三角函數(shù)概念與數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的關(guān)系

趙四

摘? 要：分析具體數(shù)學(xué)內(nèi)容與數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的關(guān)系是達(dá)成數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的有效方式. 數(shù)學(xué)“四基”是學(xué)生形成和發(fā)展數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的有效載體，數(shù)學(xué)史是理解“四基”內(nèi)涵和關(guān)系的線索. 基于數(shù)學(xué)發(fā)生、發(fā)展的視角，以三角函數(shù)的概念為抓手，分析數(shù)學(xué)“四基”與數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的結(jié)合點(diǎn)，建構(gòu)數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)“四基”的關(guān)系，形成分析具體數(shù)學(xué)內(nèi)容與數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)關(guān)系的一般模式.

關(guān)鍵詞：三角函數(shù);核心素養(yǎng);“四基”

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》（以下簡稱《標(biāo)準(zhǔn)》）指出數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)包括：數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)據(jù)分析. 數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想、基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)（統(tǒng)稱“四基”）是支撐數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)培養(yǎng)的基礎(chǔ). 在實(shí)際教學(xué)中，讓學(xué)生形成和發(fā)展數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)需要將數(shù)學(xué)內(nèi)容與數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)進(jìn)行有機(jī)結(jié)合.

三角函數(shù)作為中學(xué)初等函數(shù)的重要內(nèi)容，是溝通初等數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)的橋梁，以三角函數(shù)為研究對(duì)象具有重要意義. 以發(fā)生、發(fā)展的觀點(diǎn)運(yùn)用數(shù)學(xué)史，能消解學(xué)生通向數(shù)學(xué)理解的認(rèn)知障礙，幫助教師理解學(xué)生的學(xué)習(xí)心理，準(zhǔn)確把握教學(xué)的重點(diǎn)、難點(diǎn)和關(guān)鍵點(diǎn). 本文基于數(shù)學(xué)發(fā)生、發(fā)展的視角，剖析三角函數(shù)概念的“四基”模塊與數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的關(guān)系，提出一個(gè)分析具體數(shù)學(xué)內(nèi)容與數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)關(guān)系的模式，以期為一線教師有效開展基于核心素養(yǎng)培養(yǎng)的數(shù)學(xué)教學(xué)提供參考.

本文主要圍繞以下問題展開：從數(shù)學(xué)發(fā)生、發(fā)展的視角，理解三角函數(shù)概念的本質(zhì)，理解教材的編寫意圖;三角函數(shù)概念中蘊(yùn)含的“四基”與數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的關(guān)系如何;數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)“四基”的關(guān)系.

一、三角函數(shù)概念的本質(zhì)

歷史相似性原理表明，數(shù)學(xué)概念的歷史發(fā)展過程與學(xué)生的認(rèn)知過程存在一定的相似性. 本文以人教A版《普通高中教科書·數(shù)學(xué)》（以下統(tǒng)稱“新教材”）必修第一冊第五章“三角函數(shù)”為例，從數(shù)學(xué)發(fā)生、發(fā)展的角度出發(fā)，理解三角函數(shù)概念的本質(zhì)，領(lǐng)會(huì)教材編寫意圖.

1. 三角函數(shù)的歷史回溯

早期的三角學(xué)與天文學(xué)密不可分，古希臘天文學(xué)家希帕恰斯（Hipparchus，公元前2世紀(jì)）、梅內(nèi)勞斯（Menelaus，1世紀(jì)）和托勒密（Ptolemy，2世紀(jì)）相繼制作了弦表，相當(dāng)于計(jì)算半角正弦的兩倍. 印度數(shù)學(xué)家阿耶波多（Aryabhata，476—550）默認(rèn)曲線和直線可以用同一單位，這正是弧度制的精髓. 他計(jì)算的半弦相當(dāng)于現(xiàn)在的正弦線.

德國數(shù)學(xué)家雷格蒙塔努斯（Regiomontanus，1436—1476）于1464年完成《論各種三角形》一書，這部著作標(biāo)志著三角學(xué)從天文學(xué)中獨(dú)立出來. 哥白尼的學(xué)生雷蒂庫斯（Rheticus，1514—1576）把弧的正弦改成了銳角的正弦，把三角函數(shù)定義為直角三角形的邊長之比，從而使平面三角學(xué)從球面三角學(xué)中獨(dú)立出來.

法國大數(shù)學(xué)家韋達(dá)（Viete，1540—1603）是第一個(gè)將代數(shù)方法系統(tǒng)地應(yīng)用到三角學(xué)中的數(shù)學(xué)家. 自此，三角學(xué)開始呈現(xiàn)出現(xiàn)代解析的性質(zhì). 大約在1729年，歐拉（Euler，1707—1783）發(fā)展了用三角級(jí)數(shù)表示函數(shù)的理論，函數(shù)的思想成了三角學(xué)和分析的組成部分. 正弦不再是線段，而是變成了數(shù)值或比值，是單位圓上點(diǎn)的縱坐標(biāo). 在《無窮小分析引論》一書中，歐拉給出了與現(xiàn)代形式非常相似的三角函數(shù)名稱，引入了任意角和弧度制，弄清楚了三角函數(shù)的周期性. 從此，三角學(xué)從靜態(tài)地研究三角形解法的狹隘天地中解放出來，去反映現(xiàn)實(shí)世界中一切可用三角函數(shù)來反映的運(yùn)動(dòng)或變化過程，使三角學(xué)成為具有現(xiàn)代特征的一門學(xué)科.

三角函數(shù)的發(fā)展歷史表明人類認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)概念具有“漸進(jìn)性”. 以數(shù)學(xué)發(fā)生、發(fā)展的視角分析教材編寫的邏輯，能深入理解教材編寫意圖.

2. 三角函數(shù)教材編寫意圖

《標(biāo)準(zhǔn)》延續(xù)了《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）》的要求，三角函數(shù)占據(jù)了初等函數(shù)的主導(dǎo)地位，但是在具體內(nèi)容的編排上發(fā)生了變化. 為了全面理解三角函數(shù)概念的本質(zhì)，對(duì)比人教A版《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書·數(shù)學(xué)》（以下統(tǒng)稱“舊教材”）與新教材中的“章引言”，以及作為預(yù)備知識(shí)的“任意角與弧度制”“三角函數(shù)的概念”等內(nèi)容，以便領(lǐng)會(huì)新教材的編寫意圖.

（1）章引言.

新教材延續(xù)了舊教材的編排風(fēng)格，在每章的起始安排有章引言. 兩版教材的章引言都以現(xiàn)實(shí)世界的許多運(yùn)動(dòng)變化都具有“周期性”引入，在素材選取上涉及天文、物理等與生活息息相關(guān)的例子，點(diǎn)明本章的研究對(duì)象. 在方法的引導(dǎo)上，新、舊教材有明顯差異，主要體現(xiàn)在新教材更注重體現(xiàn)從一般函數(shù)到特殊函數(shù)研究方法的沿襲，體現(xiàn)出研究一個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象的基本套路，根據(jù)研究對(duì)象的特點(diǎn)確定合適的類比對(duì)象，構(gòu)建研究路徑.

（2）任意角與弧度制.

新教材在這一小節(jié)的引言部分通過常見的周期性變化現(xiàn)象——圓周運(yùn)動(dòng)，自然引出要刻畫圓周上點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，要先擴(kuò)大角的范圍，表明引入任意角概念的目的. 舊教材直接定義任意角，沒有體現(xiàn)出引入任意角的必要性.

兩版教材在處理角的運(yùn)算意義上也有明顯不同. 與舊教材相比，新教材將角的運(yùn)算賦予明顯的幾何意義，為后續(xù)兩角差的余弦公式的推導(dǎo)做好了鋪墊.

兩版教材都引入了象限角的概念. 象限角便于看出角的“周而復(fù)始”的變化規(guī)律，進(jìn)而利用任意角、直角坐標(biāo)系刻畫周期變化現(xiàn)象.

為了定義三角函數(shù)，還需要引入“用長度量角”的弧度制. 從弧度制產(chǎn)生的歷史來看，弧度制的思想萌芽出現(xiàn)在阿耶波多統(tǒng)一弧長與半徑單位的工作中. 托勒密意識(shí)到度量弧長與弦長應(yīng)采用相同的長度單位，他將圓周分為360等份，每一份是一個(gè)單位，然后取[π]的近似值為3，得到半徑是60個(gè)單位. 1 000多年后，現(xiàn)代的弧度制才由歐拉提出，1748年他主張以半徑為單位來度量弧長. 這一時(shí)間跨度之久，足以說明歷史上弧度制思想產(chǎn)生的困難性. 舊教材直接給出弧度制定義的方式會(huì)影響學(xué)生對(duì)弧度制的認(rèn)知，使得學(xué)生對(duì)弧度制產(chǎn)生的必要性與合理性不甚了解.

從歷史發(fā)生、發(fā)展的角度來看，角度制與弧度制的共同點(diǎn)都是要等分圓周，只不過把圓周分成360等份是歷史形成的一種規(guī)定，而用弧度制把整個(gè)圓周分成[2π]等份，這是一種客觀規(guī)律，更科學(xué)、合理. 為體現(xiàn)這種客觀規(guī)律，新教材從學(xué)生初中學(xué)過的弧長公式出發(fā)，探索圓心角、弧長和半徑之間的關(guān)系，發(fā)現(xiàn)圓心角由圓心角所對(duì)弧長和半徑的比值唯一確定，由此體會(huì)引入弧度制的合理性，理解弧度制的本質(zhì)是用線段長度度量角的大小.

（3）三角函數(shù)的概念.

現(xiàn)代三角函數(shù)的定義在18世紀(jì)才由歐拉提出，使得三角函數(shù)不再只是關(guān)注三角形中的計(jì)算問題，而是將關(guān)注的焦點(diǎn)更多地放在函數(shù)關(guān)系上. 舊教材在平面直角坐標(biāo)系中用終邊上的點(diǎn)的坐標(biāo)表示銳角三角函數(shù)，引出用單位圓定義任意角的三角函數(shù). 本意是想反映韋達(dá)、歐拉等人的觀點(diǎn)，強(qiáng)調(diào)函數(shù)的思想. 但從銳角三角函數(shù)引入，容易把任意角的三角函數(shù)理解成銳角三角函數(shù)的推廣，破壞三角函數(shù)概念發(fā)生、發(fā)展過程的完整性. 教師如果對(duì)三角函數(shù)的歷史不夠了解，教學(xué)時(shí)就無法揭露三角函數(shù)是反映周期性現(xiàn)象的函數(shù)模型這一本質(zhì)，在后續(xù)三角函數(shù)的性質(zhì)和三角公式的運(yùn)算等內(nèi)容的教學(xué)時(shí)，容易忽視單位圓這一工具的作用.

從三角學(xué)的發(fā)生、發(fā)展可見，銳角三角函數(shù)和任意角三角函數(shù)研究的現(xiàn)象不同，表現(xiàn)的性質(zhì)也不同，我們既不能把任意角三角函數(shù)看成銳角三角函數(shù)的推廣（或一般化），也不能把銳角三角函數(shù)看成任意角三角函數(shù)在銳角范圍內(nèi)的“限定”.

為了突出三角函數(shù)的本質(zhì)，與舊教材相比，新教材在順序上有所調(diào)整. 調(diào)整后的順序?yàn)椋禾厥饨墙K邊與單位圓的交點(diǎn)坐標(biāo)—任意角終邊與單位圓交點(diǎn)坐標(biāo)唯一確定—單位圓上的點(diǎn)的坐標(biāo)表示任意角的三角函數(shù)—銳角三角函數(shù)與任意角三角函數(shù)的關(guān)系. 這樣編排更能體現(xiàn)三角函數(shù)的本質(zhì)，同時(shí)考慮到了學(xué)生的心理邏輯. 三角函數(shù)作為一類特殊的函數(shù)，與學(xué)生已有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的其他函數(shù)不同，以往所學(xué)指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)是代數(shù)運(yùn)算規(guī)律的反映，但三角函數(shù)是幾何量之間的直接對(duì)應(yīng). 新教材引導(dǎo)學(xué)生去認(rèn)識(shí)給定一個(gè)角，終邊與單位圓交點(diǎn)的坐標(biāo)是唯一確定的，由此破除以往對(duì)“對(duì)應(yīng)關(guān)系”的思維定勢.

綜合以上分析，新教材更加注重三角函數(shù)概念的形成過程，注重概念教學(xué)從“事實(shí)”到“概念”的路徑，讓學(xué)生經(jīng)歷“背景—研究對(duì)象—對(duì)應(yīng)關(guān)系的本質(zhì)—定義”的過程，有效構(gòu)建刻畫周期性現(xiàn)象的三角函數(shù)模型.

二、基于數(shù)學(xué)發(fā)生、發(fā)展視角的數(shù)學(xué)“四基”與數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)

數(shù)學(xué)“四基”是學(xué)生形成和發(fā)展數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的有效載體. 每一種素養(yǎng)，都是學(xué)生在一堂堂數(shù)學(xué)課的學(xué)習(xí)中逐步積累形成的，由某些知識(shí)、技能、思想和數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)構(gòu)成. 分析三角函數(shù)概念的“四基”構(gòu)成，及與數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的關(guān)系，是將數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)培養(yǎng)落到實(shí)處的有效方式.

1. 三角函數(shù)概念的“四基”構(gòu)成

張奠宙教授認(rèn)為，“四基”的基本形式應(yīng)該是一個(gè)三維模塊：數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)的積累過程、數(shù)學(xué)基本技能的演練過程、數(shù)學(xué)基本思想的形成過程，數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)是填充在這個(gè)三維模塊中間的“黏合劑”. 三角函數(shù)的概念這一內(nèi)容屬于概念性綜合模塊，是包含“四基”的綜合模塊.

（1）基礎(chǔ)知識(shí).

數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)主要指數(shù)學(xué)中的概念、法則、性質(zhì)、公式、公理、定理，以及由其內(nèi)容所反映出來的一些具體方法. 學(xué)生在學(xué)習(xí)三角函數(shù)概念時(shí)應(yīng)具備以下基礎(chǔ)知識(shí)：作為認(rèn)知基礎(chǔ)的知識(shí)有函數(shù)的一般概念、表示和性質(zhì)，平面幾何中圓的知識(shí)和基本性質(zhì);作為預(yù)備知識(shí)的知識(shí)有任意角和弧度制;作為三角函數(shù)本質(zhì)特征與內(nèi)在聯(lián)系的知識(shí)有三角函數(shù)的概念、表示和性質(zhì)，以及銳角三角函數(shù)的概念. 三角函數(shù)概念的基礎(chǔ)知識(shí)結(jié)構(gòu)如圖1所示.

（2）基本技能、基本思想和基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).

數(shù)學(xué)基本技能主要是指能夠按照一定的程序與步驟進(jìn)行熟練操作的數(shù)學(xué)行為和本領(lǐng);數(shù)學(xué)基本思想是指對(duì)數(shù)學(xué)及其對(duì)象、數(shù)學(xué)概念和數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)及數(shù)學(xué)方法的本質(zhì)性認(rèn)識(shí);數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)是指學(xué)生通過親身經(jīng)歷數(shù)學(xué)活動(dòng)過程，所獲得的具有個(gè)體特征的經(jīng)驗(yàn).

數(shù)學(xué)家斯托里亞爾認(rèn)為，數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)該是數(shù)學(xué)活動(dòng)的教學(xué). 教師在教學(xué)中要注意精心安排數(shù)學(xué)活動(dòng)，使學(xué)生在探究三角函數(shù)概念的活動(dòng)中，逐漸領(lǐng)會(huì)三角函數(shù)出現(xiàn)的必然性、合理性和重要意義. 三角函數(shù)的發(fā)生、發(fā)展啟發(fā)我們，在三角函數(shù)概念的教學(xué)中，要讓學(xué)生經(jīng)歷“觀察豐富的周期性現(xiàn)象—抽象出三角函數(shù)的研究對(duì)象—理解三角函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系—獲得三角函數(shù)的定義”的過程.

學(xué)生經(jīng)歷上述過程，可以形成觀察、聯(lián)想和抽象的能力. 通過類比一般函數(shù)的研究過程，以及如何用某類函數(shù)刻畫現(xiàn)實(shí)事物的變化規(guī)律，形成提出問題、分析問題的能力.

在平面直角坐標(biāo)系中研究單位圓上點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，探索其中涉及的幾何量，并分析這些幾何量的相互關(guān)系，獲得對(duì)應(yīng)關(guān)系并抽象出三角函數(shù)概念. 學(xué)生只有親身經(jīng)歷這一數(shù)學(xué)化的活動(dòng)過程，才能從根本上理解三角函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系，加深對(duì)函數(shù)概念本質(zhì)的理解，獲得抽象現(xiàn)實(shí)世界的變化規(guī)律和構(gòu)建刻畫規(guī)律的函數(shù)模型的經(jīng)驗(yàn)，感悟抽象和建模等基本思想.

2. 三角函數(shù)概念的“四基”與數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的關(guān)系

數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)“四基”的繼承和發(fā)展，“四基”是形成和發(fā)展數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的有效載體. 也就是說，“四基”中蘊(yùn)含著形成和發(fā)展數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的“密碼”，而如何解構(gòu)“四基”中蘊(yùn)含的這些“密碼”是落實(shí)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的關(guān)鍵.

數(shù)學(xué)概念的獲得依賴人的抽象思維，通過三角函數(shù)概念的教學(xué)能培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).

三角函數(shù)是刻畫周期現(xiàn)象的函數(shù)模型，教學(xué)中應(yīng)以豐富的現(xiàn)實(shí)情境引入，然后引導(dǎo)學(xué)生將周期性現(xiàn)象簡化為圓周運(yùn)動(dòng). 學(xué)生在觀察和聯(lián)想的過程中提出問題、探究規(guī)律，并用數(shù)學(xué)語言描述，構(gòu)建三角函數(shù)模型，形成并發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng).

在平面直角坐標(biāo)系中分析涉及的幾何元素及它們之間的關(guān)系，從而領(lǐng)會(huì)三角函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系是幾何元素的直接對(duì)應(yīng). 在動(dòng)手操作和抽象思維的共同作用下，學(xué)生發(fā)現(xiàn)單位圓上點(diǎn)的坐標(biāo)由圓心角唯一確定，形成三角函數(shù)的定義. 因此，三角函數(shù)概念的形成過程發(fā)展了學(xué)生的直觀想象素養(yǎng).

三角函數(shù)概念中蘊(yùn)涵豐富的數(shù)學(xué)思想. 首先，三角函數(shù)作為一類函數(shù)，自然蘊(yùn)涵有對(duì)應(yīng)思想、符號(hào)表示思想和函數(shù)思想等. 其次，三角函數(shù)概念的形成過程，涉及類比、轉(zhuǎn)化等思想. 從三角函數(shù)的發(fā)生、發(fā)展來看，三角函數(shù)概念的形成經(jīng)歷了幾千年的時(shí)間，飽含著很多數(shù)學(xué)家的智慧，教學(xué)中應(yīng)該讓學(xué)生得到數(shù)學(xué)文化的浸潤.

以上分析，突出了三角函數(shù)概念的“四基”模塊與數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的結(jié)合點(diǎn). 從豐富的周期性現(xiàn)象中，通過直觀想象、數(shù)學(xué)抽象獲得三角函數(shù)的研究對(duì)象;根據(jù)研究對(duì)象的特點(diǎn)構(gòu)建研究路徑，通過一系列推理活動(dòng)發(fā)現(xiàn)和提出數(shù)學(xué)問題;借助直觀想象，構(gòu)建刻畫周期性現(xiàn)象的數(shù)學(xué)模型，獲得三角函數(shù)概念.

3. 數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)“四基”的關(guān)系

數(shù)學(xué)“四基”是“雙基”內(nèi)涵豐富、發(fā)展和分化的結(jié)果. 在2014年首屆華人數(shù)學(xué)教育會(huì)議上，蘇明強(qiáng)在其論文《數(shù)學(xué)“四基”的內(nèi)涵、關(guān)系與應(yīng)用》中表明，數(shù)學(xué)“四基”是一個(gè)不可分割的整體，它們是相輔相成、和諧統(tǒng)一、螺旋遞進(jìn)的關(guān)系. 他用如圖2所示的關(guān)系表示數(shù)學(xué)“四基”的內(nèi)部關(guān)系.

本文在以上模型和張奠宙教授所給出的數(shù)學(xué)“四基”三維模型的基礎(chǔ)上，以數(shù)學(xué)的發(fā)生、發(fā)展為線索，重新整合數(shù)學(xué)“四基”的關(guān)系，并挖掘出數(shù)學(xué)史在探求“四基”內(nèi)涵和關(guān)系中的作用.

以數(shù)學(xué)的發(fā)生、發(fā)展為線索，更能理清數(shù)學(xué)“四基”的內(nèi)涵與關(guān)系.“四基”中的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)可以從以下三個(gè)方面來理解：一是學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)，這是考慮學(xué)生的心理邏輯，將學(xué)習(xí)建立在學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)之上;二是預(yù)備知識(shí)，即學(xué)習(xí)這一內(nèi)容要做哪些準(zhǔn)備;三是知識(shí)的本質(zhì)特征與內(nèi)在聯(lián)系.

通過研究數(shù)學(xué)的發(fā)生、發(fā)展過程可以為以上三個(gè)方面提供依據(jù). 以三角函數(shù)概念為例，從歷史發(fā)展來看，早期三角學(xué)主要關(guān)注計(jì)算，而現(xiàn)代的三角函數(shù)更注重函數(shù)關(guān)系，其本質(zhì)是刻畫周期性現(xiàn)象的函數(shù)模型. 根據(jù)歷史相似性原理，可從前人的學(xué)習(xí)和研究經(jīng)驗(yàn)中，體察學(xué)生的學(xué)習(xí)困難，理解學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)，進(jìn)而指導(dǎo)教師設(shè)計(jì)符合學(xué)生認(rèn)知規(guī)律的數(shù)學(xué)活動(dòng). 為研究圓周運(yùn)動(dòng)而引入任意角和弧度制，這是三角函數(shù)概念的預(yù)備知識(shí).

數(shù)學(xué)史是聯(lián)系數(shù)學(xué)“四基”的橋梁. 以三角函數(shù)概念為例，對(duì)數(shù)學(xué)史的挖掘可以讓我們理解三角函數(shù)的本質(zhì)，幫助構(gòu)建學(xué)習(xí)“四基”的路徑. 要學(xué)習(xí)三角函數(shù)，先要引入作為預(yù)備知識(shí)的任意角和弧度制. 在函數(shù)觀點(diǎn)的引領(lǐng)下，類比一般函數(shù)的學(xué)習(xí)，全面認(rèn)識(shí)三角函數(shù)的本質(zhì)特征. 同時(shí)，發(fā)展學(xué)生用圖形進(jìn)行表征的能力，使學(xué)生能從符號(hào)、代數(shù)表達(dá)式和圖象等多方面深刻理解三角函數(shù)的概念.

從以上對(duì)三角函數(shù)概念“四基”的分析可以發(fā)現(xiàn)，教師在設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)活動(dòng)時(shí)，應(yīng)遵循數(shù)學(xué)發(fā)生、發(fā)展的規(guī)律，思考如何構(gòu)建數(shù)學(xué)活動(dòng)才能讓學(xué)生領(lǐng)會(huì)相應(yīng)內(nèi)容出現(xiàn)的必然性與合理性，理解數(shù)學(xué)內(nèi)容的本質(zhì). 數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)“四基”的關(guān)系如圖3所示.

三、總結(jié)

本文以三角函數(shù)的概念為抓手，基于數(shù)學(xué)發(fā)生、發(fā)展的視角，理解數(shù)學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)，從而理解教材的編寫意圖. 以數(shù)學(xué)的發(fā)生、發(fā)展為線索，理清數(shù)學(xué)“四基”的內(nèi)涵與關(guān)系，依靠數(shù)學(xué)“四基”模塊的建構(gòu)，分析其中所蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，挖掘數(shù)學(xué)內(nèi)容與數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的結(jié)合點(diǎn).

學(xué)生通過經(jīng)歷數(shù)學(xué)活動(dòng)，在獲得知識(shí)和技能的同時(shí)，積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，感悟數(shù)學(xué)思想，從而達(dá)到形成和發(fā)展數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的目標(biāo). 這為分析具體數(shù)學(xué)內(nèi)容與數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的關(guān)系提供了一般模式. 數(shù)學(xué)內(nèi)容與數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的關(guān)系分析示意圖如圖4所示.

在教學(xué)中，充分利用數(shù)學(xué)發(fā)生、發(fā)展的觀點(diǎn)，有助于教師找到分析數(shù)學(xué)內(nèi)容的切入點(diǎn)，理解數(shù)學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)和學(xué)生的學(xué)習(xí)心理，進(jìn)而創(chuàng)設(shè)更適合學(xué)生學(xué)習(xí)的教學(xué)情境，將學(xué)術(shù)形態(tài)的數(shù)學(xué)知識(shí)轉(zhuǎn)化為教學(xué)形態(tài)的數(shù)學(xué)知識(shí).

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