考慮臨時服務能力的醫(yī)療檢查預約能力分配模型

楊飛飛， 姜艷萍， 湯振朋

(東北大學 工商管理學院， 遼寧 沈陽 110167)

醫(yī)療檢查分為常規(guī)檢查和急診檢查.常規(guī)檢查主要服務于常規(guī)患者，包括住院患者、門診患者和體檢患者；常規(guī)患者又可分為預約和未預約兩大類.急診檢查主要服務于急診患者，隨時用于危重患者搶救或應急狀態(tài)，其他時間處于備用狀態(tài).為醫(yī)療檢查設計合理有效的預約能力分配策略可以有效提高醫(yī)院資源效率和整體服務水平[1-3].

常規(guī)檢查和急診檢查的運作往往是相互獨立的，所以存在一些問題：一方面，急診檢查不常發(fā)生，因此急診檢查設備時常處于閑置狀態(tài)，使用率一般為60%～70%[4]；另一方面，因為需求量巨大，常規(guī)檢查往往供不應求[5].同時，未預約常規(guī)患者的隨機到達使當天的服務需求激增，可能影響常規(guī)檢查的正常運營.如果考慮將空閑時的急診檢查作為一種臨時服務，和常規(guī)檢查一起服務于預約和未預約常規(guī)患者，可以適當緩解需求沖突，提高醫(yī)療設備整體運作效率.然而，若簡單將這些臨時服務完全用于隨機到達的未預約患者，會造成不必要的浪費，原因如下：一方面，預留服務過多，可能產生設備空閑的成本和預約常規(guī)患者請求延遲的成本，從而降低醫(yī)療資源的利用率；另一方面，預留服務過少，會產生拒絕未預約常規(guī)患者的成本和設備加班的成本，從而降低患者滿意度，進而對醫(yī)院收益造成負面影響.因此，考慮未預約患者和臨時服務能力的醫(yī)療檢查預約能力分配是一個值得研究的課題.

目前，關于預約能力分配的研究處于起步階段，解決方法各有不同[6-7].Kolisch等[8]考慮兩臺CT設備提供放射服務的問題，針對預約門診患者、非預約住院患者和隨機急診患者三類患者建立了馬爾可夫決策過程，目標是使醫(yī)院的期望收益最大化.Kortbeek等[9]為提供未預約和預約服務的CT設備設計了一種有效預約系統(tǒng)，以平衡未預約患者的等待時間和預約患者的訪問時間.Zhou等[10]研究急診患者具有非強占優(yōu)先權的CT檢查能力分配策略，構建了以總成本最小化為目標的馬爾可夫決策過程模型，給出了設備產能在不同類提前預約患者之間的合理預約分配.此外，還有部分關于其他醫(yī)療設備檢查能力分配研究和關于考慮未預約患者的預約調度研究與本文間接相關.針對前一類問題的主要研究包括：Green等[1]針對大型醫(yī)療診斷設備服務不同類患者的調度問題，構建有限維動態(tài)規(guī)劃模型，通過性質分析證明了每個時間槽存在住院患者數(shù)量最優(yōu)臨界值.在此背景下，Akhavizadegan等[11]研究了患者具有爽約行為的核素診療中心醫(yī)療能力分配排程問題，并構建了一種新算法來求解模型.Patrick等[12]研究針對多優(yōu)先權患者的診療資源調度問題，構建了動態(tài)馬爾可夫決策過程，給出了在各個時間槽可接受的最優(yōu)患者數(shù)量.姜博文等[13]研究了可增加號源策略下高需求門診的預約能力分配問題，聯(lián)合決策加號數(shù)和分配給預約患者的掛號數(shù)，使醫(yī)院凈收益期望最大.Qu等[14]針對提前預約和當天預約兩類患者的檢查能力分配進行決策，給予提前預約患者最優(yōu)檢查能力.對第二類問題的研究主要包括：Wang等[15]采用數(shù)據(jù)分析方法，研究存在未預約患者情景下的最優(yōu)預約調度問題，構建了以醫(yī)院總成本最小為目標的優(yōu)化模型，實驗結果顯示最優(yōu)預約調度依賴于未預約患者的到達方式.Izady[16]研究了基于提前預約請求和當日請求的需求能力規(guī)劃問題.Yang等[17]通過考慮未預約患者、患者爽約和季節(jié)性需求變動等可變因素，為醫(yī)療服務制定合理的需求能力策略.Braaksma等[18]為評估實施未預約和預約相結合的設備檢查服務系統(tǒng)，提出一個離散時間仿真模型，并結合智能優(yōu)化算法進行預約調度優(yōu)化，結果表明該系統(tǒng)能縮短患者檢查軌跡，減少就醫(yī)次數(shù).

雖然關于醫(yī)療檢查預約能力分配的研究已經取得一些成果，但仍存在一些值得進一步研究的問題.例如，目前關于醫(yī)療檢查預約能力分配的研究大多考慮預約患者會取消預約和爽約的情景[4-5,17]，而考慮服務當天接收未預約患者的能力分配研究并不多見.雖然文獻[9,18]考慮了同時為預約患者和當天未預約患者進行醫(yī)療檢查，但沒有考慮增加臨時服務下的能力分配問題.鑒于此，本文考慮未預約患者和臨時服務能力的醫(yī)療檢查預約能力分配問題，以醫(yī)院的期望收益最大為目標，建立醫(yī)療檢查預約問題的能力分配模型，通過分析模型結構性質，證明存在使服務當天期望收益最大的最優(yōu)預約限額，并給出最優(yōu)預約限額滿足的條件.

1 問題描述

本文重點研究兩類患者(預約和未預約常規(guī)患者)和兩種服務能力(常規(guī)服務能力和臨時服務能力，服務能力指能夠得到醫(yī)療檢查服務的患者數(shù)量).預約常規(guī)患者按照預約時間于某工作日到達醫(yī)院接受醫(yī)療檢查服務，未預約常規(guī)患者會在工作日當天隨機到達，這兩類患者接受常規(guī)醫(yī)療設備服務；急診患者隨機到達，由急診設備進行服務.急診設備處于空閑狀態(tài)時，將作為臨時服務加入到常規(guī)服務中，一起為預約和未預約常規(guī)患者服務.常規(guī)服務能力是已知的，臨時服務能力由于急診患者到達的隨機性而具有不確定性.值得注意的是，醫(yī)院考慮增加臨時服務能力時，預約常規(guī)患者數(shù)量可能會高于常規(guī)服務能力.本文要解決的問題是醫(yī)院在考慮未預約患者和增加臨時服務時，如何在預約和未預約常規(guī)患者之間配置常規(guī)服務能力，即制定一個合理預約限額，從而使得醫(yī)院服務當天收益最大化.

根據(jù)本文研究問題的特點作如下基本假設：①根據(jù)醫(yī)院運行特點和相關文獻[10,14,15]，假設每天正常接診能力有限，對各類患者的檢查時間固定，為一個時間槽；②假設急診醫(yī)療設備利用率低于常規(guī)利用率；③由于醫(yī)院加班會帶來各項支出(例如，醫(yī)療設備和醫(yī)護人員等)，假設醫(yī)院加班的單位成本大于拒絕當天未預約患者的成本；④由于病情未知，假設醫(yī)院接收預約患者和未預約患者收益相同.

符號說明：

b：預約期預約患者數(shù)量的限額；

N：常規(guī)服務能力，即當天可以得到常規(guī)醫(yī)療設備服務的患者總數(shù)；

Dr：預約期間提出預約請求的常規(guī)患者數(shù)量，是一個隨機變量；

Dw：當天到達醫(yī)院的未預約常規(guī)患者數(shù)量，是一個隨機變量；

Xr：當天能得到服務的預約患者數(shù)量；

Xw：當天能得到服務的未預約患者數(shù)量；

pr：服務一個預約患者的平均收益；

pw：服務一個未預約患者的平均收益；

π：加班服務一個預約患者的平均費用；

τr：拒絕一個預約患者請求的平均損失；

τw：拒絕一個未預約患者請求的平均損失；

γ：空閑一個時間槽的平均損失.

2 期望收益模型

(1)

當常規(guī)服務能力和臨時服務能力大于或等于Xr時，余下的服務能力可以提供給隨機到達醫(yī)院的未預約患者；因此，未預約患者沒有加班成本.當常規(guī)服務能力和臨時服務能力小于Xr時，醫(yī)院不為未預約患者提供服務，故得到服務的未預約患者數(shù)量為零；而當天剩下的尚未得到服務的預約患者需要醫(yī)院利用加班時間提供服務.可見，當天需要加班服務的預約患者的數(shù)量為

(2)

(3)

(4)

令MI表示服務當天醫(yī)療檢查設備空閑時間槽數(shù)量，則

(5)

綜上，服務當天醫(yī)院的期望收益為

進一步可以整理為

(6)

3 模型結構性質分析

為了證明考慮未預約患者并增加臨時服務的醫(yī)療檢查能力存在最優(yōu)預約限額，本文對目標函數(shù)V(b)進行結構性質分析，從而找到最優(yōu)的能力分配策略.

令

手術結束時已是凌晨1點05分，陳正副院長將患兒抱進新生兒科進行監(jiān)護治療，并安排好一切有關事宜后，這才換了衣服回宿舍，在回宿舍的路上，陳正副院長在便利店買了兩盒方便面，作為犒勞自己這驚心動魄的一天的獎勵。他說：“忙碌是難免的，但作為新生兒的守護者，一定要做到忙而不亂，看到轉危為安的孩子們，作為一名醫(yī)者，我感到很值得。”

則

式中P表示概率.

定理1當η(b)>0時，醫(yī)院服務當天期望收益函數(shù)V(b)是關于預約患者限額b的凹函數(shù).

證明 根據(jù)式(6)，可以計算服務當天期望收益的增量函數(shù)ΔV(b)=V(b+1)-V(b)，則

ΔV(b)=V(b+1)-V(b)=

(7)

由定義可知

將上式整理得

因為pw=pr且π≥τw，故(pw+τw)-(pw+τw+γ)·P{Dw=0}-(pr+π)≤0，所以η(b+1)-η(b)≤0.可知，η(b)是關于b的非增函數(shù).

由式(7)可得

ΔV(b+1)-ΔV(b)=

P{Dr>b+1}·η(b+1)-P{Dr>b}·η(b)=

P{Dr=b+1}·η(b).

當η(b)>0時，由于η(b+1)-η(b)≤0，故ΔV(b+1)-ΔV(b)≤0；即V(b+1)-V(b)為關于b的非增函數(shù).也就是，V(b)是關于b的凹函數(shù).證畢.

推論1 當η(b)≤0時，醫(yī)院服務當天期望收益函數(shù)V(b)是關于預約患者限額b的非增函數(shù).

證明 由于ΔV(b)=P{Dr>b}·η(b)，故當η(b)≤0時，ΔV(b)≤0，即V(b)是關于b的非增函數(shù).證畢.

定理2預約患者存在最優(yōu)預約限額b*，醫(yī)療檢查服務當天期望收益函數(shù)V(b)最大化.

證明 由定理1可知，當η(b)>0時，V(b)是關于b的增函數(shù).由推論1可知，當η(b)≤0時，V(b)是關于b的非增函數(shù).故存在預約患者最優(yōu)預約限額b*，使得醫(yī)療檢查服務當天期望收益最大化.證畢.

定理3若b>N且η(N)≤0，則臨時服務能力將全部提供給當天未預約患者；若b≥0且η(0)<0，則醫(yī)院無預約患者，常規(guī)服務能力和臨時服務能力將全部提供給當天未預約患者.

證明 根據(jù)定理1，若預約患者數(shù)量b>N且η(N)≤0，則η(b)<η(N)≤0，即ΔV(b)≤0，也就是醫(yī)療檢查服務當天期望收益函數(shù)遞減.為使收益最大化，應使b*≤N，即臨時服務能力全部提供給當天到達的未預約患者.若η(0)<0，且b≥0，則η(b)<η(0)<0，即ΔV(b)<0，也就是醫(yī)療檢查服務當天期望收益函數(shù)隨著b增大而減少.此情況下，醫(yī)院應取消預約患者，將常規(guī)服務能力和臨時服務能力全部提供給當天未預約患者.證畢.

由定理3可得如下推論.

推論2 使醫(yī)院服務當天期望收益最大的最優(yōu)預約限額可由下式確定：

特別地，若對于任意的預約患者限額b，均有ΔV(b)≤0，則b*=0.

4 數(shù)值實驗

圖1表示各函數(shù)隨預約患者數(shù)b增大的變化趨勢.可以看出，Δη(b)≤0，η(b)是關于b的非增函數(shù)；ΔV(b)先隨預約患者數(shù)b增大而減少，當降至負值后隨預約患者數(shù)b增大而增大，但始終為負值；ΔV(b+1)-ΔV(b)隨預約患者數(shù)b增大先負值后轉為正值，與定理1結論一致.

圖2和圖3表示b*分別隨著τr和τw增大的變化趨勢.從圖中可以看出，b*隨τr的增大而上升，隨τw的增大而下降.這是因為拒絕預約請求成本增大，表明醫(yī)院系統(tǒng)更傾向于為預約患者服務，故醫(yī)院應該提高預約限額，這樣既可以提高患者預約滿意度，又降低拒絕預約請求給醫(yī)院帶來的負面影響.同理，拒絕未預約請求成本增大，也就是說當患者病情更緊急時，醫(yī)院應該減少預約限額，保留更多的CT檢查能力來保障未預約患者的服務，從而提高醫(yī)院整體收益.

圖1 各函數(shù)隨預約患者數(shù)b的變化趨勢

圖2 拒絕預約請求成本τr對能力分配方案的影響

圖3 拒絕未預約請求成本τw對能力分配方案的影響

圖4 E[Dr]/E[Dw]和E[Dr]對能力分配方案的影響

圖4表示E[Dr]/E[Dw]在不同比例下，b*隨E[Dr]增大的變化趨勢.從圖中可以看出，b*隨E[Dr]增大而逐漸降低，且在不同需求期望比例下，E[Dr]/E[Dw]越小，b*下降越快.這個結果說明，當提出預約請求的常規(guī)患者數(shù)量遠高于到達醫(yī)院的未預約患者數(shù)量時(例如，E[Dr]/E[Dw]=8∶1)，無論提出預約請求的常規(guī)患者數(shù)量如何變化，醫(yī)院都應該把可用能力全部分配給預約患者，以減少拒絕預約患者請求給醫(yī)院帶來的負面影響；當提出預約請求的常規(guī)患者數(shù)量低于到達醫(yī)院的未預約患者數(shù)量時(例如，E[Dr]/E[Dw]=1∶3)，即提出預約請求的常規(guī)患者數(shù)量較少時，醫(yī)院應該按照一定參數(shù)分配適量檢查能力給預約患者，再將其余的檢查能力分配給未預約患者，以保證滿足當天未預約患者的高服務需求.

圖和E[Dr]對能力分配方案的影響

圖和對能力分配方案的影響

5 結 語

一些醫(yī)院的常規(guī)醫(yī)療檢查由于同時為預約和未預約常規(guī)患者提供服務而引發(fā)擁堵，而服務于急診患者的醫(yī)療檢查設備利用率低.本文針對這一現(xiàn)狀，將處于空閑狀態(tài)下的急診醫(yī)療檢查作為臨時服務加入到常規(guī)檢查，在考慮預約、未預約常規(guī)患者且增加臨時服務能力的情形下，提出并求解醫(yī)療檢查預約能力分配模型.通過分析期望收益模型的結構性質，證明了存在對應于提前預約常規(guī)患者的最優(yōu)預約限額，給出了求解最優(yōu)預約限額滿足的條件.實驗結果表明，最優(yōu)預約限額隨著拒絕預約請求成本的減小、未預約請求成本的增大而減??；同時，最優(yōu)預約限額受到達醫(yī)院的未預約患者數(shù)量和臨時服務能力加入的期望影響較大.與已有的醫(yī)療檢查能力分配情景不同的是，本文考慮的檢查能力分配方案考慮了隨機到達醫(yī)院的未預約患者并加入了臨時服務能力，這樣可以有效緩解系統(tǒng)擁堵，減少調度工作量，提高醫(yī)療檢查設備整體利用率.本文為同時考慮預約和未預約患者的醫(yī)療檢查預約能力配置提供了理論依據(jù)和支撐，對于醫(yī)療檢查的日?？茖W管理有一定的指導作用.