悖論的定義和起源

胡敏

古今中外有不少著名的悖論，激發(fā)了人們探究的興趣.在解決悖論難題的過程中，人們有了許多新的認識和發(fā)現(xiàn).

一、悖論的定義

所謂悖論，從字面上講就是荒謬的理論.那么，為什么要用“悖論”這樣一個晦澀古怪的名詞呢？按照美國柯朗數(shù)學研究所美國數(shù)學家克萊因（M.Kline）教授的說法，那是為了不把自相矛盾的真相擺在桌面上，才采用了這樣一個婉轉的措辭.當然，克萊因教授是針對Paradox（矛盾的人或事物、情況）才這樣說的，并不是針對“悖論”.然而，時間一長，人們也習慣了悖論這一詞匯，其真實涵義就人人皆知了.

所以，我們主張采用著名邏輯學家弗蘭克爾（A.A. Fraenkel）與巴-希勒爾（Y.Bar-Hillel）的說法，如果某一理論的公理和推理原則看上去是合理的，但由這個理論卻推出了兩個互相矛盾的命題，或者證明了這樣一個復合命題，它表現(xiàn)為兩個互相矛盾的命題的等價式，那么，我們就說這個理論中包含了一個悖論.這樣來定義悖論較為全面而且合理.因為在這里，首先指明了任何一個悖論總是相對于某一理論系統(tǒng)而言的；其次又指出了一個悖論可以表現(xiàn)為某一理論系統(tǒng)中兩個互相矛盾的命題的形式；最后才指出，悖論也可集中地表現(xiàn)為“肯定等價于否定”的復合命題.這樣看來，只是抽取了弗蘭克爾陳述中的最后兩句話作為悖論的定義，這當然是不夠全面的，也不合理.另外，弗蘭克爾陳述中的第一句話，不僅是指明了任一悖論總相對于某一系統(tǒng)這一點，還強調(diào)了該系統(tǒng)的公理和推理原則看上去是合理的.如果不強調(diào)指出這一點，那么我們就可以輕而易舉地把一些明顯的矛盾命題湊合在一起，將其算作一個系統(tǒng)，然后宣布在這個系統(tǒng)中發(fā)現(xiàn)了許多悖論.

二、悖論的起源

關于悖論的起源，可以追溯到古希臘和我國先秦時期，但在那個時代及其往后的一個相當長的歷史時期中，悖論往往泛指那些推理過程看上去是合理的，但推理的結果卻又違背客觀實際的說法.例如，著名的芝諾悖論：希臘神話中善跑的英雄阿基里斯在賽跑中不可能追上起步稍微領先于他的烏龜，因為當他要到達烏龜出發(fā)的那一點，烏龜又向前爬動了.阿基里斯和烏龜?shù)木嚯x可以無限地縮小，但永遠追不上烏龜.

在歷史上，還有另一種與之相反的情形，也稱之為悖論，那就是由于新概念的引入而違背了具有歷史局限性的傳統(tǒng)觀念，這也被稱為悖論.這就不是看上去推理好像合理的問題，而是傳統(tǒng)觀念貌似真實的事了.例如意大利數(shù)學家伽利略（Galilei）發(fā)現(xiàn)了對平方數(shù)與自然數(shù)一一對應，但全體自然數(shù)與部分自然數(shù)不是一一對應的，這就產(chǎn)生矛盾了，在歷史上這也稱為伽利略悖論.這不是推理上的問題，而是由于“全體”大于“部分”的原則是從有限數(shù)量的事物關系中抽象出來的，自然不適用于無窮集合的情形了.諸如此類的悖論還可列舉，例如，鱷魚的二難論：有一天，一條鱷魚從一位母親的手中搶走了她的孩子.這位母親苦苦地哀求鱷魚：“我只有這么一個孩子，求求你千萬不要傷害他，你提出什么條件我都答應你.”鱷魚聽了非常得意，就對這位母親說：“那好，我向你提一個問題，讓你猜，如果你答對了，我就不傷害你的孩子，并把孩子還給你；如果你答錯了，我就要吃掉你的孩子.”鱷魚問這位母親：你猜我會不會吃掉你的孩子？這位聰明的母親仔細地琢磨了片刻，說：“鱷魚先生，我想你是要吃掉我的孩子的.”鱷魚冷笑著說：“你猜對了，我當然會吃掉你的孩子，哈，哈……可是，如果我把孩子還給了你，那我就沒吃掉你的孩子，你就猜錯，那我就可以吃掉你的孩子了.”說著，就要吃小孩.這時母親急忙說：“慢著！你剛才不是說，我答對了，你就不吃孩子了嗎？現(xiàn)在如果你吃掉了我的孩子，那我就答對了，你就必須把孩子還給我.”鱷魚驚呆了，心想：“對呀，如果我吃了小孩，她就答對了.不行，看來這個小孩不能吃.”“那么，我應該怎么辦呢？”鱷魚碰到了難題：它既要吃掉小孩，同時又得把小孩還給他的母親.不過，鱷魚又想：“如果我把孩子還給她，那么，她就答錯了.所以，我就應該吃掉小孩.”這樣一想，鱷魚堅持不把小孩交給他的母親.然而，這位母親仍然堅持說：“你必須把小孩還給我.因為，如果你吃了我的小孩，我就說對了，你就得把孩子還給我.”

這時鱷魚便陷入一個矛盾當中，無論鱷魚怎樣做，都無法兌現(xiàn)自己的許諾.因為鱷魚的諾言有兩項內(nèi)容：

A.如果媽媽猜對，我就釋放小孩；

B.如果媽媽猜錯，我就吃掉小孩.

在媽媽表達了猜測之后，鱷魚的行為只有兩種選擇，而這兩種選擇都與鱷魚原先的諾言相違背.

鱷魚的第一種選擇是把小孩吃掉.這種選擇的結果是那位媽媽的猜測是正確的，按照鱷魚原先的許諾（A），此時鱷魚應該把小孩“毫發(fā)無傷”地歸還！但是鱷魚卻把小孩吃掉了，所以鱷魚違背了自己的諾言.

公元前六世紀，克里特哲學家埃庇米尼得斯（Epi？ menides）發(fā)現(xiàn)了一個不是真正意義上的悖論，即一個克里特人說：“所有的克里特人所說的每一句話都是謊話.”試問這句話是真是假.如果它是真話，則因這句話也出自一個克里特人之口，故按此話可推知這句話是假的.因為，由這句話是真的可導致它是假的.但反過來，若設這句話是假的，則并不導致任何矛盾.但僅由它是真的可導致它是假的這一點而言，就足以引人注目了.

上述那個不是真正意義上的悖論，卻被誤認為是悖論，其實是一種誤解或疏忽.因為假定這句話是假的，它并不引起矛盾，更推不出它是真的，至多說，并非每個克里特人總在說謊.在歷史上，這個原來被認為是悖論，而實際上不是悖論這一點，也早已為人們所覺察，并設法修正它.最先是埃庇米尼得斯（于公元前4世紀）把上述命題改述為：現(xiàn)在我說的是一句假話.羅素指出，如果假定在此克里特人說這句話之前，每個克里特人所說的每句話皆為假話，那么上述原始命題便構成悖論.因由原始命題為真命題推導出它是假命題，現(xiàn)假定原始命題為假命題，則至少有一個克里特人說過一句真話，但因為有了如上這樣一個前提，有且僅有這一原始命題是真話，故又由它推導出它為真命題.這就構成了一個悖論.

這些例子都存在著一個概念自指或自相關的問題：如果從肯定命題入手，就會得到它的否定命題；如果從否定命題入手，就會得到它的肯定命題.由概念自指引發(fā)的悖論和引進無限帶來的悖論有很多，再舉一個例子，一個人說：“上帝是全能的，全能就是勝過一切.”試問此話的真假性如何？設其為真命題，則可問：“上帝能否創(chuàng)造一個對手來擊敗上帝呢？”如果能，那么上帝就要被上帝自己創(chuàng)造出來的對手擊敗，故上帝并非全能.如果不能，就說明上帝還有事情做不到，即并非全能.不論怎么說，均導致“上帝全能”這句話為假命題.但是，反過來設這句話為假命題，則并不導致任何矛盾，因為全能的上帝本來就不存在.

以上兩例均不構成悖論，卻指明了一個邏輯推理，即當否定者自身被包括在被否定的對象中時，則必然可推導出它的反面.因為上帝自己也置身于這一切之中，否定“上帝全能”就必然否定了上帝自身.前例中那個克里特人也是一樣，由于他自身就是克里特人，必然導致他自身說謊.

后來，人們順著埃庇米尼得斯的原始命題，構造了等價于上述埃庇米尼得斯命題的悖論：永恒性說謊者悖論，即：在本頁本行里所寫的那句話是謊話.

由于除了這句話本身之外別無任何其他的話，若設該話為真命題，則要承認該話的結論，從而導出該話為謊話.若設該話為謊話，則應肯定該話的結論為真命題，因之推出該話為真命題.這就構成了真正意義的悖論.

問題出在什么地方？這是由于語言層次的混亂造成的，被論斷是真是假的話，與去論斷它的話混為一談.如果在下一行寫上一句話：

（A）現(xiàn)在在下雨.

然后再在下一行寫一句話：

（B）前一行里寫的那句話是謊話.

這就不能構成悖論.話（B）是真是假，要看（A）的真假，而（A）的真假決定于現(xiàn)在是否下雨.在這里，話（A）是被論斷的話，而話（B）是對（A）去作論斷的話.故“撒謊者悖論”的癥結就在于作論斷的話與被論斷的話混為一談.

美國數(shù)理邏輯學家斯穆里安（Smullyan）寫了一本書，其書名為“這本書的書名叫什么？”現(xiàn)把這本書放在桌子上，并有甲、乙、丙三個人圍著它，因為甲不識字而指著該書問：“這本書的書名叫什么？”而乙指著這本書說：“這本書的書名叫什么？”這時丙在考慮，剛才乙講這句話算是回答甲的問題呢？還是在重復甲的提問呢？而且乙可以叫別人永遠猜不著.因為這既是問也是答.但是，如果乙誠心想回答甲的問題而又愿意把話說得清楚些，說：“這本書的書名就叫做《這本書的書名叫什么？》”，就不致于引起丙的煩惱了.在這里，同樣存在著語義上的問題.

在19世紀末至20世紀初，由于出現(xiàn)了悖論，之前在邏輯學和數(shù)學中被認為是沒有問題的基本概念、定義、推理的基本方法，都出現(xiàn)了問題，特別是經(jīng)典集合論中被發(fā)現(xiàn)有自相矛盾的現(xiàn)象，這顛覆了人們的認知，導致“第三次數(shù)學危機”的出現(xiàn).

悖論在現(xiàn)代邏輯學中有了新的作用，它們促使了新定理的發(fā)現(xiàn)（通常是負面的結果，例如不可證明性和不可判定性）.邏輯學中的很多基本概念之所以已經(jīng)發(fā)展到了目前的狀態(tài)，主要是得益于在解決悖論的各種嘗試中獲得的經(jīng)驗和成果.研究悖論解決方案的副產(chǎn)品包括：集合論的公理化，類型論的系統(tǒng)發(fā)展，語義學的基礎，形式系統(tǒng)的理論.