基于海洋捕食者算法和ELM的空氣質(zhì)量指數(shù)預(yù)測(cè) *

龔 榮，謝寧新，李德倫，洪麗啦

（廣西民族大學(xué) a.人工智能學(xué)院，b.電子信息學(xué)院，廣西 南寧 530006）

0 引言

隨著經(jīng)濟(jì)快速發(fā)展，城市工業(yè)和城鎮(zhèn)化排放的大量污染氣體造成嚴(yán)重的空氣污染。空氣污染對(duì)人類健康的危害逐日遞增，環(huán)保部門逐漸重視空氣質(zhì)量監(jiān)測(cè)，并實(shí)時(shí)發(fā)布監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)。為增強(qiáng)空氣質(zhì)量預(yù)警能力和提高預(yù)警的精確度，學(xué)者們提出了多種空氣質(zhì)量指數(shù)（Air Quality Index，AQI）預(yù)測(cè)模型。精準(zhǔn)的預(yù)測(cè)模型能夠有效改善城市人民的生活，更是有效治理城市大氣污染的突破口之一?？諝赓|(zhì)量指數(shù)通常反映了空氣污染的變化趨勢(shì)，可為空氣污染治理措施提供數(shù)據(jù)支撐。由于AQI的復(fù)雜性和非線性等原因?qū)е骂A(yù)測(cè)精度低、穩(wěn)定性差。［1］

目前，學(xué)者提出了多種模型來(lái)預(yù)測(cè)空氣質(zhì)量指數(shù)，主要有時(shí)間序列模型、回歸統(tǒng)計(jì)模型、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型［2］、組合預(yù)測(cè)模型［3］、機(jī)器學(xué)習(xí)預(yù)測(cè)模型［4］以及人工智能模型［5］等。這些模型在預(yù)測(cè)空氣質(zhì)量指數(shù)上都各有優(yōu)勢(shì)和不足。神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型在處理非線性問(wèn)題中表現(xiàn)良好的性能，引起學(xué)者的廣泛關(guān)注。張辰等人［6］提出深度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測(cè)空氣質(zhì)量，在一定程度上提高了預(yù)測(cè)準(zhǔn)確性，但預(yù)測(cè)模型在訓(xùn)練大量數(shù)據(jù)過(guò)程中需要耗費(fèi)較多的時(shí)間。張旭等人［7］運(yùn)用粒子群算法和遺傳算法優(yōu)化BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測(cè)PM2.5濃度，較單獨(dú)使用BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測(cè)具有更強(qiáng)的性能。但BP網(wǎng)絡(luò)的反向傳播更新參數(shù)過(guò)程中存在訓(xùn)練速度慢、訓(xùn)練過(guò)程比較復(fù)雜等問(wèn)題。

極限學(xué)習(xí)機(jī)（Extreme Learning Machine，ELM）［8］是Huang等人基于廣義逆矩陣?yán)碚撎岢龅囊环N神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，該方法能夠在極短時(shí)間內(nèi)快速獲得較好的泛化能力，且能夠避免神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)因訓(xùn)練網(wǎng)絡(luò)而產(chǎn)生的耗時(shí)問(wèn)題。周伯榮等人［9］將ELM用于短時(shí)交通流預(yù)測(cè)，比其他模型耗時(shí)更少。ELM預(yù)測(cè)模型通常采取隨機(jī)生成輸入權(quán)重和偏置，從而導(dǎo)致了預(yù)測(cè)精度不高。針對(duì)這個(gè)問(wèn)題，學(xué)者們運(yùn)用優(yōu)化算法的強(qiáng)大優(yōu)化能力優(yōu)化ELM的參數(shù)，鄭皓天等人［10］將粒子群算法和ELM結(jié)合運(yùn)用在火災(zāi)探測(cè)模型中，提高了火災(zāi)探測(cè)能力；汪慧陽(yáng)等人［11］將遺傳算法和ELM結(jié)合用于通信干擾評(píng)估，相比傳統(tǒng)方法具有更優(yōu)的評(píng)估結(jié)果。隨著對(duì)優(yōu)化算法的深入研究，學(xué)者提出了一系列優(yōu)化能力更強(qiáng)的優(yōu)化算法。其中海洋捕食者算法（Marine Predator Algorithm，MPA）［12］同其他算法相比具有更好的優(yōu)化能力，該算法是由Faramarzi等人提出的一種新的元啟發(fā)式算法。MPA在解決實(shí)際問(wèn)題中展現(xiàn)出了較好的優(yōu)化能力，但仍然存在優(yōu)化能力不足的問(wèn)題。

為了提升MPA的性能，本文提出了一系列改進(jìn)方法來(lái)提高算法優(yōu)化能力。首先在MPA中通過(guò)隨機(jī)生成初始種群，使得初始解在搜索空間分布不均，導(dǎo)致初始種群多樣性不足。本文運(yùn)用準(zhǔn)反射學(xué)習(xí)策略對(duì)MPA種群進(jìn)行初始化，增強(qiáng)算法種群的多樣性，提升算法的探索能力。其次MPA的全局搜索能力不足，本文使用柯西擾動(dòng)思想降低算法陷入局部桎梏的可能，在一定程度上能夠提升算法的全局搜索能力。由于MPA算法在迭代過(guò)程中部分維度還未達(dá)到最優(yōu)，本文通過(guò)縱橫交叉策略實(shí)現(xiàn)對(duì)維度間的學(xué)習(xí)，進(jìn)一步提升搜索精度。最后將改進(jìn)后的算法優(yōu)化ELM的參數(shù)，構(gòu)建了一種IMPA-ELM模型用于空氣質(zhì)量指數(shù)預(yù)測(cè)。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明本文所提IMPA-ELM模型在空氣質(zhì)量指數(shù)預(yù)測(cè)方面具有較高的精度和可靠性。

1 研究方法

1.1 海洋捕食者算法

MPA的靈感來(lái)源于海洋生物的萊維運(yùn)動(dòng)和布朗運(yùn)動(dòng)捕食策略，以及捕食者和獵物之間的最佳遭遇策略。MPA也是一種基于種群的優(yōu)化算法，若種群數(shù)量為n并且個(gè)體維度為d，則用公式（1）表示初始種群。

公式（1）中，Xij表示第i個(gè)個(gè)體在第j維上的值，i∈[0，n]，j∈[0，d]。Xmin和Xmax分別表示搜索空間的下界和上界。

MPA中的精英矩陣和獵物矩陣，分別用公式（2）、公式（3）表示：

公式（2）中，XI表示精英捕食者向量，精英矩陣是由該向量復(fù)制n次而構(gòu)建。MPA的優(yōu)化過(guò)程是根據(jù)不同的速度比分為3個(gè)階段。第1階段：高速比階段（v≥10），該階段發(fā)生在迭代前期。該階段主要進(jìn)行勘探行為，其位置更新如下：

在上述公式中，表示服從布朗運(yùn)動(dòng)的隨機(jī)數(shù)向量。P=0.5是一個(gè)常數(shù)，∈(0，1)是一個(gè)均勻分布的隨機(jī)向量。

第2階段：?jiǎn)挝凰俣缺入A段（v=1），該階段發(fā)生在迭代中期。該階段表示種群從勘探到開(kāi)發(fā)的過(guò)渡，此時(shí)整個(gè)種群被劃分為兩個(gè)部分，其中一部分負(fù)責(zé)勘探，另一部分負(fù)責(zé)開(kāi)發(fā)。其位置更新如下：

在上述公式中，表示萊維分布的隨機(jī)數(shù)向量；CF表示移動(dòng)步長(zhǎng)。

第3階段：低速比階段（v=0.1），該階段發(fā)生在迭代后期。該階段主要負(fù)責(zé)開(kāi)發(fā)。其位置更新如下：

MPA中考慮到捕食環(huán)境變化對(duì)捕食者的影響，此階段的位置更新所示：

公式（13）中，F(xiàn)ADs=0.2表示受捕食環(huán)境變化影響的概率，U→是一個(gè)只包含0和1的二進(jìn)制向量。r是[0，1]中的均勻隨機(jī)數(shù)表示種群中兩個(gè)不重復(fù)的隨機(jī)個(gè)體。

1.2 極限學(xué)習(xí)機(jī)

極限學(xué)習(xí)機(jī)是一種單隱層前饋神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（Single-hidden Layer Feedforward Neural Network，SLFNs）［8］。極限學(xué)習(xí)機(jī)不需要像BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中通過(guò)反向傳播訓(xùn)練使誤差降低。所以ELM不僅能減少預(yù)測(cè)模型的運(yùn)算量，并且該模型的學(xué)習(xí)效率高、泛化能力強(qiáng)。

極限學(xué)習(xí)機(jī)由輸入層、隱藏層、輸出層組成。假設(shè)有N個(gè)樣本數(shù)據(jù)為1，2，3，…，N}，若具有L個(gè)隱藏層神經(jīng)元，激活函數(shù)為g( ? )，則輸出層的輸出結(jié)果可用下式表示：

在ELM模型中，ω和b的值是隨機(jī)生成的，而參數(shù)β則需要計(jì)算，因此ELM模型的主要任務(wù)是對(duì)參數(shù)β的計(jì)算。而在模型訓(xùn)練過(guò)程中，其輸出結(jié)果表示為：

公式（15）中，H為隱藏層節(jié)點(diǎn)的輸出，β為輸出權(quán)重，T為輸出層節(jié)點(diǎn)的期望輸出。其H，β，T用矩陣分別表示為：

為了能夠在模型訓(xùn)練結(jié)束后，期望訓(xùn)練的結(jié)果最大程度接近真實(shí)值，只需要ELM模型滿足公式（18）即可。

公式（18）通過(guò)數(shù)學(xué)方法可以求出：

其中，H+為矩陣H的Moore-Penrose廣義逆。

2 改進(jìn)的海洋捕食者算法

2.1 準(zhǔn)反射學(xué)習(xí)初始化種群

在MPA中種群的初始化是隨機(jī)生成的。這種方式使得初始解在搜索空間分布不均，導(dǎo)致初始種群多樣性不足。因此本文提出準(zhǔn)反射學(xué)習(xí)（quasi-reflection-based learning，QRBL）［13］初始化種群來(lái)增強(qiáng)MPA初始種群的多樣性，提升算法的探索能力。

準(zhǔn)反射學(xué)習(xí)也稱擬反射學(xué)習(xí)，是反向?qū)W習(xí)（opposition-based learning， OBL）的一種變體。文獻(xiàn)［14］表明準(zhǔn)反射學(xué)習(xí)比反向?qū)W習(xí)更可能接近全局最優(yōu)解。定義1和定義2給出了準(zhǔn)反射學(xué)習(xí)的概念。

定義1若x為實(shí)數(shù)并且x∈[a，b]，那么x的準(zhǔn)反射數(shù)可表示為xˉqr=rand((a+b)/2，x)，其中rand()表示服從均勻分布的隨機(jī)數(shù)。

定 義2若P={x1，x2，…，xn}為 一 個(gè)n維 向 量 空 間 的 點(diǎn)，其 中x1，x2，…，xn都 為 實(shí) 數(shù) 且xi∈[a，b]，?i∈{1，2，…，n}。則P的 準(zhǔn) 反 射 點(diǎn)，其 中可 表 示 為，而rand((ai+bi)/2，xi)表示在(ai+bi)/2與xi之間均勻分布的隨機(jī)點(diǎn)。

準(zhǔn)反射學(xué)習(xí)引入到MPA中的種群初始化階段生成初始種群的具體步驟為：假設(shè)算法初始種群數(shù)量為n，首先通過(guò)隨機(jī)策略生成n個(gè)個(gè)體，再用準(zhǔn)反射學(xué)習(xí)方法生成n個(gè)個(gè)體。然后計(jì)算適應(yīng)度函數(shù)值，根據(jù)適應(yīng)度函數(shù)值選擇最優(yōu)個(gè)體，這種方法能夠有效地遍歷搜索空間，一定程度上能夠增加找到全局最優(yōu)解的概率。

2.2 柯西變異擾動(dòng)個(gè)體思想

柯西變異［15］來(lái)源于柯西分布，一維標(biāo)準(zhǔn)柯西分布的概率密度函數(shù)表達(dá)式為：

圖1為兩種常見(jiàn)分布的概率密度函數(shù)曲線，從圖1可以看出柯西分布兩端更扁平，趨近于0的趨勢(shì)更平緩，速度更緩慢，并在原點(diǎn)附近的峰值小于高斯分布。本文將柯西變異引入MPA的位置更新中，發(fā)揮其擾動(dòng)能力，能夠在一定程度上提升算法的全局尋優(yōu)能力?；诳挛髯儺惖奈恢酶路绞綖椋?/p>

圖1 標(biāo)準(zhǔn)高斯分布、柯西分布概率密度函數(shù)曲線

公式（21）中，Cauchy表示服從柯西分布的柯西算子，Xi為當(dāng)前獵物的位置，Xnewi為柯西擾動(dòng)后獵物的位置。

2.3 縱橫交叉學(xué)習(xí)策略

MPA算法在迭代過(guò)程中，尤其是在迭代后期過(guò)程中，個(gè)體同化程度逐漸升高，某些個(gè)體的部分維度未達(dá)到最優(yōu)，導(dǎo)致了這些個(gè)體的適應(yīng)度差。因此在FADs影響后的種群中引入縱橫交叉策略［16-17］對(duì)種群個(gè)體進(jìn)行修正，該策略能夠加快算法的收斂速度，提高算法的精度。

2.3.1 水平交叉

水平交叉是指對(duì)兩個(gè)不同的個(gè)體在所有維度上進(jìn)行算術(shù)交叉，使得不同個(gè)體之間能夠相互學(xué)習(xí)，增強(qiáng)搜索能力。在執(zhí)行水平交叉時(shí)，將設(shè)置兩兩不重復(fù)的父代個(gè)體X(i)和X(j)，并且以交叉概率p1進(jìn)行算術(shù)交叉，通常設(shè)置p1=1。父代交叉通過(guò)公式（22）、（23）產(chǎn)生子代個(gè)體：

公式（22）、（23）中，r1、r2均為[0，1]之間的隨機(jī)數(shù)；c1、c2均為[-1，1]之間的隨機(jī)數(shù)；X(i，d)、X(j，d)分別表示為第d維的父代X(i)和X(j)分別表示為父代X(i)、X(j)在第d維交叉后產(chǎn)生的子代。生成的子代個(gè)體與父代個(gè)體進(jìn)行競(jìng)爭(zhēng)，最終保留最優(yōu)個(gè)體。

2.3.2 垂直交叉

垂直交叉是指兩個(gè)不同維度之間對(duì)所有個(gè)體進(jìn)行算術(shù)交叉。在迭代過(guò)程中，垂直交叉搜索的父種群是來(lái)自水平交叉的優(yōu)勢(shì)種群，這就能夠防止種群陷入局部最優(yōu)。垂直交叉只產(chǎn)生一個(gè)子代個(gè)體，為停滯維度提供跳出局部最優(yōu)的機(jī)會(huì)，而不會(huì)破壞另一個(gè)可能是全局最優(yōu)的維度。假設(shè)對(duì)個(gè)體i的第d1維和d2維進(jìn)行垂直交叉，子代個(gè)體可通過(guò)公式（24）得到：

2.4 算法流程圖

基于上述分析，改進(jìn)后的海洋捕食者算法流程圖如圖2所示。

圖2 改進(jìn)后的海洋捕食者算法流程圖

3 基于IMPA-ELM的空氣質(zhì)量指數(shù)預(yù)測(cè)方法

ELM中輸入權(quán)重和偏置這兩個(gè)參數(shù)具有不確性，導(dǎo)致ELM預(yù)測(cè)出現(xiàn)精度低的問(wèn)題。為解決該問(wèn)題，本文利用IMPA對(duì)ELM的輸入權(quán)重和偏置這兩個(gè)參數(shù)優(yōu)化，從而建立IMPA-ELM模型并將應(yīng)用到空氣質(zhì)量指數(shù)預(yù)測(cè)中。

在建立預(yù)測(cè)模型中首先需要對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行歸一化處理。歸一化處理便于消除量綱差異對(duì)預(yù)測(cè)結(jié)果的干擾，能夠加快程序收斂速度。歸一化公式如公式（25）所示：

其中，X為歸一化后的數(shù)據(jù)，x為原始數(shù)據(jù)，xmin、xmax分別代表原始數(shù)據(jù)中的最小值和最大值。

基于IMPA-ELM的空氣質(zhì)量指數(shù)預(yù)測(cè)流程圖如圖3所示。

圖3 IMPA-ELM模型預(yù)測(cè)流程圖

4 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析

為驗(yàn)證本文所提方法的有效性，本文使用的數(shù)據(jù)來(lái)自華為杯第十八屆中國(guó)研究生數(shù)學(xué)建模提供的數(shù)據(jù)。該數(shù)據(jù)集提供了從2019年4月16日至2021年7月12日的6種污染物，包括SO2、NO2、O3、CO、PM2.5、PM10的監(jiān)測(cè)濃度。由于受監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)權(quán)限和監(jiān)測(cè)設(shè)備功能限制，部分污染物監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)缺失，經(jīng)過(guò)分析所給數(shù)據(jù)的關(guān)聯(lián)性，利用各污染物的日均值對(duì)數(shù)據(jù)的缺失值進(jìn)行填充。在應(yīng)用預(yù)測(cè)算法前，應(yīng)將數(shù)據(jù)集中的異常值作為噪聲去除，否則預(yù)測(cè)結(jié)果會(huì)出現(xiàn)較大的誤差。經(jīng)過(guò)處理后的數(shù)據(jù)集的各項(xiàng)統(tǒng)計(jì)指標(biāo)如表1所示。本文按照大約8∶2的比例劃分訓(xùn)練集和測(cè)試集，選取2019年4月16日至2021年3月15日的數(shù)據(jù)作為訓(xùn)練集，選取2021年3月16日至2021年7月12日的數(shù)據(jù)作為測(cè)試集。實(shí)驗(yàn)環(huán)境是在操作系統(tǒng)為Windows 11、處理器為Intel Core i7 2.90 GHz、內(nèi)存為16 GB和MATLAB R2014b上完成的。

表1 各項(xiàng)數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)指標(biāo)

為了定量評(píng)估所提模型的預(yù)測(cè)性能，本文采用表2所示的3個(gè)指標(biāo)對(duì)不同模型的預(yù)測(cè)結(jié)果進(jìn)行比較。這3個(gè)指標(biāo)主要衡量了預(yù)測(cè)值和真實(shí)值之間的偏差，反映了模型的預(yù)測(cè)精度，其值越小則表明模型預(yù)測(cè)精度越高。

表2 三種評(píng)估指標(biāo)

為了比較所提出的IMPA-ELM預(yù)測(cè)模型的有效性，本文將粒子群算法（Particle Swarm Optimization，PSO）［18］、鯨魚優(yōu)化算法（Whale Optimization Algorithm，WOA）［19］分別和ELM結(jié)合構(gòu)造了兩種預(yù)測(cè)模型，簡(jiǎn)寫為PSO-ELM和WOA-ELM。同時(shí)也使用ELM作為對(duì)比實(shí)驗(yàn)。為確保實(shí)驗(yàn)的公平性，本文將優(yōu)化算法的種群規(guī)模設(shè)為20，優(yōu)化參數(shù)的搜索范圍設(shè)為[-1，1]，算法的最大迭代次數(shù)設(shè)為100。由于智能算法存在一定的隨機(jī)性，因此本文將每種算法獨(dú)立重復(fù)運(yùn)行10次。此外ELM的隱含層節(jié)點(diǎn)數(shù)設(shè)為100，激活函數(shù)使用sigmoid。在實(shí)驗(yàn)過(guò)程中粒子群算法的相關(guān)參數(shù)設(shè)置為c1=1.495，c2=1.495，ω=1，ωdamp=0.99；鯨魚優(yōu)化算法的相關(guān)參數(shù)設(shè)置為b=1。

為了直觀說(shuō)明IMPA-ELM預(yù)測(cè)模型的效果，圖4給出了四種模型預(yù)測(cè)空氣質(zhì)量指數(shù)的預(yù)測(cè)結(jié)果圖，表3給出了四種模型在預(yù)測(cè)空氣質(zhì)量指數(shù)的預(yù)測(cè)誤差；圖5為對(duì)應(yīng)的直方圖。從表3可以看出在各個(gè)誤差指標(biāo)下誤差最小的是IMPA-ELM模型，表明本文所提的預(yù)測(cè)模型能顯著提升空氣質(zhì)量指數(shù)的預(yù)測(cè)能力；在預(yù)測(cè)誤差上，IMPA-ELM模型的平均RMSE、平均MAE和平均MAPE分別為4.287、2.188、3.933%，和ELM相比，IMPA-ELM的三種誤差平均值分別降低了30.78%、40.98%、43.84%；和PSO-ELM模型相比，IMPAELM模型的誤差分別降低了34.35%、18.11%、11.38%；和WOA-ELM模型相比，IMPA-ELM模型的誤差分別降低了32.55%、20.35%、16.50%。

表3 四種模型的平均預(yù)測(cè)誤差

從圖4可以看出IMPA-ELM模型在預(yù)測(cè)中能體現(xiàn)出更好的效果，相比其他幾種預(yù)測(cè)模型在部分單點(diǎn)處的預(yù)測(cè)效果更好，這說(shuō)明IMPA-ELM模型的泛化能力更好，能實(shí)現(xiàn)較高的擬合精度。圖5表明IMPA-ELM模型在空氣質(zhì)量指數(shù)預(yù)測(cè)問(wèn)題上和其他模型相比具有明顯的優(yōu)勢(shì)，而PSO和WOA優(yōu)化的ELM模型在預(yù)測(cè)中泛化能力差，導(dǎo)致RMSE高于ELM預(yù)測(cè)結(jié)果。表明IMPA算法可以進(jìn)一步提高全局搜索能力，能有效優(yōu)化ELM的權(quán)重和偏置。

圖4 四種模型的空氣質(zhì)量指數(shù)預(yù)測(cè)值與真實(shí)值的比較

圖5 四種模型的平均預(yù)測(cè)誤差對(duì)比圖

5 結(jié)語(yǔ)

本文針對(duì)ELM預(yù)測(cè)過(guò)程中輸入層到隱藏層權(quán)重和偏置隨機(jī)初始化導(dǎo)致預(yù)測(cè)結(jié)果精度不高的問(wèn)題，提出了IMPA-ELM的預(yù)測(cè)模型。利用改進(jìn)后的海洋捕食者算法優(yōu)化ELM的權(quán)重和偏置，將優(yōu)化后的ELM模型用于空氣質(zhì)量指數(shù)預(yù)測(cè)。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，本文所提出的預(yù)測(cè)方法相對(duì)于其他幾種預(yù)測(cè)方法在預(yù)測(cè)精度和可靠性方面更具有優(yōu)勢(shì)。