shù)值模擬，分析了熱沉結構的流動與傳熱特性。

1 模型構建

1.1 雙層二維模型

三維耦合傳熱模型的計算成本較高，而拓撲優(yōu)化計算過程中需要進行數(shù)百次迭代，每次迭代都需要求解耦合傳熱模型一次，文獻[15]表明一般大型計算集群可用于三維耦合傳熱模型拓撲優(yōu)化計算。因此，本文基于文獻[16]構建了雙層二維模型，以減少計算成本。如圖1所示，熱沉由頂部和底部的實心底座2部分組成，其中頂部再由翅片和通道組成，為了縮短計算所需時間，本文選擇截取寬度為10 mm的長條區(qū)域進行優(yōu)化模擬。在二維模型中，假設在高度方向上各部分溫度均勻分布，則可以用頂層表示翅片和通道，用底層來表示實心底座。在頂層，存在翅片與流體的對流換熱;在底層內部只有熱傳導，而應用于熱沉結構底部表面的恒定熱流邊界條件則可以用整個底層均勻熱源來表示。最后，采用對流換熱邊界條件將2層結合起來。簡化后的雙層二維模型如圖2所示，其中，左側為空氣入口，右側為空氣出口，為了保證空氣能在通道內充分發(fā)展，入口和出口處各設有1個30 cm的延長段。中間矩形區(qū)域為優(yōu)化設計部分。整個區(qū)域的上下兩邊設定為對稱邊界條件。入口速度為1.2 m/s，出口設為壓力出口，入口溫度為20 ℃。

1.2 控制方程

頂層的控制方程包括連續(xù)性方程、動量方程和能量方程，如式（1）～式（3）所示：

式中：[u]為流體的速度，m/s;[ρ]為空氣密度，kg/m3;[P]為壓力項，Pa;[μ]為空氣動力黏度，N·s/m2，[α]為摩擦力系數(shù)或稱逆滲透率系數(shù);[c1]為空氣比熱，J/（kg·K）;[?]為梯度算符。摩擦力系數(shù)是通過插值公式與設計變量[γ]進行聯(lián)系。在頂層中[γ=0]時表示固體區(qū)域，此時[α]取最大值，通過式（2）中的摩擦力項保證局部速度為0;當[γ=1]時表示流體區(qū)域，此時[α=0]。其中，[k（γ）]和[h（γ）]分別為關于設計變量[γ]的熱導率和對流傳熱系數(shù)，[T1]和[T2]分別為頂層溫度場和底層溫度場，[dz1]為頂層高度。

底層固體域的能量方程為

式中：[ks]為固體熱導率，W/（m×K）;[q]為底層施加的熱源，W;[dz2]為底層基座高度，m。

2 拓撲優(yōu)化設計

2.1 插值公式

上述公式中的逆滲透率、熱導率和對流傳熱系數(shù)都是設計變量的插值函數(shù)。變密度法主要采用SIMP或RAMP材料插值模型，由于RAMP插值模型具有收斂速度快、優(yōu)化效率高、迭代次數(shù)少的優(yōu)點，因此本文采用RAMP類型函數(shù)進行插值[17]，如式（5）～式（7）所示：

式中：[αmin]為最小逆滲透率，本研究中取值為0;[αmax]為最大逆滲透率;[qa]、[qk]和[qh]為插值公式的控制參數(shù)，簡稱為插值參數(shù);[k1]和[k2]分別為固體和流體的導熱系數(shù);[h1]為空氣與底座之間的對流傳熱系數(shù);[h2]為翅片與底座之間的對流傳熱系數(shù)。

2.2 密度過濾

為了消除拓撲優(yōu)化結果中出現(xiàn)的棋盤格和網(wǎng)格依賴性問題，在設計域中采用霍茲海姆偏微分方程進行密度過濾處理，其表達式為

式中：r為長度參數(shù)，控制濾波的大小;[γ]為原始設計變量;[γ]為密度過濾后的設計變量，當密度濾波器開啟時，所有控制方程中的[γ]將被[γ]取代。

2.3 優(yōu)化設置

在進行優(yōu)化設計時，同時考慮了壓降及傳熱性能這兩個方面。以前的一些研究[18-20] 多為將兩者結合成1個單一的目標函數(shù)。然而，2個目標值的量級會有很大差距，且加權比的引入也增加了拓撲優(yōu)化的復雜性。因此，在本文中，以最小壓降為唯一優(yōu)化目標，傳熱性能則設定為約束條件。施加傳熱性能約束的方法為定義1個恒定的底層溫度，并根據(jù)應用需求設定空氣吸收熱量的下限。設置底層溫度[T2]為314 K，最小吸收熱量為2 W。

綜上所述，拓撲優(yōu)化用公式表示為：

最小化：? ? ? ? ? ?[ΔP]，

設計變量范圍：[0≤γ（r）≤1，]

體積約束：? ? ? ? [Ωγ（r）dΩ≤V，]

最小吸收熱量：[Ωh（γ）（T2-T1）dΩ≥q，]

式中：[ΔP]為壓力差;[r]為局部坐標;[V]為體積量上限，設為0.6。

2.4 優(yōu)化計算流程

在前文中進行了幾何結構、邊界條件、目標和約束條件的定義，接下來分析實現(xiàn)拓撲優(yōu)化的過程。首先對計算域進行三角單元離散化、有限元分析和求流場和溫度場;其次對目標函數(shù)、約束條件和靈敏度進行計算，在計算基礎上采用全局收斂移動漸近法（Globally Convergent Method of Moving Asymptotes，GCMMA）更新設計變量場。利用調整后的設計變量場重新求解控制方程，得到新的流場和溫度場，使其更接近于約束條件或目標函數(shù)。再根據(jù)靈敏度分析對設計變量場進行二次更新，這個過程反復進行;最后，生成一個滿足所有約束條件、最小目標函數(shù)的優(yōu)化結構。本文中拓撲優(yōu)化過程在有限元軟件COMSOL Multiphysics上進行，插值參數(shù)的變化則通過MATLAB執(zhí)行，具體的計算流程如圖3所示。其中，theta_0表示設計變量的初始值，本文中設置初始值為0.5。

3 結果分析

3.1 插值參數(shù)的動態(tài)變化

拓撲優(yōu)化在計算中將設計域視為多孔介質，優(yōu)化過程中可能產生非物理結果。例如，強制流體滲透穿過整個設計變量為0的固體區(qū)域，這種結構在物理上是不可能的，但是在優(yōu)化算法中被視為高性能結構。這個阻塞問題在文獻[21]中有明確的說明和討論，結果中也存在可疑的阻塞結構，即通道死角和出口部分之前的固體材料層。為了解決此問題，文獻[11]提出了一種在優(yōu)化過程中逐漸增大插值參數(shù)的方法，并且通過多種條件下的拓撲優(yōu)化計算證明了方法的合理性和有效性。本文采用插值參數(shù)值隨優(yōu)化計算先增大后降低的方法，將[qk]和[qh]先增大后降低，以避免阻塞結構的形成;同時逐步增加[αmax]和[qa]的值，增強摩擦阻力項，使局部無限流體的速度趨近于0。

圖4為不同插值參數(shù)情況下的優(yōu)化結構圖，其中[γ=1]的部分為流體區(qū)域，[γ=0]的部分為固體區(qū)域?？梢钥闯霎擺qk]、[qh]增大到500時，基本的拓撲結構已經形成，但是在設計域出口部分開始形成明顯的阻塞結構;當[qk]、[qh]減小為80時，能夠看出阻塞區(qū)域已經明顯縮小，但仍有中間值存在;當[qk]、[qh]繼續(xù)減小至8時，阻塞結構已經基本消除，只有少量中間值存在。

以熱導率的插值公式（6）為例對上述結果進行分析。如圖5所示，當[qk]的逐漸增大時，導熱系數(shù)的取值逐漸趨向于兩端?？梢钥闯?，在[qk=500]的情況下，即便[γ]的值為0.5也能取得與較接近流體狀態(tài)下的物性參數(shù)，但是表現(xiàn)在結構圖中則是出現(xiàn)了阻塞結構。因此，逐漸減小[qk]的取值，使[γ]的中間值區(qū)域更偏向固體狀態(tài)下的物性參數(shù)，并在此基礎上進行優(yōu)化計算，使優(yōu)化結構更加合理化。

3.2 模型驗證

為了證明雙層二維模型可以較為準確的代替三維模型直接進行拓撲優(yōu)化，即物理有效性。以設計變量等值線0.6提取出翅片的二維形狀并進行拉伸和陣列，得到三維熱沉結構模型，如圖6所示，圖7為相同體積比下直翅片結構模型。用COMSOL Multiphysics軟件進行優(yōu)化結構的三維模擬，并與二維優(yōu)化結果進行對比分析。計算模型設定為穩(wěn)態(tài)不可壓縮流動，邊界條件的設定與優(yōu)化問題設置相同，入口速度為1.2 m/s，空氣溫度設為293.15 K，出口壓力設為0 Pa。底部設為恒定熱流密度1 666 W/m2，兩側為對稱邊界條件，其余為絕熱面。將三維模擬得出的結果與優(yōu)化結果比較，具體數(shù)據(jù)如表1所示。其中，三維熱沉基座的平均溫度[Tave]與雙層模型的底層平均溫度[Tave]相差1.5%，雙層模型溫度場的物理有效性得到了較好證明。同時，二者壓差之間相差有1.8%，表明雙層模型流場具有較好的物理有效性，可以應用到模擬中。

4 新型結構與傳統(tǒng)平直翅片熱沉性能比較

以體積占比相同的平直翅片結構熱沉為基準，比較了拓撲結構熱沉的傳熱和壓降性能。拓撲結構熱沉和直翅片熱沉的三維模型如圖6、圖7所示，其中直翅片模型底座部分尺寸為100 mm[×]120 mm[×]17 mm，翅片部分為10 mm[×]108 mm[×]8 mm。運用ANSYS-Fluent軟件進行拓撲結構熱沉和平直翅片結構熱沉三維數(shù)值模擬，除入口速度不同外，外其他邊界條件的設定與3.2節(jié)相同。

圖8為不同入口速度下，拓撲結構熱沉和直翅片熱沉基座平均溫度對比圖。由圖可知，隨著入口速度逐漸增加，流體迅速流過翅片帶走更多熱量，使得兩種熱沉的基座平均溫度逐漸降低。并且隨著速度逐漸升高，溫度的降低趨勢逐漸變緩。同時，2種結構平均溫度之間的差值隨著入口速度的增加逐漸縮小，當進口速度為0.5 m/s時，拓撲結構熱沉的平均溫度為344.2 K，直翅片熱沉的平均溫度為359.9 K，兩者之間相差約為4.3%;當進口速度為1.2 m/s時，拓撲結構熱沉的平均溫度為321.2K，直翅片熱沉的平均溫度為339.8 K，兩者之間相差約為5.4%;當進口速度為2 m/s時，拓撲結構熱沉的平均溫度為312.2 K，直翅片的平均溫度為326.5 K，兩者之間相差降低至4.3%。

圖9是入口速度為1.2 m/s條件下，通道高度為4 mm部分的拓撲結構熱沉和直翅片熱沉的溫度場與速度場。直翅片熱沉的溫度場如圖9a）所示，翅片溫度分布均勻，平均溫度約為330 K。流體溫度邊界層逐漸變厚，使得對流換熱系數(shù)減小，不利于直翅片熱沉的散熱。圖9b）為優(yōu)化結構熱沉溫度云圖，流體溫度邊界層在入口微通道處較小，說明此處換熱系數(shù)較大，能夠進行有效對流換熱，中間通道部分流體溫度逐漸升高。拓撲結構熱沉的3個翅片溫度均大約為318 K，遠低于直翅片結構的平均溫度。

圖9c）為直翅片熱沉的速度云圖，其翅片區(qū)域流體速度分布均勻，平均速度約為1.8 m/s。圖9d）為拓撲結構熱沉的速度云圖，可以看出前段部分翅片的不規(guī)則結構有效阻礙了速度邊界層的生長，使得前段流體速度保持較高的狀態(tài)，同時微通道處流速進一步提高能夠快速帶走熱量;后段翅片使空氣進入2個分支通道，并且在下側通道處形成了局部高速區(qū)域，這有助于提高局部傳熱系數(shù)。

在入口溫度為293 K的工況下，不同入口速度對拓撲結構熱沉和直翅片熱沉的影響，如圖10所示。圖10a）中橫坐標為熱沉底座平均溫度，縱坐標為進出口壓力差。從圖中可以看出，進出口壓差隨著平均溫度逐漸增加而迅速降低，同時當平均溫度低于300 K或平均溫度高于320 K時，兩者壓差之間的差值較小;在平均溫度為300 K和320 K時，兩者之間的差值開始逐漸增大，在平均溫度為310 K時，兩者之間的差值達到最大約為56%，隨后逐漸降低。圖10b）為拓撲結構熱沉與直翅片熱沉努塞爾數(shù)隨著入口速度的變化圖。從圖中可以看出，兩種熱沉的努塞爾數(shù)均隨著入口速度增大逐漸增大，這是由于入口速度的增加導致空氣帶走更多的熱量，換熱效率增強。同時拓撲結構熱沉的努塞爾數(shù)始終高于直翅片熱沉，當進口速度分別為0.5 m/s、1.2 m/s和2 m/s時，拓撲結構的努塞爾數(shù)較直翅片熱沉的分別提高了75.5%、94.3%和59.6%。在拓撲結構熱沉中，流體入口段和出口段均有局部高速區(qū)域，提高了局部換熱系數(shù)，增強了流體和翅片間的對流換熱。

5 結語

1）為了減少拓撲優(yōu)化的計算成本且讓拓撲模型更加貼合實際情況，本文采用了雙層二維模型進行優(yōu)化設計，頂層代表流體域和翅片結構，底層代表了熱沉結構的基座。并且，運用模擬軟件對得出的拓撲結構進行模擬驗證，證明了雙層二維模型的可行性。

2）通過運用動態(tài)改變插值參數(shù)的方法，有效防止了阻塞結構的產生。使得到的優(yōu)化結構更加符合真實物理結構，便于加工。

3）將優(yōu)化后得到的拓撲結構與相同體積比的直翅片結構進行傳熱和壓降性能對比，發(fā)現(xiàn)拓撲結構熱沉翅片在入口和出口處分別存在局部高速區(qū)域，能夠迅速帶走熱量，有利于翅片散熱。分析了不同入口速度下2種熱沉的基座平均溫度和努賽爾數(shù)。在入口速度為1.2 m/s時，拓撲結構熱沉的平均溫度比直翅片熱沉降低了約5.4%，努塞爾數(shù)增加了約為94.3%，拓撲結構熱沉有效地增強了換熱效果。

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收稿日期：2021-03-15

基金項目：河北省青年科學基金（E2019202255）

第一作者：季曉彤（1995—），女，碩士研究生。通信作者：解立垚 （1986—），男，講師，xieliyao@hebut.edu.cn。