高中生函數(shù)核心概念認知水平測評分析
——基于結構化視角

時杰

(建平中學，上海 200135)

1 問題的提出

《普通高中數(shù)學課程標準(2017年版2020年修訂)》(以下簡稱《新課標》)強調“依據(jù)數(shù)學學科特點，關注數(shù)學邏輯體系、內容主線、知識之間的關聯(lián)”[1]，這就要求學生以聯(lián)系、整體、發(fā)展的原則構建良好的數(shù)學認知結構，也就是用結構化的方式學習數(shù)學。正如美國著名認知心理學家和教育家布魯納(Bruner)所強調的，無論教師選教什么學科，務必使學生理解該學科的基本結構[2]。結構化學習能夠幫助學生掌握數(shù)學學科的基本概念架構，促進學習的遷移。北京師范大學林崇德教授更直言核心素養(yǎng)是一種結構化的學習能力。另一方面，數(shù)學學習最重要的是數(shù)學概念的學習，用結構化的方式學習數(shù)學概念，有助于以數(shù)學核心概念為“綱”，將相關概念統(tǒng)整為一個網(wǎng)絡系統(tǒng)，達成“綱舉目張”之效[3]。當前教育界普遍認為函數(shù)是高中數(shù)學課程中的核心概念之一，但函數(shù)概念的抽象性使得高中生學習遇到了巨大的困難。以結構化的方式學習函數(shù)核心概念，可以整體構建與函數(shù)有關的數(shù)學知識，形成知識系統(tǒng)，有助于提升學生的學習和研究能力，從而促進學生數(shù)學核心素養(yǎng)的連續(xù)發(fā)展。

基于以上分析，提出3個研究問題：(1)結構化視角下高中生函數(shù)核心概念的認知水平如何？(2)高二學生與高三學生的函數(shù)核心概念認知水平是否存在差異？男女生的函數(shù)核心概念認知水平是否存在差異？(3)不同認知水平的學生，其函數(shù)核心概念認知結構表現(xiàn)出怎樣的特點？

2 理論基礎

2.1 數(shù)學核心概念的界定

關于數(shù)學核心概念(Core Concept)的含義，學界并無定論，但是從眾多的論述中可以發(fā)現(xiàn)，核心概念是數(shù)學概念體系的中心，具有超越具體知識的遷移價值，能夠將各種數(shù)學理解有機聯(lián)系形成一個連貫的整體，體現(xiàn)了基礎性、本質性和統(tǒng)攝性。本研究參考邵光華[3]以及王嶸、章建躍和宋莉莉[4]等學者對數(shù)學核心概念的界定，同時結合實際需要，認為數(shù)學核心概念不僅僅指概念本身是什么，而是一個包含概念知識結構、思想方法和思維方式的概念群。核心概念，對數(shù)學學科而言，處于主干地位；對學生認知結構而言，以一種綜合的心理圖式的方式存在于學生的腦海之中，具有不可或缺的基礎地位；在表現(xiàn)形式上，以核心概念的邏輯發(fā)展為主線，以網(wǎng)系結構呈現(xiàn)各子概念節(jié)點之間的聯(lián)系；在教學價值上，注重數(shù)學核心概念的教學，其最終目的是用數(shù)學學科中少而精的概念促進學生對數(shù)學學科的深度理解，幫助學生獲得數(shù)學核心素養(yǎng)。

2.2 認知水平的界定

2.2.1 布魯姆教育目標分類

布魯姆(Bloom)的教育目標分類學是認知水平分類中最具影響力的一種。布魯姆等學者將認知目標由簡單到復雜、由具體到抽象劃分成六個層次，依次為知識、領會、運用、分析、綜合和評價[5]，這是一個累進式層級分類系統(tǒng)，也就是說，學生只有掌握了低級的類別才有能力掌握高級的類別。

隨著教育目標分類理論的發(fā)展，布魯姆的學生安德森等人對原來的分類進行了修訂，將原來的六個層次用動詞命名，并對其順序進行了調整，修改后的六個層次依次為記憶、理解、應用、分析、評價和創(chuàng)造[6]。修訂版的教育目標分類變成了復雜性漸進層級，且允許不同層級之間有重疊。

縱觀兩個版本的布魯姆教育目標分類理論，從結構化的視角來看，兩個版本的第一類別都關注最單一的、基礎的知識；第二和第三類別都關注多點知識，但是缺乏知識間的聯(lián)系與結構；第四類別開始關注要素與組成部分的聯(lián)系，局部與整體的關系；第五和第六類別則上升至連貫的整體和完整的結構。

2.2.2 SOLO分類理論

SOLO是“可觀察到的學習結果的結構”(Structure of the Observed Learning Outcome)的簡寫。SOLO分類理論根據(jù)一個人對待某個問題的表現(xiàn)來判斷這個人思維結構所處的水平,將一個人的思維結構從簡單到復雜分為五個類別，依次為前結構、單點結構、多點結構、關聯(lián)結構和拓展抽象結構[7]。

SOLO分類理論五種水平結構也是復雜性漸進層級模型，每一層級所構造的維數(shù)數(shù)目逐漸增加，不少學者認為SOLO分類法適用于不同學科，且在測量學生認知成就中具有客觀標準性[8-9]。SOLO分類理論也很好地體現(xiàn)了結構化的思想，每個層級由低到高逐步呈現(xiàn)學生思維結構從缺少聯(lián)系到形成有機整體的過程。

2.2.3 國內認知水平劃分的研究

國內對數(shù)學認知水平劃分的研究也有很多。顧泠沅教授在布魯姆的教育目標分類學基礎上重新建立了包含計算、概念、領會和分析四個水平的數(shù)學認知水平分析框架[10]。《新課標》給出了六個數(shù)學學科核心素養(yǎng)的三水平劃分，并從情境與問題、知識與技能、思維與表達、交流與反思四個方面說明了學生數(shù)學學科核心素養(yǎng)的表現(xiàn)水平[1]?！渡虾Ｊ懈咧袛?shù)學學科教學基本要求(試驗本)》中從識記、理解、運用、綜合四方面給出了學科學習水平界定表[11]。國內關于認知水平劃分的研究，對布魯姆教育目標分類學和SOLO分類理論進行了一定的拓展，重點表現(xiàn)在從原先主要關注知識結構化轉變?yōu)槎嗑S度地關注情境結構化、思維結構化以及素養(yǎng)結構化。

3 研究方法

3.1 研究對象的選取

本研究選取函數(shù)作為高中數(shù)學核心概念進行研究。函數(shù)概念是中學數(shù)學教育的靈魂，《新課標》強調高中數(shù)學課程以函數(shù)為主線之一，高中數(shù)學課程中由函數(shù)概念生發(fā)出大量的子概念，在教學組織中具有紐帶作用，可見函數(shù)概念在高中數(shù)學課程中的重要地位。且函數(shù)概念是學生未來進一步學習數(shù)學的基礎，因此，將函數(shù)作為高中數(shù)學核心概念是合理的。

考慮樣本選取的代表性與方便性，本研究中的測試卷調查對象為上海市浦東新區(qū)J中學高二和高三創(chuàng)新班學生，該所學校師資力量較強、生源較好，是浦東新區(qū)的優(yōu)質校。以這所學校高二年級的一個創(chuàng)新班和高三年級的一個創(chuàng)新班學生作為樣本，共發(fā)放測試卷78份，回收有效問卷75份。

3.2 測試工具的編制

為了從結構化視角下測評高中生函數(shù)核心概念的認知水平，首先繪制函數(shù)核心概念圖(如圖1)。概念圖是一種組織和表征知識結構的網(wǎng)絡圖表，包含概念、概念間的意義聯(lián)系以及層級。概念圖的繪制遵循以下基本原則：(1)中心性，以函數(shù)概念為概念圖的核心；(2)關聯(lián)性，盡可能包含與函數(shù)核心概念相關的概念；(3)層級性，參考《新課標》中函數(shù)主線的內容，建構概念圖中的層級結構。第1層為函數(shù)核心概念，第2層為表示方法、分類和概念，第3層為基本初等函數(shù)，第4層為基本性質和運算，第5層為運用，層與層之間為逐級遞進關系。

圖1 函數(shù)核心概念圖

基于上文對認知水平劃分的綜述，結合函數(shù)核心概念圖的層級結構，主要參考SOLO分類理論，按照學生順利解答測試題所需要的認知水平層次將測試題分為4個水平。1水平的題包含的概念主要與概念圖的第2層有關，旨在測試學生對函數(shù)核心概念認知的基礎性；2水平的題包含的概念主要與概念圖的第3層有關，旨在測試學生對函數(shù)核心概念認知的全面性；3水平的題包含的概念主要與概念圖的第4層有關，旨在測試學生對函數(shù)核心概念認知的關聯(lián)性；4水平的題包含的概念主要與概念圖的第5層有關，旨在測試學生對函數(shù)核心概念認知的拓展性。最終得到函數(shù)核心概念認知的4個水平劃分，見表1。

表1 函數(shù)核心概念認知水平的劃分

為了考察高二、高三學生函數(shù)核心概念的認知水平，依據(jù)表1中的函數(shù)核心概念認知水平劃分，從結構化的角度編制一份函數(shù)核心概念測試卷，每個水平層次編制4道測試題，見表2。

表2 函數(shù)核心概念測試卷題目說明

除此之外，為了考核學生的函數(shù)認知綜合水平，額外增加了一道研究型試題：

本題根據(jù)學生的作答情況，同樣劃分為表1中的4個水平。

為了檢驗測試卷是否覆蓋概念圖中所涉及的大部分概念，統(tǒng)計測試卷中各水平測試題出現(xiàn)的概念數(shù)和相應概念圖層級出現(xiàn)的概念數(shù)，兩者相除，得出覆蓋率，見表3。由表3可知，整套測試卷對概念圖各層級概念的覆蓋率均超過57%，覆蓋了大部分內容。

表3 函數(shù)核心概念測試卷的覆蓋率

對此測試卷進行專家咨詢，邀請了9位中學數(shù)學教師對測試題與測試水平的一致性進行評判，評判結果如表4。在表4中可以發(fā)現(xiàn)，每個水平的測試題均有77%以上的教師作出了一致的評判，因此，整份測試卷的一致性程度較高。

表4 函數(shù)核心概念測試卷的專家咨詢結果

3.3 正式測試與評分標準

測試卷由數(shù)學教師分發(fā)給學生作為回家作業(yè)完成。為保證測試卷評分的一致性，測試卷由研究者獨立評分。完全答對每個水平中的3道及以上測試題，即可認為達到該水平。在評判認知水平的過程中，忽略學生的計算錯誤、筆誤等問題，主要關心學生對概念本身的理解是否存在錯誤以及是否具備進一步研究的能力。

3.4 數(shù)據(jù)分析與處理

依據(jù)評分標準，每個學生會被判為某個水平，通過統(tǒng)計每個水平的人數(shù)和百分比分析高中生函數(shù)核心概念的認知水平整體狀況；利用χ2檢驗分析不同學段、不同性別學生的函數(shù)核心概念認知水平是否存在差異。

4 研究結果

4.1 結構化視角下高中生函數(shù)核心概念認知水平層級較高

研究結果顯示，75份測試卷中，有1位學生沒能達到1水平和2水平，但是3水平的測試題全對，故考慮將此學生列為特殊學生，單獨分析此份測試卷，因此在數(shù)據(jù)分析時剔除此份測試卷。高中生函數(shù)核心概念的認知水平整體狀況如表5所示?？梢钥闯?，大部分被測學生的函數(shù)核心概念認知水平達到了3水平甚至4水平，由此反映出學生較好地掌握了函數(shù)核心概念。

表5 高中生函數(shù)核心概念認知水平整體狀況

4.2 函數(shù)核心概念認知水平存在學段差異

雖然從整體而言，所測學生的函數(shù)核心概念認知水平較高，但是1水平的4名學生均來自高二，而達到3水平的學生有59.3%來自高三，達到4水平的學生有92.6%來自高三，因此考慮利用χ2檢驗分析高二學生與高三學生在函數(shù)核心概念認知水平上的差異，結果顯示，χ2=38.707，p=0.000<0.05，表明高二學生與高三學生在函數(shù)核心概念認知水平上存在顯著性差異，高三學生的認知水平高于高二學生。

4.3 函數(shù)核心概念認知水平存在性別差異

性別差異一直是教育研究關注的熱點。因此接下來分析不同性別學生在函數(shù)核心概念認知水平上的差異性。達到3水平的學生有55.6%是男生，達到4水平的學生有85.2%是男生。因此，針對不同性別學生的函數(shù)核心概念認知水平做了χ2檢驗，結果顯示，χ2=8.354，p=0.035<0.05，表明男女生在函數(shù)核心概念認知水平上存在顯著性差異，男生的認知水平高于女生。

4.4 不同認知水平學生的函數(shù)核心概念認知結構特點

測試卷作答情況表明，1水平和2水平的學生對于函數(shù)核心概念以記憶為主，能夠處理簡單的一次函數(shù)和二次函數(shù)問題，善于解決有具體函數(shù)表達式的問題，但是這類學生沒有很好地建構起函數(shù)核心概念的認知結構，對函數(shù)的概念、性質等的認知是零散的、不成結構的，面對抽象的函數(shù)表達式，往往無法與具體的函數(shù)進行有效聯(lián)系，且對于陌生的情境缺少基本的分析、類比、推斷能力。3水平的學生建構起了一定的函數(shù)核心概念認知網(wǎng)絡，能夠有效地整合題干中的信息，形成一個結構，但是缺少探索和發(fā)現(xiàn)能力。4水平的學生突出的特點在于其不僅能有效地建立起函數(shù)核心概念的整體結構，還能在陌生的情境中從特殊到一般地進行歸納推理，具備較強的創(chuàng)新性。不僅如此，4水平的學生在解決研究型試題時表現(xiàn)出更高的數(shù)學素養(yǎng)，主要體現(xiàn)在利用高等數(shù)學解決問題。對于測試中發(fā)現(xiàn)的唯一一位特殊學生，分析其作答情況發(fā)現(xiàn)，其做對的3水平的測試題均與三角函數(shù)有關，而1水平和2水平的測試題與三角函數(shù)無關，其可能對與三角函數(shù)有關的內容建立起了良好的認知結構，而沒能對其他函數(shù)內容形成良好的認知結構。

5 分析與討論

基于測試得出的以上結論，有許多成因，主要有教師教學、學生學習、教材設計等方面的。

5.1 教師教學方面的成因分析

研究發(fā)現(xiàn)，絕大多數(shù)學生的函數(shù)核心概念認知水平達到了3水平或4水平，這表明創(chuàng)新班學生對函數(shù)概念的認知是較為優(yōu)異的。整體而言，學生在基礎的函數(shù)問題上表現(xiàn)較好，這表明學生函數(shù)的基礎知識和基本技能較為扎實，但是學生在涉及抽象的函數(shù)表達式和研究型試題上的表現(xiàn)一般。注重數(shù)學“雙基”教學一直是我國數(shù)學教育的傳統(tǒng)，教師們圍繞“雙基”發(fā)展出了諸如“變式訓練”“精講多練”等教學方式[12]，但是過分強調“雙基”又弱化了學生更高層次的創(chuàng)新，因此，學生表現(xiàn)為對解題很在行，而面對一些開放或者需要探究的問題時束手無策。函數(shù)核心概念的教學是一個整體，教師教學過程中應注重把握函數(shù)核心概念的本質，突出函數(shù)思想，引導學生建立函數(shù)核心概念與其他概念之間的聯(lián)系。“雙基”的訓練必不可少，但是要想學生達到函數(shù)核心概念的高認知水平，教師還需要提供一些非常規(guī)、情境性和開放性的高認知水平數(shù)學任務，讓學生在任務中主動探索和理解函數(shù)核心概念的本質，進而發(fā)展高層次的思維和推理[13]。

5.2 學生學習方面的成因分析

研究發(fā)現(xiàn)，隨著學段的上升，學生函數(shù)核心概念的認知水平出現(xiàn)了較大的提升，這一研究結論與濮安山等人的發(fā)現(xiàn)一致[14]。一方面，隨著學段的上升，學生的認知逐步得到發(fā)展，對函數(shù)核心概念有了更深刻的認識，原先對函數(shù)概念認知的片面性得到一定的糾正；另一方面，本研究中選取的高三學生已經經過高強度的復習，高三的復習更加注重建立完善的函數(shù)核心概念知識體系和認知結構，學生通過復習對函數(shù)核心概念進行了全面的整合與梳理，加強了知識間的縱橫聯(lián)系，構建了完整的函數(shù)概念網(wǎng)絡。在性別層面，男生比女生表現(xiàn)優(yōu)異，尤其體現(xiàn)在高水平的認知上。男生在函數(shù)核心概念的結構建構上優(yōu)于女生，女生更多的是停留在對函數(shù)核心概念的感性認識和理解水平層面[15]。這一點在TIMSS2015研究中也有所體現(xiàn)，男生表現(xiàn)優(yōu)于女生，尤其在推理方面優(yōu)勢明顯[16]。關于性別上的差異，很難有一個非常完美的解釋，但是無論如何，我們需要做的是加強對性別差異的研究，科學地利用研究成果為不同性別的學生提供有針對性的數(shù)學教育，以促進學生的全面發(fā)展。

5.3 教材設計方面的成因分析

有研究表明，初中和高中教材對學生的函數(shù)概念認知具有顯著的影響[17]，因此，中學數(shù)學中函數(shù)課程設計與學生函數(shù)核心概念的認知水平有著密不可分的關系。函數(shù)概念的學習過程是一個較長的過程，學生早在初中就學習過函數(shù)的概念，到了高中需要進一步理解變量之間的對應關系，函數(shù)概念本身的復雜性和發(fā)展性是造成學生對函數(shù)核心概念產生認知困難的重要原因之一[18]，所以做好初高中教材中函數(shù)內容的銜接至關重要。當前我國高中教材大部分先談函數(shù)概念是什么，然后在這個一般概念的引領下研究函數(shù)的基本性質，最后研究具體的冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)等。這樣的一種編排順序無形中增加了學生的認知負擔。滬教版新教材在這一方面作了一定的探索，打破原有的順序，遵循從特殊到一般再由一般指導特殊這樣的認知規(guī)律，將冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)放在函數(shù)概念、性質與應用之前，引導學生回顧初中函數(shù)的研究方法，為函數(shù)一般概念的形成打下基礎。

6 研究不足與展望

本研究只選取了一所優(yōu)質校的創(chuàng)新班學生作為測試對象，因此，研究結論只適用于同等層次的學生，對于普通班學生的測試結果可能會有所不同。此外，測試樣本數(shù)量較少，對于特殊學生的分析還不夠全面，有待進一步大樣本調查，并對特殊學生進行訪談分析，以了解其函數(shù)核心概念的認知水平。