面向鮮食葡萄無損采運(yùn)的果穗系統(tǒng)振碰復(fù)合動(dòng)力學(xué)建模

劉繼展， 陽開雨

(江蘇大學(xué) 農(nóng)業(yè)工程學(xué)院， 江蘇 鎮(zhèn)江 212013)

我國葡萄生產(chǎn)在近40年得到了極大的發(fā)展，據(jù)統(tǒng)計(jì)，2017年我國葡萄總產(chǎn)量1 316.1萬t，其中85%為鮮食葡萄，其產(chǎn)量和消耗量均占全球的1/2.生產(chǎn)中鮮食葡萄必須以成串的形式完成摘取、夾送、夾放、躺放和產(chǎn)后的分選、裝箱、運(yùn)輸?shù)炔蛇\(yùn)全周期的作業(yè).在此過程中，果穗因?yàn)檎駝?dòng)、碰撞而掉落、腐爛的損失高達(dá)20%～30%,而果串完整性和果粒無損性是鮮食葡萄品質(zhì)評(píng)價(jià)的兩大指標(biāo)[1].顯然，落粒與傷粒問題已經(jīng)成為了鮮食葡萄產(chǎn)運(yùn)全過程中的瓶頸.

近年來，國內(nèi)外學(xué)者對(duì)葡萄果實(shí)采運(yùn)過程中因?yàn)檎駝?dòng)和碰撞造成的落粒與傷粒的問題展開了一系列的研究.針對(duì)葡萄果穗的振動(dòng)問題，文獻(xiàn)[2]發(fā)現(xiàn)了葡萄果穗在夾持移送啟停與加持部位不同的情況下，振動(dòng)影響果粒脫落率的規(guī)律；文獻(xiàn)[3]利用低頻運(yùn)輸試驗(yàn)臺(tái)進(jìn)行試驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，40 Hz振動(dòng)頻率對(duì)巨峰葡萄的損傷最大；文獻(xiàn)[4]試驗(yàn)發(fā)現(xiàn)了5～10 Hz振動(dòng)對(duì)包裝鮮食葡萄果穗的落粒率影響最大；文獻(xiàn)[5]將果梗離散為5 mm小圓柱并以Bush連接實(shí)現(xiàn)柔性化、果粒與果柄之間采用彈簧阻尼模型建立了三維葡萄果穗模型.針對(duì)葡萄果穗系統(tǒng)中果粒碰撞的問題，文獻(xiàn)[6]通過試驗(yàn)發(fā)現(xiàn)葡萄果粒的跌落沖擊對(duì)生理品質(zhì)有顯著影響；文獻(xiàn)[7]利用電子果實(shí)對(duì)機(jī)械采收和運(yùn)輸過程中葡萄果粒的碰撞進(jìn)行了研究.但是，對(duì)葡萄果穗內(nèi)果粒碰撞，以及對(duì)其振碰復(fù)合模型的研究較少.

為探明鮮食葡萄產(chǎn)運(yùn)全過程中果穗振動(dòng)與果粒碰撞的內(nèi)在規(guī)律，文中開展葡萄果穗振碰復(fù)合動(dòng)力學(xué)模型的研究，揭示產(chǎn)運(yùn)過程中振碰導(dǎo)致的脫粒和傷粒規(guī)律，為實(shí)現(xiàn)高效低損的鮮食葡萄作業(yè)提供參考.

1 激勵(lì)異質(zhì)性與振碰復(fù)合性

在采運(yùn)全周期，鮮食葡萄經(jīng)受摘取、夾送、躺放、運(yùn)輸時(shí)，分別從主穗軸，底部輸入夾剪偏差激勵(lì)、啟停激勵(lì)、沖擊激勵(lì)、周期激勵(lì)，如圖1所示，并引起果穗具有明顯分布差異的自由振動(dòng)、強(qiáng)迫振動(dòng)和并發(fā)的果粒碰撞.果穗的振碰對(duì)果穗的落粒和果粒的傷粒有促進(jìn)作用，所以探明果穗振碰規(guī)律對(duì)于解決落粒、傷粒問題有重要的意義.

圖1 鮮食葡萄采運(yùn)全周期的多級(jí)異質(zhì)激勵(lì)

2 模型基本假設(shè)與結(jié)構(gòu)說明

2.1 基本假設(shè)

葡萄果穗振碰復(fù)合動(dòng)力學(xué)模型的基本假設(shè)如下：① 假設(shè)果粒碰撞時(shí)不考慮果粒與果粒之間的摩擦效應(yīng)；② 假設(shè)主穗軸、果粒材質(zhì)分別具有各項(xiàng)同性，忽視果皮、果肉材質(zhì)不同的影響；③ 假設(shè)只有果粒之間發(fā)生碰撞；④ 假設(shè)果梗和支梗均可由單個(gè)剛體圓柱或多個(gè)圓柱組成的剛體表示.

2.2 結(jié)構(gòu)說明

葡萄果穗系統(tǒng)屬于典型的帶約束碰撞的非線性黏彈性體多體系統(tǒng).為此，采用剛?cè)狁詈辖５乃悸?，在文獻(xiàn)[8]提出的方法上進(jìn)一步改進(jìn)，提出了“柔性桿—鉸鏈—?jiǎng)傂詶U—柔性球”的方法，如圖2所示.即主穗軸為柔性桿，支梗與果梗為剛性桿，果粒是柔性球，主穗軸與支梗之間以及支梗與果梗之間連接由黏彈性鉸鏈定義，果梗與果粒之間固定連接.

圖2 葡萄果穗振碰復(fù)合模型

3 葡萄果穗系統(tǒng)振動(dòng)動(dòng)力學(xué)模型

3.1 主穗軸和果粒的動(dòng)力學(xué)方程

文中建立的葡萄果穗振碰模型中的主穗軸和果粒是柔性體，與目前商用多體動(dòng)力學(xué)軟件相似，都是采用的絕對(duì)節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)法對(duì)柔性體進(jìn)行處理，能夠有效地處理葡萄果穗系統(tǒng)在多源異質(zhì)激勵(lì)情況下的振碰復(fù)合仿真.采用絕對(duì)節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)法對(duì)柔性體劃分三維實(shí)體單元.三維實(shí)體單元常采用的標(biāo)準(zhǔn)形式有梁單元、四面體單元、五面體單元等.由于農(nóng)作物形狀不規(guī)則的性質(zhì)，文中采用比較簡單的四面體單元來說明.從主穗軸和果粒中選取一顆果粒作為研究對(duì)象，由于柔性果粒離散的四面體單元過多，文中選取果粒上一點(diǎn)P所在的實(shí)體單元來進(jìn)行說明，如圖3所示.

圖3 果粒四面體單元

在圖3b中全局坐標(biāo)系下，單元的節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)可表示為

exy=[(exy1)T(exy2)T… (exyn)T]T，

(1)

式中：exyn為第n個(gè)單元節(jié)點(diǎn)坐標(biāo).

帶果梗約束的果粒在外部激勵(lì)下做振碰運(yùn)動(dòng)的過程中，實(shí)體單元會(huì)發(fā)生變形，變形會(huì)引起單元內(nèi)任意一點(diǎn)P的移動(dòng)，所以對(duì)于移動(dòng)的描述，單元內(nèi)點(diǎn)P的絕對(duì)坐標(biāo)r可由單元節(jié)點(diǎn)e來表示：

rxy=Nxyexy，

(2)

式中：Nxy為四面體單元的形函數(shù)，不同的實(shí)體單元具有不同的形函數(shù).

根據(jù)式(2)，葡萄果粒實(shí)體單元的動(dòng)能為

(3)

根據(jù)連續(xù)介質(zhì)力學(xué)理論，果粒實(shí)體單元的勢能為

(4)

式中：εxy為Green應(yīng)變張量；σxy為第二Piola-kirchhoff應(yīng)力張量.

果粒實(shí)體單元的Green應(yīng)變張量εxy以位移的線性和非線性部分來表示：

(5)

由式(5)，可得到虛應(yīng)變?yōu)?/p>

(6)

由虛功原理，結(jié)合式(6)，可推出：

(7)

將式(5)代入式(7)，可以得到單元的彈性力為

(8)

由虛功原理，可得到柔性體果粒單元的動(dòng)力學(xué)方程：

(9)

即

(10)

3.2 支梗和果梗的動(dòng)力學(xué)方程

傳統(tǒng)的多體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)軟件使用的絕對(duì)節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)法對(duì)于剛?cè)狁詈系亩囿w系統(tǒng)的剛性物體也要?jiǎng)澐謫卧@樣導(dǎo)致純粹的絕對(duì)節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)法較難處理葡萄果穗系統(tǒng)支梗果梗這種剛體比較多的模型.文中建立的葡萄果穗振碰復(fù)合模型中，支梗和果梗都是剛體，都是由不同尺寸的圓柱剛體或多個(gè)圓柱剛體組合而成的，如圖4所示.

圖4 支梗和果梗示意圖

對(duì)剛體使用兩基點(diǎn)的絕對(duì)坐標(biāo)矢量描述剛體的位置和方向：

(11)

式中：dz為包含基點(diǎn)A和B的圓柱體的非獨(dú)立坐標(biāo)矢量(見圖5).

圖5 兩基點(diǎn)圓柱剛體

A和B兩基點(diǎn)具有剛體距離約束：

(12)

由式(11)、(12)，可得到剛體的動(dòng)力學(xué)方程：

(13)

3.3 果穗系統(tǒng)振動(dòng)動(dòng)力學(xué)方程

由式(10)、(13)，可得葡萄果穗系統(tǒng)的振動(dòng)動(dòng)力學(xué)方程：

(14)

式中：C為剛體與柔體之間的約束方程；Cp為剛體與柔性體對(duì)廣義坐標(biāo)p的Jacobi矩陣.

4 葡萄果穗系統(tǒng)振碰復(fù)合動(dòng)力學(xué)模型

4.1 果粒實(shí)體單元應(yīng)力的計(jì)算

在果穗振碰復(fù)合模型中，果粒均為柔性實(shí)體，而且農(nóng)作物普遍具有黏彈性的特點(diǎn).假設(shè)果粒材料各向同性，所以根據(jù)文獻(xiàn)[10]，可知三維分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)黏彈性本構(gòu)方程為

(15)

式中：h、d分別代表應(yīng)力或應(yīng)變的球量和偏量；G0為剪切松弛模量；G∞為初始彈性剪切模量；K0為體積松弛模量；K∞為初始體積模量.

依據(jù)分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)算子的定義以及由Green應(yīng)變張量E表示的應(yīng)變矢量與第二Piola-kirchhoff應(yīng)力張量S表示的應(yīng)力矢量，代入式(15)，可得到黏彈性體的應(yīng)力表達(dá)式[11]：

(16)

式中：Ni=τ0(h)-αAi；(D0D1D2)∈R6×6；[D0]=3K0Th+2G0Td；[D1]=3K∞Th+2G∞Td，[D2]為單位矩陣；

由式(16)可知：t時(shí)刻葡萄果粒的應(yīng)力σ與該時(shí)刻的應(yīng)變?chǔ)藕蛅時(shí)刻之前的應(yīng)力和應(yīng)變都相關(guān)，這充分體現(xiàn)了黏彈性材料的遺傳性質(zhì).同時(shí)，根據(jù)分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)算子的離散過程可知，顯然Nj>Nj+1，表明t時(shí)刻葡萄果粒的應(yīng)力與t附近時(shí)刻的應(yīng)力、應(yīng)變關(guān)系遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于非t附近時(shí)刻的應(yīng)力、應(yīng)變，這充分體現(xiàn)了黏彈性材料的衰退記憶性質(zhì).

4.2 碰撞檢測

文中研究的碰撞問題主要是針對(duì)果粒之間的碰撞，所以假設(shè)碰撞只發(fā)生在葡萄果粒之間，忽視主穗軸、支梗、果梗之間的碰撞.因?yàn)橐瓿晒Ｅ鲎搽A段的仿真計(jì)算，所以判斷果粒是否發(fā)生碰撞成為了關(guān)鍵點(diǎn).碰撞示意圖如圖6所示，M、N兩顆果粒發(fā)生相對(duì)運(yùn)動(dòng)時(shí)，如果碰撞發(fā)生，會(huì)產(chǎn)生碰撞接觸點(diǎn)，沒有發(fā)生碰撞則沒有碰撞點(diǎn).圖中:

圖6 葡萄果粒碰撞示意圖

n為接觸面單位法向量；τ為接觸面單位切向量；K為等效彈簧彈性模量.

可能發(fā)生碰撞的點(diǎn)的碰撞侵入深度：

v=nT(rn-rm)，

(17)

檢測可能發(fā)生碰撞的點(diǎn)是否發(fā)生了碰撞，發(fā)生碰撞的判據(jù)式：

v<0.

(18)

4.3 碰撞力計(jì)算

確定果粒發(fā)生碰撞后，進(jìn)行接觸力的計(jì)算.因?yàn)槠咸驯砥ひ话銇碚f比較光滑，所以假設(shè)忽略摩擦的影響.根據(jù)Hertz接觸理論可知，此時(shí)接觸力的數(shù)值大小就等于碰撞力的數(shù)值.果粒是黏彈性材料，因此葡萄果穗振碰耦合模型采用Kelvin模型來求解圖6中所示的M和N兩顆果粒之間碰撞力的大小.Kelvin模型是由開爾文元件一個(gè)理想彈簧和一個(gè)理想勃壺并聯(lián)而成的[12]，碰撞力可根據(jù)Kelvin模型算出：

(19)

根據(jù)虛功原理，作用在果粒上任一點(diǎn)處的碰撞力可轉(zhuǎn)化為單元廣義力：

(20)

4.4 動(dòng)力學(xué)方程求解

由式(14)、(16)、(19)、(20)，可得鮮食葡萄果穗系統(tǒng)振碰復(fù)合的動(dòng)力學(xué)方程：

(21)

式中：Mx為柔性系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣；Mz為剛體系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣；q為柔性系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)列陣；d為剛性系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)列陣；λ為拉格朗日乘子列陣；C(qx,dz,t)為系統(tǒng)的約束方程；p=[qxTdzT]；Cp為約束方程對(duì)p的偏導(dǎo)數(shù)矩陣；Q為系統(tǒng)的廣義外力；Fx為柔性系統(tǒng)當(dāng)前時(shí)刻的彈力；σ為黏彈性體的應(yīng)力.

(22)

式中：αi為BDF中的積分系數(shù)；k為積分階數(shù),具體形式可以參考文獻(xiàn)[13].

通過積分方法可以得到式(21)的非線性方程組，然后采用牛頓迭代法在迭代過程中求解方程式和C(qx,dz,t)=0的Jacobi矩陣.至此，非線性方程組得以求解.

由式(21)可知，質(zhì)量矩陣Mx、Mz為常數(shù)矩陣，該式中不存在非線性科式力和離心力項(xiàng)[14]，不僅可以避免坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換的麻煩，還可以得到果穗系統(tǒng)振碰動(dòng)力學(xué)方程.通過代入數(shù)值計(jì)算，便能得到果穗系統(tǒng)狀態(tài)變量對(duì)時(shí)間的微商為核心項(xiàng)的描述狀態(tài)變量隨時(shí)間變化的等式[15]，從而達(dá)到從數(shù)值上描述果穗系統(tǒng)力與運(yùn)動(dòng)之間關(guān)系的目的.因?yàn)橹Ч９２捎玫淖匀蛔鴺?biāo)法來描述，所以建立的動(dòng)力學(xué)方程在一定程度上相比傳統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)軟件仿真能減少計(jì)算量，提高仿真計(jì)算效率，對(duì)于葡萄果穗這樣特殊的剛體、柔性體過多的系統(tǒng)能夠達(dá)到較快仿真運(yùn)算速度的效果.

5 結(jié) 論

1) 基于絕對(duì)節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)法和自然坐標(biāo)法分別構(gòu)建了葡萄果粒主穗軸和支梗果柄的動(dòng)力學(xué)方程，并在此基礎(chǔ)上得到了葡萄果穗系統(tǒng)的振動(dòng)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程.

2) 在振動(dòng)動(dòng)力學(xué)方程的基礎(chǔ)上，根據(jù)虛功原理和連續(xù)介質(zhì)力學(xué)原理求解得到的主穗軸和果粒的彈性力表達(dá)式，引入了三維分?jǐn)?shù)階粘彈性本構(gòu)方程并得到了果粒的應(yīng)力表達(dá)式，以及Hertz模型和Kelvin模型得到的果粒碰撞力求解方法，導(dǎo)入到振動(dòng)動(dòng)力學(xué)方程中，最終得到了葡萄果穗系統(tǒng)振碰復(fù)合動(dòng)力學(xué)方程.

3) 得到的葡萄果穗振碰復(fù)合動(dòng)力學(xué)方程，是實(shí)現(xiàn)特定激勵(lì)下葡萄果穗狀態(tài)變量數(shù)值化的結(jié)果，而傳統(tǒng)的多體動(dòng)力學(xué)軟件的仿真則是振碰運(yùn)動(dòng)狀態(tài)變量可視化的結(jié)果.后續(xù)可基于Matlab數(shù)值計(jì)算平臺(tái)求解本文方程的解，從而為今后高效低損的鮮食葡萄作業(yè)提供參考.