考慮非線性剛度的正交切削系統(tǒng)穩(wěn)定性

石慧榮， 王海星， 李宗剛

(蘭州交通大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院， 蘭州 730070)

金屬切削加工中的顫振可能導(dǎo)致工件表面質(zhì)量下降和加工精度不足，而對(duì)切削系統(tǒng)的準(zhǔn)確分析可有效改進(jìn)加工工藝，保證工件的加工質(zhì)量.但是由于切削系統(tǒng)中刀具和工件的變形使得切削區(qū)域的塑性變形和工件表面波動(dòng)變得更加復(fù)雜，考慮由此造成的非線性行為對(duì)切削系統(tǒng)自激振動(dòng)的影響能更加有效地提升加工性能.

切削系統(tǒng)中切削力、切削阻尼、時(shí)滯及刀具磨損均會(huì)誘發(fā)系統(tǒng)的非線性行為，該問(wèn)題已經(jīng)被諸多學(xué)者廣泛關(guān)注.Molnr 等[1-2]將3/4次切削力Taylor展開(kāi)，利用非線性分析方法和數(shù)值計(jì)算法對(duì)切削系統(tǒng)進(jìn)行了研究，表明切削系統(tǒng)中存在雙穩(wěn)態(tài)再生顫振、周期、倍周期和Hopf分岔等非線性行為.Wang 等[3]研究了考慮3次非剛度的單自由度車削系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性，表明該系統(tǒng)存在多周期、準(zhǔn)周期及混沌運(yùn)動(dòng)導(dǎo)致的切削不穩(wěn)定. Nankali 等[4-5]將正交切削系統(tǒng)近似成一個(gè)含有2次和3次非線性剛度的二階微分系統(tǒng)，研究了系統(tǒng)內(nèi)共振的極限環(huán)振蕩和分岔行為，確定了保證穩(wěn)定切削的切削參數(shù)臨界值.Tyler 等[6]考慮了工件表面法向速度、切深及切削速度相關(guān)的過(guò)程阻尼對(duì)車削穩(wěn)定性的影響，并驗(yàn)證了該模型的有效性.Yan等[7]對(duì)含2次和3次非線性剛度的正交切削系統(tǒng)進(jìn)行了研究，表明切削系統(tǒng)主要呈現(xiàn)次臨界不穩(wěn)定.任勇生等[8]采用Galerkin法對(duì)考慮銑刀結(jié)構(gòu)非線性的顫振模型進(jìn)行了簡(jiǎn)化，利用多尺度法研究刀桿的幾何尺寸和切削參數(shù)對(duì)銑削過(guò)程葉瓣圖(lobe圖)以及主共振的影響.楊毅青等[9]研究了不同切削力學(xué)模型的精確性，結(jié)果顯示線性與指數(shù)瞬時(shí)切削力模型在銑削力及顫振穩(wěn)定域預(yù)測(cè)的精度上高于其他幾種模型.Ahmadi 等[10]利用平均方法對(duì)含有非線性時(shí)滯阻尼的正交車削加工系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性進(jìn)行了分析，表明系統(tǒng)中的極限環(huán)振蕩可能引起切削加工的不確定性.

雖然目前對(duì)切削系統(tǒng)的顫振問(wèn)題已有較多研究，但主要集中在線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性預(yù)測(cè)分析，一些非線性模型對(duì)切削系統(tǒng)參數(shù)和切削工藝對(duì)穩(wěn)定性的影響分析仍然不夠完善.本文綜合考慮切削時(shí)滯、非線性切削力以及刀具和工件變形引起的正反饋剛度對(duì)切削系統(tǒng)顫振的作用，利用多尺度法研究系統(tǒng)參數(shù)和加工工藝參數(shù)對(duì)系統(tǒng)主共振和次共振的影響，從而準(zhǔn)確獲取非線性切削系統(tǒng)的穩(wěn)定切向區(qū)域.

1 正交切削系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型

為了分析切削系統(tǒng)的穩(wěn)定性，考慮圖1所示的轉(zhuǎn)動(dòng)零件正交切削模型.圖中：F0為主切削力，β為切削力與工件切向的夾角，α為主支撐方向u與工件切向的夾角，坐標(biāo)系xOy為工件坐標(biāo)系，工件直徑為d，以角速度Ω轉(zhuǎn)動(dòng)，工件切削點(diǎn)的角位移為θ(t)，t為時(shí)間，u方向的等效質(zhì)量、支撐剛度及阻尼分別為M、K和C，h為切削的厚度，根據(jù)文獻(xiàn)[11]對(duì)切削厚度的定義，并將其投影到u方向，可以表示為

圖1 正交切削模型Fig.1 Orthogonal cutting model

h=st+Δxsinθ(t)+Δycosθ(t)=

st+Δu(sinαsinθ(t)+cosαcosθ(t))=

st+Δucos(θ-α)

(1)

式中：st為靜態(tài)切削厚度；t為切削時(shí)間；Δx=x(t-τ0)-x(t)，Δy=y(t-τ0)-y(t)，Δu=u(t-τ0)-u(t), 時(shí)滯τ0=60/Ω，θ=2πΩt/60.

由文獻(xiàn)[12-13]可知，在切削平面內(nèi)的有效作用力為

(2)

(3)

式中：ρ0為剛度系數(shù)，根據(jù)切削材料和工藝確定；系數(shù)μ和α1、α2對(duì)于不同切削工藝根據(jù)實(shí)驗(yàn)確定；切削速度v=πdΩ/60；b為切削寬度；Fr為x方向的刀具與工件的擠壓力；vC為軸向進(jìn)給速度；F2為Fr的幅值.

F0=ρ0b(1+μe-α1v)st+

ρ0b(1+μe-α1v)Δucos(θ-α)+

(4)

Fr=|F2|eα2vC-

(5)

根據(jù)圖1的坐標(biāo)關(guān)系，u方向的總切削力為

Fu=F0cos(β-α)+Frsinα+κFrcosα=

(6)

F00=ρ0b(1+μe-α1v)stcos(β-α)+

(sinα+κcosα)|F2|eα2vC

F01=ρ0bstμe-α1vα1cos(β-α)cosα-

|F2|eα2vCα2(sinα+κcosα)sinα

F03=ρ0b(1+μe-α1v)cos(β-α)

F04=ρ0bμe-α1vα1cos(β-α)cosα

式中：κ為刀具和工件之間的摩擦因數(shù).

(7)

2 線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析

其中：X(s)和F0(s)分別表示x和F0的Laplace變換；s為拉氏變量.令s=jωc，j為虛數(shù)單位，ωc為顫振頻率，代入傳遞函數(shù)公式，經(jīng)變換得到系統(tǒng)的極限切削寬度為

(8)

式中：切削系數(shù)Ks=ρ0(1+μe-α1v)；Re(·)以及 Im(·) 分別表示函數(shù)的實(shí)部和虛部.顫振頻率為

(9)

式中：Θ為單個(gè)波附加分?jǐn)?shù)相位；N=0, 1, …為振動(dòng)波數(shù)，即lobe數(shù).

根據(jù)文獻(xiàn)[12-13]，切削系統(tǒng)的初始參數(shù)由表1給出.后續(xù)未作特別說(shuō)明，參數(shù)均為初始參數(shù).

表1 初始切削系統(tǒng)參數(shù)Tab.1 Initial parameters of cutting system

根據(jù)式(9)得到的系統(tǒng)的穩(wěn)定性lobe圖如圖2(a)所示.可以看出，本文所得lobe圖最小切削寬度較應(yīng)用文獻(xiàn)[16]方法計(jì)算得到的最小切削寬度(圖2(b))大，這可能是因?yàn)棣?0使工件轉(zhuǎn)動(dòng)對(duì)切削時(shí)滯的影響被忽略，導(dǎo)致切削中穩(wěn)定性lobe圖不準(zhǔn)確，因此與文獻(xiàn)[16]方法所得lobe圖相差較大.但由于文獻(xiàn)[16]給出的方法在低速切削時(shí)，容易引起系統(tǒng)矩陣

圖2 系統(tǒng)lobe圖Fig.2 Lobe diagrams of system

Ψ=

的不可逆，所以其對(duì)切削系統(tǒng)的準(zhǔn)確性分析也存在一定不足.

3 切削系統(tǒng)的多尺度法分析

εf3cos(ωτ-α)[x-x(τ-τ0)]+

εk1x2+εk2x3

(10)

設(shè)時(shí)間尺度Tr=εrτ，(r=0，1，…)，假定式(10)的解為

x(τ)=x0(T0,T1, …)+εx1(T0,T1, …)+

ε2x2(T0,T1, …)+…

(11)

x(τ-τ0)=x0r(T0,T1, …)+εx1r(T0,T1, …)+

εx2r(T0,T1, …)+…

(12)

定義導(dǎo)算子：

(13)

(14)

式中：D0、D1及D2是導(dǎo)算子，分別表示對(duì)T0、T1及T2求導(dǎo).將式(11)～(14)代入(10)，令ε同次冪相等，可得線性偏微分方程組：

(15)

f5cos(ωT0-α)(D0x0)2(x0-xτ0)

(16)

設(shè)式 (15)的解為

x0=A(T1,T2, …)ejT0+

(17)

xτ0=Aτ(T1,T2, …)ej(T0-τ)+

(18)

而且Aτ(T1)=Aτ(T1-ετ)≈A(T1)-ετD1A(T1)，所以有：

(19)

將(17)～(19)代入(16)可得：

(20)

式中：δ為公式前面各項(xiàng)的復(fù)共軛.可以看出，引入調(diào)諧參數(shù)σ后， 在ω=1+εσ附近系統(tǒng)會(huì)發(fā)生主共振，在ω=2+εσ、3+εσ和4+εσ附近系統(tǒng)存在 1/2、1/3及1/4次亞共振，由于1/3和1/4次亞共振對(duì)切削系統(tǒng)的穩(wěn)定性影響較小，所以本文主要研究切削參數(shù)對(duì)主共振和1/2次共振的影響.

3.1 主共振

當(dāng)ω=1+εσ時(shí)，會(huì)觸發(fā)切削系統(tǒng)的主共振，根據(jù)式(20)，為了消除久期項(xiàng)，要求：

2jD1AejT0

(21)

(22)

令式(22)左側(cè)為0，并消去φ，則定常解的幅頻關(guān)系為

(23)

3.2 1/2次亞共振

根據(jù)式(20)，當(dāng)ω=2+εσ時(shí)也可能觸發(fā)系統(tǒng)的共振，為消除久期項(xiàng)，令

(24)

(25)

令式(25)左側(cè)為0，并消去φ，定常解的幅頻關(guān)系可寫為

(4f3+f5a2)2(1-cosτ)2+

(4f3sinτ+4f0f4+3f5a2sinτ)2=

(26)

4 切削系統(tǒng)數(shù)值仿真分析

4.1 切削參數(shù)對(duì)主共振的影響

圖3所示為切削參數(shù)對(duì)主共振的影響，虛線表示不穩(wěn)定分支，實(shí)線為穩(wěn)定分支.由圖3(a)可以看出，隨著b的增加，主共振在低速和高速切削的不穩(wěn)定區(qū)域逐漸擴(kuò)展，在250～350 r/min內(nèi)由間斷不穩(wěn)定逐漸轉(zhuǎn)變?yōu)檫B續(xù)不穩(wěn)定，當(dāng)b=3.5 mm時(shí)主共振在0～4 400 r/min均會(huì)出現(xiàn)不穩(wěn)定.而且在b較大時(shí)會(huì)使骨架曲線左移，導(dǎo)致主共振頻率降低，幅值增大.圖3(b)表明，當(dāng)st增大時(shí)，不穩(wěn)定區(qū)域亦逐漸增大，主共振峰值左移，共振頻率下降，其對(duì)主共振的影響與b相似，而st對(duì)主共振的影響更加顯著.圖 3(c) 表明，隨著vC增大，不穩(wěn)定區(qū)域逐漸擴(kuò)展，主共振峰值增大，低速時(shí)的間斷不穩(wěn)定逐漸擴(kuò)展為連續(xù)不穩(wěn)定，但vC不影響主共振頻率.圖3(d)表明，d越小，主共振的峰值越大，低速時(shí)的不穩(wěn)定區(qū)域隨d的減小而增加，但其對(duì)主共振穩(wěn)定性影響較小.

圖3 切削參數(shù)對(duì)主共振的影響Fig.3 Influence of cutting parameters on primary resonance

圖4所示為系統(tǒng)參數(shù)對(duì)主共振的影響.由圖4(a)可以看出，隨著K的減小，主共振在低頻和高頻切削的不穩(wěn)定區(qū)域逐漸增大，當(dāng)K=500 N/mm時(shí)主共振在0～3 040 r/min均會(huì)出現(xiàn)不穩(wěn)定.而且K越大，主共振頻率越大，高頻峰值越小.圖4(b)表明，當(dāng)2次剛度系數(shù)K1增加時(shí)，主共振的穩(wěn)定性幾乎不變，但主共振骨架曲線左移，低頻幅值逐漸減小.在圖4(c)中可見(jiàn)，隨著3次剛度系數(shù)K2逐漸增加，主共振的不穩(wěn)定區(qū)域逐漸擴(kuò)展，但變化較小，而且K2的增加會(huì)使主共振高頻峰值左移，導(dǎo)致低速切削時(shí)的幅值減小.圖4(d)表明，由于工件的硬度、強(qiáng)度等增加，使得刀具ρ0增加，引起主共振不穩(wěn)定區(qū)域逐漸增加，主共振峰值不斷增大，同時(shí)也可以看出ρ0增加會(huì)使主共振峰值頻率減小.

圖4 系統(tǒng)參數(shù)對(duì)主共振的影響Fig.4 Influence of system parameters on primary resonance

4.2 切削參數(shù)對(duì)1/2次亞共振的影響

圖5所示為切削參數(shù)對(duì)1/2次共振的影響.由圖5(a)可以看出，隨著b的增加， 1/2次共振的不穩(wěn)定區(qū)域逐漸增大，共振幅值逐漸減小，而且較大的b會(huì)使發(fā)生1/2次共振頻率范圍縮小.由圖5(b)可以看出，當(dāng)st增大時(shí)，發(fā)生1/2次共振頻率范圍逐漸縮小，但不穩(wěn)定區(qū)域幾乎保持不變，與b對(duì)1/2次共振的影響相似，增加st會(huì)使共振幅值逐漸減小.由圖5(c)可以看出，vC越大，不穩(wěn)定區(qū)域越大，但變化較小，而且vC不影響發(fā)生1/2次共振頻率范圍.由圖5(d)可以看出，d越小，1/2次共振的峰值越大，但d對(duì)發(fā)生1/2次共振的頻率范圍和穩(wěn)定性影響較小.

圖5 切削參數(shù)對(duì)1/2次共振的影響Fig.5 Influence of cutting parameters on 1/2 subresonance

圖6所示為系統(tǒng)參數(shù)對(duì)1/2次共振的影響.由圖6(a)可以看出， 隨著K的減小， 1/2次共振的不穩(wěn)定區(qū)域逐漸增大，共振幅值也不斷減小，而且發(fā)生1/2次共振頻率范圍也不斷縮小.圖6(b)表明，K1增加，1/2次共振的穩(wěn)定性區(qū)域幾乎沒(méi)有變化，但1/2次共振頻率范圍會(huì)向低頻移動(dòng)， 而且振動(dòng)幅值也逐漸減小.在圖6(c)中可見(jiàn)，K2增加，會(huì)使1/2次共振頻率范圍縮小，但K2對(duì)1/2次共振的穩(wěn)定性影響較小，而且振動(dòng)幅值縮減更加顯著.圖6(d)表明，ρ0增加，切削難度增加，此時(shí)1/2次共振不穩(wěn)定區(qū)域逐漸增加，但會(huì)導(dǎo)致1/2次共振頻率范圍縮小，振動(dòng)幅值下降.

圖6 系統(tǒng)參數(shù)對(duì)1/2次共振的影響Fig.6 Influence of system parameters on 1/2 subresonance

4.3 切削系統(tǒng)整體穩(wěn)定性分析

圖7所示為切削寬度和轉(zhuǎn)速對(duì)系統(tǒng)的穩(wěn)定性云圖，紅色表示不穩(wěn)定，藍(lán)色為穩(wěn)定區(qū)域.在整體切削穩(wěn)定性云圖7(a)中可以看出，由于高速切削時(shí)切削區(qū)域能量不變，而切削區(qū)域塑性變形量和切削與前刀面摩擦因數(shù)減小，導(dǎo)致切削力下降，所以高速切削時(shí)最小切削寬度較大，但由于時(shí)滯和工件表面高速波動(dòng)，極限切削寬度隨轉(zhuǎn)速增量較小.通過(guò)圖2(a)與圖7(a)的比較可以看出，二者切削寬度的最小值基本相近，但由于系統(tǒng)的非線性行為，圖7(a)中的極限切削寬度比圖2(b)要小.圖7(b)～7(e)分別為主共振和1/2、1/3及1/4次共振的穩(wěn)定性云圖.可以看出，不同轉(zhuǎn)速下，主共振和次共振的穩(wěn)定域不同，特定轉(zhuǎn)速和切削條件下可能誘發(fā)幾種組合共振導(dǎo)致的不穩(wěn)定，而且主共振和1/3次共振的最小切削寬度b較1/2和1/4次共振大，1/2次共振極限切削寬度b最小，因此其對(duì)切削穩(wěn)定性的影響最大，這一現(xiàn)象也表明正交切削系統(tǒng)中的不穩(wěn)定主要由次共振引發(fā)，這與文獻(xiàn)[7]中的結(jié)論一致.

在圖7中分別取得點(diǎn)A(1 000 r/min, 1 mm)、B(2 500 r/min, 1 mm)、C(4 000 r/min, 2 mm)、D(6 000 r/min, 2 mm)和E(6 000 r/min, 4 mm)作為切削參數(shù)，應(yīng)用4階Runge-Kutta法對(duì)式(5)進(jìn)行數(shù)值求解，其時(shí)域、相圖(藍(lán)色)和龐加萊相圖(紅色)如圖8所示.可以看出，由于1/2和1/4次共振的不穩(wěn)定，在低速切削時(shí)圖8(a)和8(b)出現(xiàn)較復(fù)雜的準(zhǔn)周期和倍周期運(yùn)動(dòng)，而當(dāng)Ω=4 000 r/min時(shí)，主共振和次共振均呈現(xiàn)不穩(wěn)定，導(dǎo)致圖8(c)出現(xiàn)更加復(fù)雜的混沌行為.當(dāng)系統(tǒng)僅存在1/2和1/3次共振不穩(wěn)定時(shí)，對(duì)應(yīng)的圖8(e)中，也主要呈現(xiàn)近似的準(zhǔn)周期運(yùn)動(dòng).而當(dāng)系統(tǒng)在穩(wěn)定點(diǎn)D處，圖8(d)系統(tǒng)呈現(xiàn)周期運(yùn)動(dòng)特性.由此可知，由于切削系統(tǒng)不穩(wěn)定導(dǎo)致的準(zhǔn)周期和混沌行為會(huì)引發(fā)x的幅值波動(dòng)，從而使工件加工表面的不平順度增加，造成表面加工質(zhì)量惡化.

圖7 切削系統(tǒng)的穩(wěn)定性云圖Fig.7 Stability diagram of cutting system

圖8 時(shí)域響應(yīng)和相圖Fig.8 Time response and phase diagram

5 結(jié)論

通過(guò)對(duì)刀具系統(tǒng)非線性動(dòng)力學(xué)行為的分析，可以得出如下結(jié)論：

(1) 刀具和工件變形引起的切削系統(tǒng)2次和3次非線性剛度會(huì)誘發(fā)系統(tǒng)的1/2、1/3及1/4次諧波共振，系統(tǒng)的1/2次共振對(duì)系統(tǒng)的穩(wěn)定性有較大影響；

(2) 考慮非線性因素的切削系統(tǒng)能夠更加準(zhǔn)確地預(yù)測(cè)切削系統(tǒng)的穩(wěn)定性，而且可以確定導(dǎo)致系統(tǒng)發(fā)生不穩(wěn)定的主要共振行為；

(3) 較大的b和st會(huì)導(dǎo)致主共振和1/2次共振峰值頻率減小，使切削系統(tǒng)穩(wěn)定性變差.vC增加也會(huì)引起不穩(wěn)定區(qū)域擴(kuò)展，但影響較小.d不影響切削的穩(wěn)定性，但較小的d會(huì)增大共振幅值；

(4)K減小，系統(tǒng)共振幅值增大，穩(wěn)定性變差.非線性剛度K1和K2對(duì)切削系統(tǒng)的穩(wěn)定性影響較小，但會(huì)導(dǎo)致主共振和次共振峰值頻率減小.ρ0增加使系統(tǒng)穩(wěn)定性變差，而且也會(huì)導(dǎo)致共振頻率減小.