再論“反求”“易率”“還原”“回求”之異同 *

王鑫義，郭世榮

（內(nèi)蒙古師范大學(xué) 科學(xué)技術(shù)史研究院，內(nèi)蒙古 呼和浩特 010022）

“反求”“易率法”“還原術(shù)”和“級數(shù)回求”是清代“杜氏三術(shù)”傳入后中算家進(jìn)行級數(shù)互求的重要方法，很好地解決了弦矢弧之間的互求問題，并為直觀經(jīng)驗(yàn)所不能解決的問題創(chuàng)造了極為便利的條件。明安圖（1692？-1765？）、董祐誠（1791-1823）、項(xiàng)名達(dá)（1789-1850）、戴煦（1805-1860）、徐有壬（1800-1860）、李善蘭（1811-1882）等中算家在各自的著作中對這些方法均有介紹。1873年，左潛（？-1874）的《綴術(shù)釋明》和徐有壬的《割圓八線綴術(shù)》對這些方法的定義及其之間的關(guān)系有所介紹。可以說，左潛是研究割圓級數(shù)的中算家中較早對此問題進(jìn)行詳細(xì)介紹的關(guān)鍵人物。

此 外，李 儼（1892-1963）［1］、何 紹 庚（1939-2021）［2］、羅 見 今［3］、特 古 斯［4-5］、郭 世榮［6］、王榮彬［7］、甘向陽［8-9］、孫力［10］等對四種方法之關(guān)系亦有論述，其中，尤以特古斯的研究用力頗深，見解獨(dú)到。他們大多把運(yùn)算步驟詮釋成代數(shù)公式，使之與“級數(shù)反演”的聯(lián)系清晰顯見，這無疑是很實(shí)用的手段，但忽略了諸多細(xì)微之處。以下先就前人觀點(diǎn)撮述如下。

1 論點(diǎn)摘編

左潛在《割圓八線綴術(shù)》序中說：“所謂‘還原術(shù)’，即明氏弧背求正矢，又以正矢求弧背之法也。所謂‘商除法’，又即‘還原術(shù)’之變法?！保?1］學(xué)界對左潛的這一解釋持有不同觀點(diǎn)。李儼認(rèn)為：“已知弧背求通弦率數(shù)法，再由通弦求弧背率數(shù)法，李善蘭稱為‘級數(shù)回求’，徐有壬稱為‘還原術(shù)’。”［1］331這表明“級數(shù)回求”即為“還原術(shù)”。何紹庚認(rèn)為：“‘反求’即‘級數(shù)回求’，只是后者的表述方式不同，‘反求’問題與反函數(shù)問題是完全一致的?！保?］同樣的，羅見今認(rèn)為：“明安圖‘反求’的思路屬于無窮級數(shù)求反函數(shù)，使用了‘級數(shù)回求法’?！保?］232韓琦也提到：“‘級數(shù)回求’是級數(shù)‘反演’的一項(xiàng)方法，明安圖最先探討了‘級數(shù)回求’。”［12］32事實(shí)上，在《割圓密率捷法》中尚無明確的“級數(shù)”概念，“級數(shù)”這一術(shù)語由李善蘭首創(chuàng)，“級數(shù)”的使用，體現(xiàn)了李善蘭對無窮和變量的認(rèn)識。

進(jìn)一步，郭世榮得出：“‘還原術(shù)’即‘級數(shù)反演’，或稱‘易率術(shù)’或‘級數(shù)回求’?！保?］666甘向陽也認(rèn)為：“董祐誠的‘反求’與明安圖的‘級數(shù)回求法’基本相同，‘還原術(shù)’即明安圖的‘回求法’，戴煦亦采用過明安圖的‘級數(shù)回求法’。”［9］2他們將四種方法視為同類，但未結(jié)合原文中的具體問題展開分析和說明。

王榮彬就前人的相關(guān)研究予以評述。［7］王渝生認(rèn)為李善蘭是以有限步驟經(jīng)歸納方法反求冪級數(shù)。［13］孫力則指出：“‘還原術(shù)’類似‘消元法’，左潛認(rèn)為‘比例商除法’為‘還原術(shù)之變法’似應(yīng)有誤。”［10］72特古斯則把“還原術(shù)”和“易率法”視為“明安圖變換”的不同表現(xiàn)形式，［4］36認(rèn)為“易率法”是“級數(shù)回求法”的推廣，［4］32“級數(shù)回求法”即“還原術(shù)”，［4］36而“還原術(shù)”是“易率法”的一個(gè)特例［5］。特古斯的研究對于理解中算家的各種方法的本質(zhì)來說無疑是重要的，但就其中的細(xì)節(jié)論述不多。

另外，臺灣地區(qū)的學(xué)者對這一問題也有探索。何嘉祥認(rèn)為：“‘易率法’和‘級數(shù)回求’有很多相似之處，但又有較大差別?！保?4］131同時(shí)，他指出項(xiàng)名達(dá)使用“易率法”時(shí)用到了“長除法”，還用現(xiàn)在的數(shù)學(xué)知識揭示了幾種方法的本質(zhì)區(qū)別。阮錫琦的觀點(diǎn)［15］與孫力的觀點(diǎn)一致。

上述各家觀點(diǎn)大體可概括為相同與相異，前者注重尋求古今方法的相通之處，忽略了方法的實(shí)施和細(xì)節(jié)的處理；后者以特古斯的觀點(diǎn)為代表，把對數(shù)列、多項(xiàng)式的研究轉(zhuǎn)化為對函數(shù)的研究，引用函數(shù)論的有關(guān)知識，從而獲得幾種方法之關(guān)系。

2 原文中的表述與操作

以下，筆者考察中算家的具體操作與思路，并對相關(guān)問題進(jìn)行分析，從而說明各方法之間的異同之處。

明安圖在《割圓密率捷法》中首創(chuàng)獨(dú)特的割圓級數(shù)來表示法的來源與基礎(chǔ)，可概括為割圓術(shù)幾何方法的拓展、連比例關(guān)系的構(gòu)造和《數(shù)理精蘊(yùn)》相關(guān)內(nèi)容的吸收。［16］如在卷三的“反求”問題中，由弧長求通弦公式“反求”得到通弦求弧長公式，而通弦的率數(shù)由弧長得來，弧長的率數(shù)又是根據(jù)通弦的率數(shù)確定的。已得到的各率系數(shù)分母都具有相同的形式，有一定的規(guī)律可循，而在已知通弦求弧長的問題中，所得的各率系數(shù)分子中有奇零、不盡的，出現(xiàn)這樣的情形就用分?jǐn)?shù)來表示①①這是由于明安圖“規(guī)定分母，調(diào)整分子”所引起的，左潛則在《綴術(shù)釋明》中以徐氏“綴術(shù)”改進(jìn)了此問題，從而避免了奇零得數(shù)的出現(xiàn)。。原文中的操作為：將又二率各數(shù)重復(fù)列為上下兩行，各率數(shù)橫列七項(xiàng)，上下對齊，用下行各數(shù)自右向左依次遍乘上行，乘得的率數(shù)依次降位，十六率后省去不用，再將乘得的各率系數(shù)分別相加，可依次得到又六、八……十六率各率數(shù)的表達(dá)式。［17］914-915這一過程可簡述為：先通過已求得的又二率自乘，將自乘后的結(jié)果作為以后求各率數(shù)的基礎(chǔ)，進(jìn)而去求后面的各率數(shù)。同時(shí)，規(guī)定分母，調(diào)整分子，絕大部分需要重新調(diào)整系數(shù)分母，即明氏所說的“通之，使其同母”，調(diào)整后不僅同率項(xiàng)相消方便了運(yùn)算，而且使得用帶分?jǐn)?shù)表示的系數(shù)分子化為了整數(shù)。

董祐誠在《割圓連比例術(shù)圖解》中稱：“弦矢求弧即弧求弦矢之還原”，他首先使用了“還原”一詞。以連比例四率法，在“垛積還原”這一方法的啟發(fā)下，董氏獨(dú)立地給出“級數(shù)回求”的方法，從而成功地解決了弦矢求弧問題。［18］他的“還原”與明安圖的“反求”，在運(yùn)算方法上大體相同，在具體運(yùn)算時(shí)，尋求不變量或規(guī)律來求其他各項(xiàng)，不同的是董氏建基于垛積術(shù)，以遞加數(shù)來解釋各率系數(shù)。

由于“零分起度弦矢率”中的第一、第二形腰部分在圓外，與“整分起度弦矢率”有所不同，項(xiàng)名達(dá)引入了“借率法”和“易率法”，兩種方法經(jīng)常配合使用。雖然可以透過“借率法”把所要求的用率表示出來，但在求弦矢率時(shí)，二率皆是由本弧通弦表示，需通過轉(zhuǎn)換，即“易率法”。“易率法”可以分成兩個(gè)步驟，先是“用率”，后是“定率”。所謂“易率法”是將“本率”（所求率）轉(zhuǎn)化為與其相等（相當(dāng)率）的“借率”（已知率）來求解，簡單來說，是將所求諸率用“借率法”所得諸率來代換成新的級數(shù)展開式的方法?！氨韭省奔础八舐省保敖杪省奔础耙阎省?，本率各率數(shù)為奇數(shù)時(shí)，與之對應(yīng)的借率各率數(shù)均為奇數(shù)。固定了本率、借率各率數(shù)的位置后，只記系數(shù)，寄其分母，僅調(diào)整它們的分子。為能消去同率項(xiàng)，各率系數(shù)的分子、分母均做了調(diào)整，在運(yùn)算時(shí)更利于相消?！耙茁史ā睖贤恕敖杪省迸c“本率”，要得到第一形腰的“易率式”，需用各“本率”代換各率，即用已知率代替所求率。由于各率系數(shù)不同，需要調(diào)整所求率和已知率的各率系數(shù)，項(xiàng)名達(dá)將調(diào)整系數(shù)后的各率稱為“定率”。戴煦給“定率”所作的注解為“易借率為本率”。這里包含了多項(xiàng)式的自乘、除法（分母為單項(xiàng)式，即一率），級數(shù)的自乘、除法（一率除之，即降一率），但原圖中都省去了相關(guān)的計(jì)算過程，直接給出了最后的計(jì)算結(jié)果。

《外切密率》中，戴煦先用一推演總圖，再用細(xì)分的圖表，附以文字?jǐn)⑹龈髀史值摹胺肿映朔ā币约啊胺帜赋ā钡倪f推規(guī)則，從“余弧求切線”開始，還涉及“改率”和“添分母”的問題。因?yàn)椤皩?shí)”與“法”中均為齊次多項(xiàng)式，無法進(jìn)行商除運(yùn)算，本質(zhì)是多項(xiàng)式的恒等變換。在“割線求半弧”中，“添分母”相當(dāng)于“擴(kuò)分”，［19］本意為“不可失本數(shù)”，不改變原分?jǐn)?shù)的值?！疤矸帜浮钡囊饬x在于，不僅便于遞求分母與分子，而且可使各率分子的變化規(guī)律明顯可見。在“割線求本弧”等問題中，本可利用“還原法”，只需要取“本弧求割線半徑差，率分倍之，命為連比例三率，以半徑為一率，依法求得五、七、九等率”［20］。但“分子之 所 由 來 究 不 可 見”，［20］通 過“變易之”（相當(dāng)于“代換法”）所求的各率分?jǐn)?shù)的分子變化規(guī)律顯然可見。對于各率分?jǐn)?shù)的分子為單一的情形，分別相乘后，新的各率分?jǐn)?shù)的分子就不會繁雜。戴煦采用“還原法”，若不用“還原法”，則至少要分為三個(gè)步驟①①其中包含商除運(yùn)算和整體代入，代入的對象至少為多項(xiàng)式，運(yùn)算量較大。；按“還原法”來計(jì)算，減少了運(yùn)算量，計(jì)算更簡捷。顯然，戴煦在這里只是為了考慮各率系數(shù)分子的變化規(guī)律而不用“還原法”，并未考慮計(jì)算的復(fù)雜度問題。同時(shí)，也說明戴煦在尋求“立法之原”時(shí)，更多的是著力于對各率系數(shù)的分子、分母變化規(guī)律的歸納與總結(jié)。

在《割圓八線綴術(shù)》中，徐有壬所稱的“首層率數(shù)”指第一項(xiàng)，先將第一項(xiàng)的系數(shù)化為整數(shù)，以“算式”表示級數(shù)展開式各項(xiàng)，所得的結(jié)果為第一率式，列出比例式，用“比例法”求解其他各率式，對于分母不統(tǒng)一的先通分，最后通過加減相消得到所求率式。李善蘭在《級數(shù)回求》中利用“新”的表示方法，舉出具體的算例，目的是通過對具體算例的推演，使之成為“一切級數(shù)互求之準(zhǔn)繩”。用“⊥”和“ㄒ”分別表示“+（加）”和“-（減）”，分式的分子、分母和現(xiàn)今的分子、分母在形式上正好相反。其“回求”的方法與明安圖的“反求”、徐有壬的“還原術(shù)”等大體一致：先將原率式自乘，再用“比例法”求得其他各率式，最后通過加減相消，使所求率式僅留第一項(xiàng)。

3 異同分析

從表達(dá)方式來看：明安圖進(jìn)行“反求”時(shí)以借根方入算，保留了具體過程。董祐誠運(yùn)用“垛積還原”時(shí)引入的遞加數(shù)是用賈憲三角的各行數(shù)字來解釋與弦矢各率系數(shù)的對應(yīng)關(guān)系。而項(xiàng)名達(dá)在遞加數(shù)的基礎(chǔ)上引入了遞加圖，相當(dāng)于給出了二項(xiàng)式定理的系數(shù)表。徐有壬研讀了《四元玉鑒》后，透過四元術(shù)創(chuàng)造了“綴術(shù)”。戴煦為《四元玉鑒》補(bǔ)細(xì)草，用天元術(shù)表達(dá)各率分?jǐn)?shù)。李善蘭早期研究四元術(shù)，在《弧矢啟秘》中雖然使用“尖錐術(shù)”，但是用天元術(shù)表達(dá)相關(guān)算式；在《級數(shù)回求》中，他已擺脫前人窠臼，改變了原來的表示法，不再依賴于中算傳統(tǒng)下的“位置模式”。天元術(shù)中的籌式是一種取決于位置的有關(guān)多項(xiàng)式的表征方法，在列式時(shí)不需要額外的加號、減號。［21］做除法運(yùn)算時(shí)，天元術(shù)和借根方在位置方面對運(yùn)算的影響最明顯，如徐有壬利用加減差的形式來尋求各項(xiàng)之間的遞推規(guī)律，出現(xiàn)“不受除”的情形，就以“寄分”方式來處理。戴煦、徐有壬等還用多樣的方式來表達(dá)，如戴煦把復(fù)雜的推演步驟細(xì)分為算表。徐有壬則將豎列改為橫列，原豎列的各算式中率數(shù)為單層，即單項(xiàng)式；當(dāng)率數(shù)變?yōu)槎鄬?，即多?xiàng)式的時(shí)候，豎列的方式不便于表達(dá)。左潛則說：“借根方之不能立式，究不如天元一之巧變莫測也?！保?1］他選擇天元術(shù)作為改造《割圓密率捷法》的工具，認(rèn)識到徐氏“綴術(shù)”的使用可以避免明氏創(chuàng)造的公比不同的連比例和“反求”時(shí)帶分?jǐn)?shù)的出現(xiàn)。［22］

從具體操作來看：徐有壬的“還原術(shù)”、戴煦的“還原法”和李善蘭的“級數(shù)回求法”，均與明安圖的“反求法”大體無異，但對細(xì)節(jié)的處理方式不同。明安圖以又三率為保持不變的乘數(shù)，增加了運(yùn)算的次數(shù)，若以每次得到的新率數(shù)為乘數(shù)，會減少運(yùn)算的次數(shù)。從整體結(jié)構(gòu)上來考慮，他是為了便于處理各算式中的分子與分母。而徐有壬的做法與之不同，是為了便于快捷計(jì)算，能夠隨乘隨除。這是因?yàn)橥恍侣蕯?shù)可由不同的率數(shù)相乘得到，如：

徐有壬的“術(shù)”作為一個(gè)公式而單獨(dú)存在，通過“術(shù)”達(dá)到統(tǒng)一和規(guī)范的目的，其重點(diǎn)僅非系數(shù)的推導(dǎo)，而在于各項(xiàng)之間的遞推關(guān)系。“綴術(shù)”的本質(zhì)是以算式和率式為基礎(chǔ)的連綴而成的運(yùn)算方法。戴煦則注重各術(shù)互求的實(shí)現(xiàn)過程，對內(nèi)在算理鮮有說明，似乎把內(nèi)在算理都?xì)w結(jié)為各率分?jǐn)?shù)的分子變化規(guī)律上：對于各率分?jǐn)?shù)的分子均為單一或簡單的情形，采用“還原法”；而對于各率分?jǐn)?shù)的分子量大繁雜的情形，分為幾個(gè)步驟進(jìn)行，再用“變易之”。戴煦所稱的“改率、換率和變易”與項(xiàng)名達(dá)“易率法”中的“用率”大體一致，而“易率法”中的“定率”則為規(guī)定新化解后的率數(shù)的系數(shù)，從而得到該率式的線性組合式。

從計(jì)算思路來看：“級數(shù)反演”是根據(jù)兩個(gè)序列所滿足的特殊關(guān)系，給出它們的相互表示方法。［23］根據(jù)冪級數(shù)的唯一性定理，則先由一冪級數(shù)反轉(zhuǎn)求得另一冪級數(shù)，再用比較系數(shù)法逐步確定反轉(zhuǎn)后冪級數(shù)各項(xiàng)的系數(shù)。［24］實(shí)際上，這里的比較系數(shù)法即為待定系數(shù)法的一種，與中算家所采用的方法有差別。反函數(shù)法不同于中算家的方法，前者是分析的，后者是歸納的；并且四種方法的使用都是在未完全引入變量以前，前者規(guī)定級數(shù)必須收斂，后者則剛好處理的是收斂級數(shù)；前者嚴(yán)格使用無窮小，后者則只是直觀感覺上的無窮小；前者關(guān)注各項(xiàng)系數(shù)的關(guān)系之本質(zhì)，后者關(guān)注各率分?jǐn)?shù)的分子、分母變化規(guī)律?？傮w而言，中算家主要利用不完全歸納方式，著眼于無窮級數(shù)的系數(shù)，以直觀與經(jīng)驗(yàn)尋找規(guī)律性，歸納為一般形式，都以初等運(yùn)算處理，［25］往往通過系數(shù)的排列和遞推等方式實(shí)現(xiàn)，僅給出推演方法，很少含有算理分析與證明。因而，將四種方法等同于“級數(shù)反演”并非完全可行的。

4 結(jié)語

對各方法的異同分析，不可忽略借根方和天元術(shù)的影響，也不能忽視對計(jì)算方法的選擇。中算家借助于借根方或天元術(shù)來表達(dá)級數(shù)，所關(guān)注的焦點(diǎn)已不再是二者之爭，而是提升為問題的分析、規(guī)律的探索和各率系數(shù)分子變化規(guī)律的歸納。這一時(shí)期中算家對于級數(shù)的“反求”，從級數(shù)的自乘與加減相消開始，又與“易率法”等地結(jié)合，再由各率分?jǐn)?shù)分子的繁雜情況來選擇方法，并配合“比例法”等求解，最后給出所謂“級數(shù)回求”的“準(zhǔn)繩”。囿于“位置模式”下沒有變量這一概念，中算家在表達(dá)與解決問題時(shí)受到極大的限制。由此可見，中算家對于同類問題的認(rèn)識是不斷改變的，他們所用的四種方法也并非完全一致，且在實(shí)施算法前對方法的采用是有選擇性的。在級數(shù)互求進(jìn)路上，中算家的核心意圖是不斷向算法的內(nèi)在算理接近，把探尋內(nèi)在原理、簡化演算形式與計(jì)算方法等作為不變的訴求。