空間分數(shù)階Ginzburg-Landau方程的一種塊分裂迭代法 *

宋 巖，凌永輝

（閩南師范大學 數(shù)學與統(tǒng)計學院，福建 漳州 363000）

0 引言

分數(shù)階Ginzburg-Landau方程（FGLE）是從分形介質的變分Euler-Lagrange方程中提出，［1-2］已被用來描述各種物理現(xiàn)象，如具有分形色散的連續(xù)體的動力學過程和具有分形質量維數(shù)的介質［2］。由于分數(shù)階算子的非局部性質常常導致分數(shù)階微分方程的精確解無法得到。因此，數(shù)值方法成為求解分數(shù)階微分方程的重要工具，關于FGLE的數(shù)值方法研究很多，如He等人［3］提出了FGLE的無條件穩(wěn)定線性差分格式，Zhang等人［4］提出了二維FGLE的三層線性差分格式。由于有限差分方程的解析解很少，所以數(shù)值解成為求解有限差分方程的主要方法， 但大多數(shù)分數(shù)階微分方程的數(shù)值解法傾向于生成全系數(shù)矩陣，如何有效地求解分數(shù)階微分方程引起了大家的關注。

1 空間FGLE的離散

考慮如下空間分數(shù)階Ginzburg-Landau方程（FGLE）［1］

取時間步長τ=TN，空間步長h=(b-a)(M+1)，其中N，M是正整數(shù)，記tn=nτ(n=0，1，…，N)，xj=a+jh(j=0，1，…，M+1)，令unj≈u(xj，tn)。通過分數(shù)階中心差分，［5］在有界區(qū)域中將分數(shù)階Laplace算子離散為

對式（1）~（3）的空間FGLE采用三層線性差分格式進行如下離散

則差分格式（4）可改寫為以下矩陣向量形式

其中系數(shù)矩陣

則式（7）的系數(shù)矩陣可改寫為

I表示單位矩陣。根據(jù)系數(shù)ck的性質，可知Toeplitz矩陣T是嚴格對角占優(yōu)矩陣，又Dn+1是非負對角矩陣，所以W和S是對稱矩陣，故系數(shù)矩陣A是對稱矩陣。令H=(1-γτ)I+W，則有許多迭代方法可求解形為(H+iS)u=b的復線性方程組，如MHSS法［6］、PMHSS法［7］、GSOR法［8］、PGSOR法［9］等。然而，這些方法都需要求解系數(shù)矩陣為H，S或H+S的線性方程組，不能保留Toeplitz結構，從而導致分數(shù)階Ginzburg-Landau方程的求解效率不高。

在下一節(jié)中，我們利用系數(shù)矩陣A的結構，對離散線性方程組（7）提出了一種新的分裂方法，并分析了其收斂性。

2 塊分裂迭代法

考慮如下復線性方程組

其中A=(1-γτ)I+W+iS是對稱矩陣，是虛數(shù)單位。通過將復線性方程組轉化為2×2塊線性方程組，并利用塊LU迭代法構造一種新的求解復雜線性方程組（10）的快速迭代方法。

令u=y+iz，b=p+iq，其中y，z，p，q∈RM，則復線性方程組（10）可以等價寫成2×2塊線性方程組

將系數(shù)矩陣A分裂為

則塊分裂迭代法的構造如下

塊分裂迭代法 給定一個初始向量(y(0)T，z(0)T)∈R2M，對于k=0，1，2，…，計算

直到迭代序列{(y(k)T，z(k)T)}∞k=0∈R2M收斂。

由式（13）可以看出，系數(shù)矩陣(1-γτ)I是單位矩陣， 因此在迭代過程中不需要求解矩陣的逆，大大減少了計算量和內存需求。并且塊分裂迭代法是采用矩陣向量乘法求解線性方程組（10）。同時，觀察到S是由對角矩陣和Toeplitz矩陣組成的，所以可以使用快速傅里葉法計算矩陣向量乘法，也可減少計算量。

引理1［3］對于差分格式（4），u(x，t)存在唯一有界解。

定理1根據(jù)式（8）定義的矩陣A，對任意初始向量(y(0)T，z(0)T)∈R2M，當時間步長τ和空間步長h滿足

塊分裂迭代法收斂，其中1<α<2，v>0，κ>0，η>0，ζ>0，γ，C是實常數(shù)。

證明：根據(jù)迭代矩陣

其中W=τvT+τκDn+1，S=τηT+τζDn+1，可得

因此，迭代矩陣L的譜半徑的上界為

根據(jù)圓盤定理［10］和系數(shù)ck的性質有

其中ω是矩陣W的特征值，λ是矩陣S的特征值，化簡可得

再根據(jù)引理1，對于離散格式（4），u(x，t)存在唯一有界解，因此

其中C是常數(shù)，故

由以上可得

因此，當時間步長τ和空間步長h滿足

有ρ(L)<1，即塊分裂迭代法收斂。

3 數(shù)值算例

本節(jié)將通過空間分數(shù)階Ginzburg-Landau方程的算例來比較塊分裂迭代法（記為BS）和MHSS法、PMHSS法、PGSOR法的計算效能。選取初始條件u0=0∈RM，并在每個測試中給出迭代次數(shù)（記為IT）和迭代時間（記為CPU），算法終止的條件是

所有實驗均在CPU 3.60 GHz（Intel（R）Core（TM）i7-4790），RAM 4 GB環(huán)境下進行，MATLAB版本為2013a。

算 例［3］考 慮 定 義 域 為[-10，10]×[0，1]，v=1， η=1， κ=2，ζ=2， γ=1， 1<α<2，且 初 始 條 件 為u(x，0)=exp(-2x2)的分數(shù)階Ginzburg-Landau方程。

從表1和表2的數(shù)值結果可以看出，塊分裂迭代法不僅迭代步驟比MHSS、PMHSS、PGSOR方法少，且CPU時間也是最短的。還發(fā)現(xiàn)塊分裂迭代法可以達到與PGSOR法相同的計算效果，并且塊分裂迭代法的計算效果往往優(yōu)于PGSOR法。如表1中M=4096時，PGSOR法的CPU時間是塊分裂迭代法的4倍多，迭代步驟也是塊分裂迭代法的5倍。因此，可以認為在求解式（1）~（3）的問題上塊分裂迭代法更優(yōu)。

表1 α=1.2的數(shù)值結果

表2 α=1.8的數(shù)值結果