解非線(xiàn)性方程的一種新的三步六階迭代格式

黃絲引，曾 光，張思平，余笑宇，雷 莉

(東華理工大學(xué)理學(xué)院，330013，南昌)

0 引言

在工程與科學(xué)計(jì)算中會(huì)遇到大量的求解非線(xiàn)性方程的問(wèn)題，對(duì)于一般的代數(shù)方程，當(dāng)它的次數(shù)超過(guò)4次時(shí)無(wú)法用公式直接表示方程的根；對(duì)于更復(fù)雜的超越方程，解析法求方程的根有不少困難；因此研究數(shù)值方法計(jì)算非線(xiàn)性方程的根就顯得尤為重要。迭代法是數(shù)值求解非線(xiàn)性方程根的重要方法，但是使用迭代法的困難在于計(jì)算量難以估計(jì)，有時(shí)迭代過(guò)程收斂，但收斂速度緩慢，此時(shí)迭代格式因?yàn)橛?jì)算量變得很大而失去實(shí)用價(jià)值。與簡(jiǎn)單迭代法相比，Newton迭代法的收斂速度更快，它具有局部平方收斂的性質(zhì)。因此得到了學(xué)者們的重視和廣泛應(yīng)用。

一直以來(lái)有很多學(xué)者提出了各種關(guān)于 Newton 迭代法的改進(jìn)。A Y ?zban[1]基于算術(shù)平均牛頓法，用調(diào)和平均數(shù)代替算術(shù)平均數(shù)而得到調(diào)和平均牛頓法，該方法的收斂階為三階；范倩楠和王曉峰[2]通過(guò)改造史蒂芬森迭代法，構(gòu)造了一種新的具有最優(yōu)階的無(wú)導(dǎo)數(shù)兩步迭代法，得到收斂階為四階的無(wú)需計(jì)算導(dǎo)數(shù)的迭代法；黃芳芳[3]等在經(jīng)典牛頓迭代法和弦截法的基礎(chǔ)上，構(gòu)造了3種新的迭代法，這3種迭代法在一定程度上加快了收斂速度；張輝[4]等根據(jù)四點(diǎn) Newton-Cotes求積公式提出了一種六階的牛頓迭代法；吳江[5]在算術(shù)平均牛頓法的基礎(chǔ)上提出了一種六階收斂的迭代格式；王堯和陳豫眉[6]在Ostrowski[7]四階收斂和Grau[8]的六階收斂以及三步迭代法的基礎(chǔ)上，構(gòu)造了一種新的求解非線(xiàn)性方程單根的三步六階迭代法；薛霜[9]在2013年基于2種三階牛頓變形方法的基礎(chǔ)上，通過(guò)線(xiàn)性插值和待定系數(shù)法得到了2種新的牛頓變形法，并且理論證明了這2種方法的收斂階都能達(dá)到五階。

本文以Newton迭代法為基礎(chǔ)，結(jié)合兩步迭代格式，通過(guò)組合迭代，構(gòu)造收斂階更高的迭代法，以進(jìn)一步提高迭代法的計(jì)算效率。文章安排如下：第1節(jié)介紹迭代格式的具體形式；第2節(jié)給出收斂性的證明；第3節(jié)利用數(shù)值實(shí)驗(yàn)進(jìn)一步驗(yàn)證理論方法的有效性。

1 新迭代格式的構(gòu)造

定義1[10]: 設(shè)迭代序列xk收斂于點(diǎn)x*，所以誤差為ek=xk-x*，若存在實(shí)數(shù)p≥1和非零常數(shù)C使得

此時(shí)，迭代序列xk的收斂階是p,C為漸進(jìn)誤差系數(shù)。顯然，收斂階p越大收斂速度越快，當(dāng)p=1時(shí)，迭代法稱(chēng)為線(xiàn)性收斂；當(dāng)p>1時(shí)，迭代法稱(chēng)為超線(xiàn)性收斂；當(dāng)p=2時(shí)，迭代法稱(chēng)為平方收斂。

定義2[11]：設(shè)迭代序列xk是p階收斂于點(diǎn)x*，每次迭代中所需計(jì)算的函數(shù)值的次數(shù)為k次，則稱(chēng)EI為迭代序列中的效率指數(shù)，計(jì)算公式為

定義3[12]：設(shè)定義在開(kāi)區(qū)間D?R→R上的函數(shù)f(x)足夠光滑，a為方程f(x)=0的一個(gè)根，若滿(mǎn)足

其中c是非零正常數(shù)，則稱(chēng)上式為誤差方程。

Newton迭代法是求解非線(xiàn)性方程的重要方法之一，其迭代格式為

(1)

王小瑞[13]等人提出一種收斂階為四階的兩步迭代，迭代格式為

(2)

為了提高迭代格式的收斂速度，同時(shí)又盡量減少迭代格式中對(duì)于函數(shù)值和導(dǎo)數(shù)值的求解，本文基于迭代格式(2)提出新的三步迭代格式，其構(gòu)造過(guò)程如下：

首先，式(2)中的第一式保持不變

(3)

再用zk替代式(2)的第2式中的xk+1，即得到與xk,yk有關(guān)的zk

(4)

最后，添加一步牛頓迭代即得到新的三步六階迭代格式

(5)

下面利用(xk,f′(xk)),(yk,f′(yk))對(duì)(f′(zk))進(jìn)行插值估計(jì)

(6)

由上式可知

(7)

將式(5)中間的式子代入式(7)中，化簡(jiǎn)得

(8)

將式(5)的第1式代入式(8)中，化簡(jiǎn)得

(9)

將式(9)代入式(5)的第3式中，化簡(jiǎn)得

(10)

于是得到新的迭代格式為：

(11)

2 收斂性分析

定理1：設(shè)方程f(x)=0 的一個(gè)單根為a，函數(shù)f(x)在包含a的一個(gè)開(kāi)區(qū)間I中充分光滑，當(dāng)x0充分靠近a時(shí)，則由式(11)所定義的迭代法在開(kāi)區(qū)間I中以六階收斂速度收斂于a，且其誤差方程為

證明：f(xk)在a處使用泰勒公式展開(kāi)

(12)

(13)

由式(12)和式(13)得到

(14)

所以

(15)

利用式(15)，將f′(yk)在a處使用泰勒公式展開(kāi)

(16)

由式(13)和式(16)得到

(17)

(18)

(19)

利用式(19)，將f(zk)和f′(zk)用泰勒公式在a處展開(kāi)

f(zk)=f′(a)[(zk-a)+c2(zk-a)2+o(zk-a)3]

(20)

故

(21)

故本文迭代格式的誤差估計(jì)為

(22)

將式(18)代入式(22)中，得到

(23)

3 數(shù)值實(shí)驗(yàn)

為了驗(yàn)證本文的迭代格式的有效性，將其應(yīng)用于求解以下4個(gè)測(cè)試函數(shù)的零點(diǎn)，并將本文新的迭代格式(簡(jiǎn)稱(chēng)H6方法)與牛頓迭代法(簡(jiǎn)稱(chēng)NM方法)進(jìn)行比較。文中的數(shù)值實(shí)驗(yàn)在 MATLAB R2017b中進(jìn)行，digits = 1 024, 測(cè)試函數(shù)為：

測(cè)試函數(shù)的零點(diǎn)(此處僅考慮一個(gè)零點(diǎn))分別為：

α1=1.365 230 013 414 10;

α2=0.739 085 133 215 16;

α3=0.567 143 290 409 78;

α4=2.174 952 447 083 43。

數(shù)值實(shí)驗(yàn)測(cè)試結(jié)果如下表所示，其中表1至表4分別是函數(shù)f1(x)至f4(x)用牛頓迭代法和本文的三步六階迭代法求解的數(shù)值實(shí)驗(yàn)，x0表示迭代初值，k表示迭代步數(shù),|xk-xk-1|表示誤差，迭代終止的條件是|xk-xk-1|<10-14。

表1 NM方法與H6方法數(shù)值求解f1(x)的結(jié)果對(duì)比

表2 NM方法與H6方法數(shù)值求解f2(x)的結(jié)果對(duì)比

表3 NM方法與H6方法數(shù)值求解f3(x)的結(jié)果對(duì)比

表4 NM方法與H6方法數(shù)值求解f4(x)的結(jié)果對(duì)比

在表1中，在取3個(gè)不同的初始值時(shí)，H6迭代法均快于經(jīng)典的牛頓迭代法，特別的，當(dāng)初始值分別取-0.5、-0.3時(shí)，經(jīng)典牛頓迭代法的迭代步數(shù)分別是132步、54步。本文H6方法的迭代步數(shù)分別是是58步、13步，H6方法大大提高了迭代速度；從表2可以看出，當(dāng)取不同的迭代初始值時(shí)，相對(duì)于經(jīng)典牛頓迭代法，H6方法都不同程度地減少了迭代的次數(shù)；對(duì)于函數(shù)f3(x)=xex-1, 迭代初值取-0.1和-0.2時(shí)，迭代法H6明顯優(yōu)于牛頓迭代法。同時(shí)，通過(guò)數(shù)值實(shí)驗(yàn)表明，迭代法的收斂速度與選取的初始值有關(guān)，不同的初始值在用相同迭代法計(jì)算時(shí)，其迭代步數(shù)也不相同；一般初始值越接近零點(diǎn)，迭代步數(shù)越少；但是在初始值相同的情況下，H6方法始終快于牛頓迭代法。