采用動(dòng)態(tài)知識(shí)因子的基于知識(shí)共享的優(yōu)化算法 *

袁 磊，王 勇，2，趙艷玲

（1.廣西民族大學(xué) 人工智能學(xué)院，廣西 南寧 530006；2.廣西混雜計(jì)算與集成電路設(shè)計(jì)分析重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，廣西 南寧 530006）

0 引言

元啟發(fā)式算法在科學(xué)和工程等領(lǐng)域得到廣泛的應(yīng)用，其優(yōu)越性也得到界內(nèi)研究者的廣泛認(rèn)可，因而自20世紀(jì)70年代Holland提出遺傳算法（GA）［1］以來(lái)，元啟發(fā)式算法的研究越來(lái)越受到國(guó)內(nèi)外研究者的重視。目前在國(guó)內(nèi)外刊物或國(guó)際會(huì)議上發(fā)表的有關(guān)元啟發(fā)式算法研究成果大體上可分為兩類：一是原創(chuàng)性提出新算法（如粒子群算法（PSO）［2］，蝗蟲優(yōu)化算法（GOA）［3］，鯨魚算法（WOA）［4］，黑猩猩優(yōu)化算法（COA）［5］，社會(huì)模擬算法樣式（SMO）［6］、教學(xué)優(yōu)化算法（TLBO）［7］，算數(shù)優(yōu)化算法（AOA）［8］、哈里斯鷹優(yōu)化算法（HHO）［9］，知識(shí)共享算法（GSK）［10］等）；一是修改或完善現(xiàn)有算法或混合各種算法（如文獻(xiàn)［11-14］等）。由于包括文獻(xiàn)［1-10］在內(nèi)的這些新算法通常存在全局收斂速度慢、易陷入局部最優(yōu)等不足，因而需要人們?nèi)ネ晟七@些現(xiàn)有算法，以改善其優(yōu)化性能。

基于知識(shí)共享的優(yōu)化算法（Gaining-sharing knowledge based algorithm for solving optimization problems， GSK）［10］是由Mohamed等人從人類獲取和共享知識(shí)過(guò)程中得到啟發(fā)，于2019年提出的一種新的群智能優(yōu)化算法。GSK具有算法模型簡(jiǎn)單易懂、易于編程實(shí)現(xiàn)等優(yōu)點(diǎn)。然而，GSK存在全局搜索能力不強(qiáng)、收斂速度慢、易陷入局部極值等不足，仍有待進(jìn)一步完善。針對(duì)GSK之不足，Mohamed等人［11］提出改進(jìn)版本的GSK，稱之為APGSK，該APGSK用自適應(yīng)概率參數(shù)來(lái)控制知識(shí)比率，以平衡全局探索與局部開發(fā)。然而從文獻(xiàn)［11］給出的具體實(shí)例實(shí)驗(yàn)與仿真結(jié)果上看，APGSK的收斂速度相對(duì)較慢、優(yōu)化精度也不高。Zhong等人［12］提出將GSK與HHO相結(jié)合的混合差分進(jìn)化算法，稱之為DEGH。該算法首先構(gòu)建一個(gè)混合變異算子，用于平衡全局探索和局部開發(fā)；其次利用交叉概率自適應(yīng)來(lái)加強(qiáng)差分變異、交叉和選擇之間的聯(lián)系。然而從文獻(xiàn)［12］列出的具體實(shí)例實(shí)驗(yàn)結(jié)果上看，該算法的全局搜索能力不強(qiáng)、收斂速度較慢、優(yōu)化精度不高。Xiong等人［13］只是將GSK應(yīng)用于求解決太陽(yáng)能光伏模型參數(shù)提取問題，并沒對(duì)GSK進(jìn)行改進(jìn)。綜合以上分析，文獻(xiàn)［11］和［12］提出的改進(jìn)版本GSK在優(yōu)化精度方面比標(biāo)準(zhǔn)GSK有所提高，但提升的程度非常有限，仍存在較明顯的全局搜索能力不強(qiáng)、收斂速度較慢、易陷入局部最優(yōu)等問題，仍有待進(jìn)一步完善。針對(duì)這一問題，本文對(duì)GSK進(jìn)行改進(jìn)，提出采用動(dòng)態(tài)知識(shí)因子的基于知識(shí)共享的優(yōu)化算法（Gaining-sharing knowledge based algorithm Using Dynamic Knowledge-factor，DKGSK），并通過(guò)具體實(shí)例仿真來(lái)驗(yàn)證本文提出改進(jìn)策略的有效性和可行性。

1 GSK簡(jiǎn)介

基于知識(shí)共享的優(yōu)化算法（GSK）將人類知識(shí)的獲取分為初級(jí)（junior）和高級(jí)（senior）兩個(gè)階段：第一階段稱為初級(jí)獲取與分享階段；第二階段稱為高級(jí)獲取與分享階段。GSK算法把每個(gè)人（一生中）在中前期（幼年期或早期）、中后期（成年期）獲得知識(shí)的階段分別稱為初級(jí)階段和高級(jí)階段。GSK算法模型如下：

設(shè)N為特定人群總?cè)藬?shù)（種群規(guī)模），D是人可獲取知識(shí)的學(xué)科領(lǐng)域數(shù)（表示人的知識(shí)全部從D個(gè)學(xué)科獲取，表征搜索空間維數(shù)是D），以xij表示第i人從第j學(xué)科中獲取知識(shí)，以xi=(xi1，xi2，…，xiD)表示第i人的知識(shí)維度，f(xi)為其適應(yīng)度值，i=1，…，N。

1.1 確定使用初級(jí)獲取與分享知識(shí)的維度數(shù)

搜索開始時(shí)，首先計(jì)算第i人xi使用初級(jí)方案（初級(jí)獲?。└碌木S度數(shù)，從而也就確定了使用高級(jí)方案（高級(jí)獲?。┑木S數(shù)。具體方法如下：設(shè)t時(shí)刻第i人的位置為xi(t)=(xi1(t)，…，xiD(t))，則由公式（1）計(jì)算：

其中：k稱為知識(shí)率，是大于0的實(shí)數(shù)（GSK在數(shù)值實(shí)驗(yàn)中取k=10），Tmax為最大迭代次數(shù)，t為當(dāng)前迭代次數(shù)。記Djun為不超過(guò)D(juniorphase)的最大正整數(shù)。則在t+1時(shí)刻，xi(t)=(xi1(t)，…，xiD(t))的前Djun個(gè)維按初級(jí)獲取知識(shí)方案進(jìn)行更新，后Dsen個(gè)維則按高級(jí)獲取知識(shí)方案進(jìn)行更新，其中：

1.2 不同階段知識(shí)獲取與分享方法

記xi(t)為第i人于t時(shí)刻的位置（i=1，…，N），f(xi)為其適應(yīng)度值。根據(jù)適應(yīng)度值將人群按升序排列：xbest(t)，…，xi-1(t)，xi(t)，xi+1(t)，…，xworst(t)，并且從[0，1]中取一個(gè)隨機(jī)數(shù)rand：

針對(duì)初級(jí)獲取與分享階段，首先給定kf（知識(shí)因子）和kr（知識(shí)比率），其中kf>0，0

若rand≤kr，則xi(t)的前Djun個(gè)維均按公式（3）更新知識(shí)：

否則（即rand>kr時(shí)）不更新，i=1，…，N，j=1，…，Djun。即xi(t)的前Djun個(gè)維均采用初級(jí)獲取知識(shí)方案更新知識(shí)。其中：xi-1(t)和xi+1(t)分別是比xi(t)更好和更差的兩個(gè)“人”，作為xi(t)獲取知識(shí)的來(lái)源，再?gòu)娜后w中隨機(jī)選擇另一個(gè)“人”xr(t)作為知識(shí)共享的來(lái)源。注：若xi(t)為當(dāng)前最優(yōu)個(gè)體，則以xbest+1(t)和xbest+2(t)作為其獲取知識(shí)的來(lái)源；若xi(t)為當(dāng)前最差個(gè)體，則以xworst-1(t)和xworst-2(t)作為其獲取知識(shí)的來(lái)源。

針對(duì)高級(jí)獲取與分享階段，首先將種群分為最好人群（人數(shù)為p?N）、中等人群（人數(shù)為(1-2p)?N）、最差人群（人數(shù)為p?N）三個(gè)群體（GSK在數(shù)值實(shí)驗(yàn)中取p=0.1）。然后每個(gè)“人”使用如下方案更新知識(shí)：

若rand≤kr，則xi(t)按公式（4）更新知識(shí)：

否則（即rand>kr時(shí)）不更新。i=1，…，N，j=Djun+1，…，D。其中xp-best(t)、xm(t)和xp-worst(t)為分別從最好人群、中等人群、最差人群中隨機(jī)選擇的一個(gè)個(gè)體。

GSK實(shí)現(xiàn)步驟如下：

Step1：給定目標(biāo)函數(shù)f(x)，種群規(guī)模N，搜索空間維數(shù)D，最大迭代次數(shù)Tmax，知識(shí)率k，知識(shí)因子kf，知識(shí)比率kr，種群最好人群比例p。

Step2：初始化種群xi(t)，評(píng)估每一個(gè)體的適應(yīng)度值f(xi(t))，i=1，…，N。

Step3：根據(jù)適應(yīng)度值將種群按升序排列：xbest(t)，…，xi-1(t)，xi(t)，xi+1(t)，…，xworst(t)。

Step4：利用公式（1）和（2）確定Djun和Dsen=D-Djun。

Step5：從[0，1]中取一個(gè)隨機(jī)數(shù)rand，若rand≤kr，則xi(t)的前Djun維度均采用公式（3）更新知識(shí)，后DDjun維度均采用公式（4）更新知識(shí)；否則不更新。

Step6：評(píng)估每一個(gè)體的適應(yīng)度值f(xi(t))，i=1，…，N。

Step7：判斷是否滿足終止條件：若滿足則轉(zhuǎn)Step8；否則轉(zhuǎn)Step3。

Step8：算法終止，并根據(jù)適應(yīng)度值將最優(yōu)位置作為優(yōu)化問題的最優(yōu)解。

2 本文算法

分析標(biāo)準(zhǔn)GSK算法模型：不管是在初級(jí)階段還是在高級(jí)階段，搜索個(gè)體的前Djun個(gè)維均按公式（3）更新位置、后D-Djun個(gè)維則均按公式（4）更新位置。顯然，GSK的公式（3）和（4）中，每個(gè)維更新位置時(shí)，其步長(zhǎng)均由知識(shí)因子kf確定，然而kf是給定的常數(shù)（GSK在數(shù)值實(shí)驗(yàn)中取kf=0.5），因此，GSK種群中個(gè)體每個(gè)維的搜索步長(zhǎng)是固定的，也就是說(shuō)，GSK種群中的每一個(gè)體在搜索空間中均采用“同一時(shí)刻步長(zhǎng)完全相同、同步跳躍”的搜索策略。這使得種群個(gè)體搜索明顯缺乏隨機(jī)性和靈活性，限制了個(gè)體的搜索靈活性和自主性，降低了個(gè)體的搜索能力和效率，造成算法搜索效率低下，最終導(dǎo)致GSK的全局搜索能力不強(qiáng)、全局收斂速度較慢、優(yōu)化精度不高之不足。針對(duì)GSK存在的問題，本文提出相應(yīng)的改進(jìn)策略，詳述如下：

2.1 針對(duì)GSK公式(3)之不足，本文對(duì)其作如下改進(jìn)

i=1，…，N，j=1，…，Djun。其中r為［0，1］中的隨機(jī)數(shù)。

2.2 針對(duì)GSK的公式(4),作如下改進(jìn)

i=1，…，N，j=Djun+1，…，D。其中w=(1-t/Tmax)4，L(λ)為列維飛行［14］：

公式（5）中的r?kf和公式（6）中的L(λ)?kf均是隨機(jī)可變的， 而標(biāo)準(zhǔn)GSK的知識(shí)因子kf是固定的。因此，本文將r?kf和L(λ)?kf統(tǒng)稱為動(dòng)態(tài)知識(shí)因子（本文算法在數(shù)值實(shí)驗(yàn)中取kf=1.8）。

說(shuō)明：a）公式（5）和（6）中的w?xi，j(t)表示：個(gè)體i對(duì)知識(shí)的吸取具有習(xí)慣性，并保持其這一習(xí)慣性趨勢(shì)。w=(1-t/Tmax)4是一個(gè)關(guān)于算法搜索時(shí)間t的單調(diào)遞減函數(shù)，當(dāng)t=1時(shí)，w=(1-1/Tmax)4≈1（本文算法置Tmax=300），t=300時(shí)，w=0 。換言之，w從算法搜索前期到后期逐步從1單調(diào)遞減到0；w在算法前期的值相對(duì)較大，從而加快了個(gè)體的搜索速度，使群體能以較快速度遍歷整個(gè)空間。這有利于算法進(jìn)行全局探索、可為后期開展局部搜索盡可能多地積累和反饋信息；w在算法后期下降較慢，并隨著搜索時(shí)間t的增加而趨于0。因而在w的作用下，可提升個(gè)體的局部搜索精度，進(jìn)而增強(qiáng)算法的局部開發(fā)能力。b）公式（5）表示：個(gè)體i是由向量w?xi，j(t)與向量rkf×Δ 根據(jù)平行四邊形法則來(lái)控制其搜索的，其中Δ=[(xi-1，j(t)-xi+1，j(t))+(xr，j(t)-xi，j(t))]或[(xi-1，j(t)-xi+1，j(t))+ (xi，j(t)-xr，j(t))]。而r為［0，1］中的隨機(jī)數(shù)，因而個(gè)體i可以在由第一部分w?xi，j(t)與第二部分rkf×Δ 所確定的平行四邊形覆蓋的范圍內(nèi)開展精細(xì)化搜索，其搜索步長(zhǎng)具有隨機(jī)性和靈活性，這使其全局探索與局部開發(fā)能力均得到了提升。c）公式（6）表示：個(gè)體i是利用w?xi，j(t)與L(λ)×Ω 來(lái)控制 其 搜 索 的，其 中Ω=kf?[(xp-best，j(t)-xp-worst，j(t))+(xm，j(t)-xi，j(t))]或kf?[(xp-best，j(t)-xp-worst，j(t))+(xi，j(t)-xm，j(t))]。由于列維飛行L(λ)具有隨機(jī)行走特性和行走步長(zhǎng)呈現(xiàn)重尾的分布特征，故采用這一方法來(lái)控制個(gè)體搜索可使搜索步長(zhǎng)更具靈活性和隨機(jī)性，當(dāng)搜索個(gè)體陷入局部最優(yōu)位置時(shí)，利用列維飛行能以較大概率實(shí)現(xiàn)大跨步跳出當(dāng)前最優(yōu)位置，進(jìn)而可提升算法跳出局部最優(yōu)的能力、增強(qiáng)算法的局部開發(fā)能力。d）到算法后期，w幾乎為0，故個(gè)體i在算法后期主要由rkf×Δ或L(λ)×Ω控制，即其主要是從比其更優(yōu)的個(gè)體中吸取知識(shí)，亦即在后期側(cè)重開展局部搜索，進(jìn)而增強(qiáng)了群體的局部搜索能力。

本文算法已對(duì)標(biāo)準(zhǔn)GSK中的“Step5：從[0，1] 中取一個(gè)隨機(jī)數(shù)rand，若rand≤kr，則xi(t)的前Djun維度均采用公式（3）更新知識(shí)，后D-Djun維度均采用公式（4）更新知識(shí)；否則不更新”進(jìn)行了修改，去掉其中的“從[0，1] 中取一個(gè)隨機(jī)數(shù)rand，若rand≤kr”條件，進(jìn)一步簡(jiǎn)化了算法實(shí)現(xiàn)條件。

2.3 算法實(shí)現(xiàn)步驟

本文算法（DKGSK）實(shí)現(xiàn)步驟如下：

Step1：給定目標(biāo)函數(shù)f(x)，種群規(guī)模N，搜索空間維度D，最大迭代次數(shù)Tmax，知識(shí)率k，知識(shí)因子kf，種群最好人群比例p（本文算法在實(shí)驗(yàn)中取kf=1.8，k=10，p=0.1）。

Step2：初始化種群xi(t)，并評(píng)估適應(yīng)度值f(xi(t))，i=1，…，N。

Step3：根據(jù)適應(yīng)度值將種群按升序排列：xbest(t)，…，xi-1(t)，xi(t)，xi+1(t)，…，xworst(t)。

Step4：由公式（1）和（2）確定Djun和Dsen=D-Djun。

Step5：xi(t)分別根據(jù)公式（5）和（6）更新其前Djun個(gè)維和后D-Djun個(gè)維。

Step6：評(píng)估每一個(gè)體的適應(yīng)度值f(xi(t))，i=1，…，N。

Step7：判斷是否滿足終止條件：若滿足則轉(zhuǎn)Step8；否則轉(zhuǎn)Step3。

Step8：算法終止，并根據(jù)適應(yīng)度值將最優(yōu)位置作為優(yōu)化問題的最優(yōu)解。

2.4 算法時(shí)間復(fù)雜度分析

設(shè)最大迭代次數(shù)是T，種群規(guī)模是N，探索空間維數(shù)是D。初始化種群的時(shí)間復(fù)雜度是O(N)，計(jì)算初級(jí)階段維數(shù)的時(shí)間復(fù)雜度是O(T)，排序時(shí)間復(fù)雜度是O(N(N-1)T/2)，因而標(biāo)準(zhǔn)GSK的時(shí)間復(fù)雜度是O(N(N-1)T/2)+O(NDT)+O(N)+O(T)。在AGSK中，引入自適應(yīng)權(quán)重與列維飛行的時(shí)間復(fù)雜度為O(NT)，故DKGSK的時(shí)間復(fù)雜度是O(N(N-1)T/2)+O(NDT)+O(NT)+O(N)+O(T)，若略去時(shí)間復(fù)雜度之低次項(xiàng)，則兩種算法的計(jì)算時(shí)間復(fù)雜度是一致的。

3 數(shù)值實(shí)驗(yàn)

為 了 測(cè) 試 本 文 算 法（DKGSK）的 性 能，本 文 將DKGSK與 標(biāo) 準(zhǔn)GSK［10］、PSO［2］、WOA［4］、APGSK［11］、DEGH［12］作算法性能對(duì)比分析，以驗(yàn)證本文算法（DKGSK）的優(yōu)化性能。

3.1 測(cè)試函數(shù)

本文選取12個(gè)已被廣泛用來(lái)測(cè)試算法優(yōu)化性能的基準(zhǔn)測(cè)試函數(shù)（具體見表1），作為算法數(shù)值實(shí)驗(yàn)與優(yōu)化性能對(duì)比分析的測(cè)試實(shí)例，這些基準(zhǔn)測(cè)試函數(shù)當(dāng)中包含5個(gè)單峰函數(shù)和7個(gè)多峰函數(shù)。其中：?jiǎn)畏搴瘮?shù)主要用來(lái)測(cè)試算法的收斂速度，多峰函數(shù)則用來(lái)測(cè)試算法的全局搜索能力和規(guī)避陷入局部最優(yōu)的能力。

表1 基準(zhǔn)測(cè)試函數(shù)

3.2 實(shí)驗(yàn)參數(shù)設(shè)置

為了數(shù)值實(shí)驗(yàn)測(cè)試結(jié)果的公平性，本文實(shí)驗(yàn)針對(duì)六種對(duì)比算法均統(tǒng)一設(shè)置種群規(guī)模為100、最大迭代次數(shù)為300。對(duì)于GSK［10］、PSO［2］、WOA［4］、APGSK［11］、DEGH［12］這五種算法的其余參數(shù)，均與相對(duì)應(yīng)的文獻(xiàn)［10］、［2］、［4］、［11］、［12］的設(shè)置一致。

3.3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析

為了盡可能避免隨機(jī)性對(duì)數(shù)值實(shí)驗(yàn)結(jié)果的影響，本文在做數(shù)值實(shí)驗(yàn)測(cè)試時(shí)，六種算法針對(duì)每一個(gè)測(cè)試問題都獨(dú)立進(jìn)行30次實(shí)驗(yàn)，并將運(yùn)行結(jié)果（最優(yōu)值、平均值、標(biāo)準(zhǔn)差）記錄下來(lái)。這些評(píng)價(jià)指標(biāo)總體上反應(yīng)了算法優(yōu)化能力的強(qiáng)弱以及算法穩(wěn)定性的好壞。其中：“最優(yōu)值”評(píng)價(jià)指標(biāo)反映了算法的全局搜索能力和優(yōu)化精度，“平均值、標(biāo)準(zhǔn)差”評(píng)價(jià)指標(biāo)能夠反映算法的穩(wěn)定性能。本文針對(duì)30維和200維搜索空間分別做數(shù)值實(shí)驗(yàn)，得到的實(shí)驗(yàn)結(jié)果見表2。

為了便于觀察和比較六種算法各自的收斂速度，本文也給出了六種算法分別求解這12個(gè)基準(zhǔn)測(cè)試函數(shù)時(shí)得到的適應(yīng)度進(jìn)化曲線圖，具體如圖1所示。

本文根據(jù)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)表2和進(jìn)化曲線圖1來(lái)分析這六種對(duì)比算法各自的優(yōu)化性能。

從“最優(yōu)值”上看：本文算法（DKGSK）找到F1～F5，F(xiàn)7～F12這11個(gè)測(cè)試函數(shù)的理論最優(yōu)值；WOA只找到F8和F9這兩個(gè)函數(shù)的理論最優(yōu)值；其余的四種算法均沒有找到這12個(gè)測(cè)試函數(shù)的理論最優(yōu)值。六種對(duì)比算法都沒有找到F6的理論最優(yōu)值，但本文算法（DKGSK）找到F6的最優(yōu)值均比其他五種算法更接近理論最優(yōu)值，且優(yōu)化精度均比其他五種算法至少高2個(gè)數(shù)量級(jí)。這說(shuō)明在六種對(duì)比算法當(dāng)中，本文算法（DKGSK）的全局搜索能力最強(qiáng)、優(yōu)化精度最高、比其他五種對(duì)比算法明顯具有較大的優(yōu)勢(shì)。

從“平均值”和“標(biāo)準(zhǔn)差”上看：本文算法（DKGSK）求解F1～F5，F(xiàn)7～F12這11個(gè)測(cè)試函數(shù)時(shí)得到的“平均值、標(biāo)準(zhǔn)差”均與理論最優(yōu)值相同；WOA求解F8和F9得到的“平均值、標(biāo)準(zhǔn)差”與理論最優(yōu)值相同，而求解其余10個(gè)函數(shù)得到的“平均值、標(biāo)準(zhǔn)差”均與理論最優(yōu)值有偏差；其余四種算法求解這12個(gè)測(cè)試函數(shù)時(shí)得到的“平均值、標(biāo)準(zhǔn)差”均與理論最優(yōu)值有偏差。DKGSK求解F6時(shí)得到的“平均值、標(biāo)準(zhǔn)差”與理論最優(yōu)值有點(diǎn)偏差，但偏差量比較?。ㄐ∮?0-4），且偏差的程度均比其他五種算法的小。這說(shuō)明本文算法找到全局最優(yōu)值的概率明顯高于其余五種對(duì)比算法，算法的穩(wěn)定性均好于其他五種對(duì)比算法；這對(duì)DKGSK用于求解工程等方面的優(yōu)化問題提供了技術(shù)可靠性。

從圖1的（a）~（l）上看：相較于其他五種對(duì)比算法，本文算法（DKGSK）的進(jìn)化曲線均位于對(duì)比算法的進(jìn)化曲線當(dāng)中之最底下、下降的速度是最快的。本文算法求解F1～F5、F7～F12這11個(gè)測(cè)試函數(shù)時(shí)得到的進(jìn)化曲線均到達(dá)理論最優(yōu)位置；WOA只有求解F8和F9時(shí)得到的進(jìn)化曲線能到達(dá)理論最優(yōu)位置，其余的10個(gè)測(cè)試函數(shù)的進(jìn)化曲線均沒能到達(dá)理論最優(yōu)位置；另外四種算法（GSK，PSO，APGSK，DEGH）求解這12個(gè)測(cè)試函數(shù)得到的進(jìn)化曲線均沒能到達(dá)理論最優(yōu)位置。這說(shuō)明了本文算法的收斂速度最快、優(yōu)化精度最高。

圖1 函數(shù)收斂圖

為了進(jìn)一步測(cè)試這六種對(duì)比算法各自的優(yōu)化性能，本文再用六種算法分別求解表1中的12個(gè)函數(shù)當(dāng)D=200時(shí)的優(yōu)化表現(xiàn)，以考查六種算法的魯棒性問題。具體得到的實(shí)驗(yàn)結(jié)果均列在表2中。

基于表2的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)一步分析六種對(duì)比算法各自的性能。

表2 30/200維基準(zhǔn)測(cè)試函數(shù)測(cè)試結(jié)果對(duì)比

本文算法（DKGSK）找到F1～F5，F(xiàn)7～F12這11個(gè)函數(shù)的“最優(yōu)值、平均值、標(biāo)準(zhǔn)差”都是函數(shù)理論最優(yōu)值；WOA只找到F8和F9這兩個(gè)函數(shù)的“最優(yōu)值、平均值、標(biāo)準(zhǔn)差”是函數(shù)理論最優(yōu)值；其余的四種算法找到這12個(gè)測(cè)試函數(shù)的“最優(yōu)值、平均值、標(biāo)準(zhǔn)差”都不是函數(shù)理論最優(yōu)值，與理論最優(yōu)值有偏差。本文算法找到F6的“最優(yōu)值4.383E-06”非常接近理論最優(yōu)值0，比D=30時(shí)找到的最優(yōu)值9.906E-06還要好，找到的“平均值2.436E-05，標(biāo)準(zhǔn)差2.350E-05”也非常接近理論最優(yōu)值，與D=30時(shí)找到的“平均值3.4565E-05，標(biāo)準(zhǔn)差2.057E-05”相當(dāng)。本文算法找到F6的“最優(yōu)值、平均值、標(biāo)準(zhǔn)差”都比其他五種對(duì)比算法更接近理論最優(yōu)值，優(yōu)化精度都比其他五種算法至少高2個(gè)數(shù)量級(jí)。標(biāo)準(zhǔn)GSK、DEGH、APGSK、PSO求解這12個(gè)函數(shù)時(shí)找到的“最優(yōu)值”出現(xiàn)了明顯地偏離理論最優(yōu)值的“失靈”現(xiàn)象，且偏離還比較大?；谝陨戏治?，說(shuō)明了將搜索空間維度從30增加到200時(shí)，本文算法（DKGSK）的全局搜索能力并沒有減弱、優(yōu)化精度并沒有下降、算法穩(wěn)定性也沒有下降，沒有出現(xiàn)隨著搜索空間維度的增加而出現(xiàn)“失靈”的現(xiàn)象。這進(jìn)一步說(shuō)明了本文算法的穩(wěn)定性和魯棒性比較好，規(guī)避陷入局部最優(yōu)的能力比較強(qiáng)。

3.4 DKGSK主要參數(shù)確定方法

記p=最好人群/群體規(guī)模N。為了研究p之不同值對(duì)DKGSK優(yōu)化性能的影響，本文針對(duì)p=0.1，0.2，0.3，0.4分別做數(shù)值實(shí)驗(yàn)。表1中的F6是一個(gè)具有多極小點(diǎn)但只有一個(gè)全局最小點(diǎn)(0，…，0)的多峰函數(shù)，由于受random[0，1)的擾動(dòng)，要找到其全局最小點(diǎn)相對(duì)較難，故尋找F6的最小點(diǎn)是較能考驗(yàn)算法的全局探索和局部開發(fā)能力的。因此，本文就以F6作為確定p值之測(cè)試函數(shù)。實(shí)驗(yàn)種群規(guī)模為100，最大迭代次數(shù)300，D=30。針對(duì)p之不同值，均獨(dú)立運(yùn)行30次，考查p取不同值時(shí)算法穩(wěn)定性的變化情況。利用繪制箱線圖來(lái)反映30次運(yùn)行結(jié)果，可容易觀察到多組連續(xù)型定量數(shù)據(jù)分布的中心位置和散布范圍。當(dāng)p取不同值時(shí)，DKGSK 的中位數(shù)線均靠近全局最小位置，且大部分?jǐn)?shù)據(jù)都接近理論最優(yōu)位置。這說(shuō)明DKGSK具有較強(qiáng)的全局尋優(yōu)能力、較強(qiáng)的跳出局部最優(yōu)能力和較好的優(yōu)化精度，采用的改進(jìn)策略是有效和可行的。從箱線圖的高度上看，p取4個(gè)不同值時(shí)，大部分?jǐn)?shù)據(jù)點(diǎn)都沒有嚴(yán)重偏離理論最優(yōu)位置。從偏離理論最優(yōu)位置上看，當(dāng)p=0.1時(shí)，沒有出現(xiàn)偏離理論最優(yōu)位置的數(shù)據(jù)點(diǎn)，而p取其余3個(gè)值時(shí)，均出現(xiàn)偏離理論最優(yōu)位置的數(shù)據(jù)點(diǎn)。因此，本文算法（DKGSK）在數(shù)值實(shí)驗(yàn)中取p=0.1。

其次，為了研究知識(shí)因子kf之不同值對(duì)DKGSK 優(yōu)化性能的影響，本文針對(duì)kf= 0.5，1，1.2，1.5，1.8 分別做實(shí)驗(yàn)。實(shí)驗(yàn)設(shè)置種群規(guī)模為100，最大迭代次數(shù)為150，D=30。從實(shí)驗(yàn)結(jié)果上看：DKGSK求解F1～F5和F7～F12在kf=1.8時(shí)的表現(xiàn)最好、求解F6在kf=1.5時(shí)的表現(xiàn)比較好。因此，本文算法（DKGSK）在實(shí)驗(yàn)中取kf=1.8。

3.5 Wilcoxon秩和檢驗(yàn)

為進(jìn)一步驗(yàn)證本文算法（DKGSK）的尋優(yōu)性能，將DKGSK分別與GSK，DEGH，APGSK，PSO，WOA算法進(jìn)行Wilcoxon秩和檢驗(yàn)。在顯著性水平為0.05的條件下檢驗(yàn)算法之間的顯著差異性，其中p表示檢驗(yàn)的數(shù)值，若p值小于0.05，則表明算法之間的尋優(yōu)結(jié)果存在顯著性差異，否則無(wú)明顯差異。N表示數(shù)據(jù)無(wú)效即檢驗(yàn)的所有樣本數(shù)據(jù)相同，算法不具有顯著差異性。從測(cè)試數(shù)據(jù)可以看出，p值小于0.05的占絕大多數(shù)。因此，DKGSK與其他五種對(duì)比算法具有非常顯著的差異性，并且DKGSK的全局優(yōu)化能力最強(qiáng)。

4 結(jié)論

針對(duì)標(biāo)準(zhǔn)GSK之不足，本文提出采用動(dòng)態(tài)知識(shí)因子的基于知識(shí)共享的優(yōu)化算法（DKGSK）。首先，利用單調(diào)遞減自適應(yīng)權(quán)重函數(shù)來(lái)控制個(gè)體的移動(dòng)步長(zhǎng)，使個(gè)體在算法前期能以較大步長(zhǎng)在搜索空間中進(jìn)行全局探索活動(dòng)，讓種群個(gè)體盡快遍歷整個(gè)搜索空間，增強(qiáng)了算法的全局探索能力，為算法后期的局部搜索活動(dòng)提供了更多有用的信息；個(gè)體在算法后期以較小步長(zhǎng)開展局部搜索活動(dòng)，提升了個(gè)體的局部搜索能力，增強(qiáng)了算法的局部?jī)?yōu)化能力，從而使算法的全局探索和局部開發(fā)能力均得到提升。其次，利用動(dòng)態(tài)知識(shí)因子來(lái)調(diào)控個(gè)體搜索，針對(duì)初級(jí)獲取階段和高級(jí)獲取階段，分別通過(guò)0至1之間的均勻隨機(jī)函數(shù)和列維飛行函數(shù)來(lái)調(diào)控個(gè)體搜索，使個(gè)體搜索步長(zhǎng)更具隨機(jī)性，提升了個(gè)體搜索能力，從而增強(qiáng)了算法的局部開發(fā)能力。此外，當(dāng)個(gè)體搜索陷入局部最優(yōu)時(shí)，借助列維飛行可使其跳出當(dāng)前最優(yōu)位置，從而使算法跳出局部最優(yōu)的能力得到提升。通過(guò)與標(biāo)準(zhǔn)GSK和改進(jìn)版本GSK作數(shù)值實(shí)驗(yàn)與仿真結(jié)果比較，驗(yàn)證了本文算法在全局收斂速度、優(yōu)化精度、算法穩(wěn)定性方面均得到了明顯的提高，規(guī)避陷入局部最優(yōu)的能力得到了增強(qiáng)。后續(xù)研究將重點(diǎn)考慮將本文算法應(yīng)用于數(shù)據(jù)分類、工程優(yōu)化設(shè)計(jì)等方面的應(yīng)用中。